Autor Tema: Relación numérica de una secante a un círculo.

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18 Abril, 2018, 07:57 pm
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moliere

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Teorema: Por un punto P exterior a un círculo, trazar una secante PAB tal que \( AB^2= PA\times PB \).


Tracé una tangente PCD al círculo y levanté una perpendicular DB en el punto de tangencia  (que es un diámetro). De modo que la secante PAB sería la buscada. Traté de hallar la respuesta mediante la relación de la tangente y la secante con su parte externa \( PD^2=PA \times PB \) y mediante triángulos semejantes, pero no pude llegar a la respuesta.


21 Mayo, 2018, 10:06 pm
Respuesta #1

doncarlitos

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Hola:
He  encontrado  esta solución , quizá exista  otra  más eficiente ???  , no sé ´..


Saludos

22 Mayo, 2018, 12:01 am
Respuesta #2

martiniano

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Hola buenas.

Tu solución tiene muy buena pinta doncarlitos, lo que no la acabo de entender, ¿cómo la has hallado?

Yo he encontrado otra. La subo también:

Según la nomenclatura del dibujo de moliere y por la potencia de P sobre la circunferencia.
\( PD^2=PA\cdot{}PB=AB^2\Rightarrow{}AB=PD \)

Entonces el problema se reduce a hallar una cuerda de la circunferencia con longitud \( PD \) y cuya prolongación pase por \( P \) (no siempre existe, claro).

Para resolver esto se traza una cuerda cualquiera con longitud \( PD \) y se realiza una circunferencia auxiliar, concéntrica a la del enunciado y tangente a dicha cuerda. La recta buscada es aquélla que pasando por P es tangente a esa segunda circunferencia.

Saludos.

22 Mayo, 2018, 06:32 pm
Respuesta #3

doncarlitos

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hola:

La construcción que doy es la traducción geométrica de una solución algebraica.El problema está claramente relacionado con la cuestión de la potencia de P respecto de la circunferencia; como esta es un valor constante e igual a  la medida del semento tangente PE  al cuadrado , lo trazo  de la manera habitual..  sea su valor k , entonces si  A y B son los puntos de corte ( en ese orden) de la secante con la circunferencia , si llamo x a la distancia PA , esntonces la condicion dada es equivaalente a \( x*(x+k)=k^2 \)  ; esto es  \( x^2+xk-k^2=0 \)   cuya solución en este contexto será 
\( x=k*(\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{5}-1}{2}) \)
Se trata pues de construir  dado  k  el valor \( k*(\displaystyle\frac{\sqrt[ ]{5}-1}{2}) \)   para lo cuál trazo la semiracta PE y   determino sobre ella el simetrico P´  de P respecto de E , con lo que
PP'=2k   ; levanto la perpendicular por P y la interseco con una circunferencia de radio k y radio k (obtengo un punto que en la construcción está sin etiquetar , pero que llamará R) entonces ER=k  y el triángulo  PER es rectángulo con catetos 2k y k   con lo que su hipotenusa PR es \( \sqrt[ ]{5}*k \) , trazo la circunferencia de centro P y radio PR  que interseca a pa semirecta  en el punto verde ( si etiquetar ) y que llamo V  así PV=   \( \sqrt[ ]{5}*k \) , ahora con centrom en P' y radio k trazo una circunferencia que interseca a la semirecta  en J y \( PJ=(\sqrt[ ]{5}-1)*K \)   si ahora  hallo el punto medio de PJ encuentro X  y naturalmente  PX =x  ;  la circunferencia   de centro en P y radio PX  intersecará  a la circunferencia  dada  en 2 , 1   o ningún punto  que naturalmente  en caso de existir determinan las cuerdas  buscadas
Saludos

23 Mayo, 2018, 07:28 am
Respuesta #4

martiniano

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Estupendo doncarlitos, ya me ha quedado claro, gracias.
Sólo algunas cosillas:

levanto la perpendicular por P y la interseco con una circunferencia de radio k y radio k (obtengo un punto que en la construcción está sin etiquetar , pero que llamará R) entonces ER=k  y el triángulo  PER es rectángulo con catetos 2k y k   con lo que su hipotenusa PR es \( \sqrt[ ]{5}*k \) , trazo la circunferencia de centro P y radio PR  que interseca a pa semirecta  en el punto verde ( si etiquetar ) y que llamo V  así PV=   \( \sqrt[ ]{5}*k \) , ahora con centrom en P' y radio k trazo una circunferencia que interseca a la semirecta  en J y \( PJ=(\sqrt[ ]{5}-1)*K \)   si ahora  hallo el punto medio de PJ encuentro X  y naturalmente  PX =x  ;  la circunferencia   de centro en P y radio PX  intersecará  a la circunferencia  dada  en 2 , 1   o ningún punto  que naturalmente  en caso de existir determinan las cuerdas  buscadas
Saludos

A mi parecer, en lo rojo tendrías que haber puesto radio k y centro P'. En lo púrpura, el triángulo al que creo que te refieres es PP'R. Y en lo azul la circunferencia que dices está centrada en el punto verde sin etiquetar.

Saludos

23 Mayo, 2018, 05:48 pm
Respuesta #5

doncarlitos

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hola :

Efectivamente  es como señalas  , perdonad  por las imprecisiones

Saludos

04 Junio, 2018, 12:16 am
Respuesta #6

moliere

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