Autor Tema: Ángulo diedro octaedro

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27 Febrero, 2008, 09:36 pm
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orlock

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Por favor, necesito ayuda sobre cómo hallar el ángulo diedro del octaedro; si me lo pudiesen hallar y hacer el proceso les estaría muy agradecido, un saludo.

28 Febrero, 2008, 05:27 am
Respuesta #1

EnRlquE

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Hola.

 Supongo que te refieres a encontrar el ángulo diedro de un octaedro regular ¿cierto?

 Si este es el caso, observa que en el octaedreo regular, cuya arista mide \( 2 \), de la figura siguiente


 Se tiene que el ángulo buscado \( \alpha \) esta determinado por el triángulo \( ABC \) y además si \( m\angle ABD=\beta \), \( \alpha=2m\angle ABD=2\beta \), asi que basta determinar \( \beta \). Con este fin observemos que como \( 2BD=2MB=MN=2\Longrightarrow BD=MB=1 \).

 Luego en triángulo rectángulo \( ABM \), tenemos que \( AM=2 \) y \( BM=1 \), por tanto

\( AB=\sqrt{AM^{2}-BM^{2}}=\sqrt{2^{2}-1^{2}}=\sqrt{3} \)

 Entonces tenemos que, como en el triángulo rectángulo \( ABD \), \( AB=\sqrt{3} \) y \( BD=1 \), \( \beta=\arccos\left(\dfrac{BD}{AB}\right)=\arccos\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right) \). Por lo tanto

\( \alpha=2\beta=2\arccos\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right) \)

 Cualquier duda pregunta.

Saludos.

28 Febrero, 2008, 03:01 pm
Respuesta #2

orlock

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¡¡Muchas gracias amigo!! Me has salvado de un buen apuro  ;D
Gracias de nuevo y un saludo.

02 Marzo, 2008, 05:14 am
Respuesta #3

EnRlquE

  • Lathi
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Hola.

 Con respecto a esto

...¿podrías decirme cómo calcular el ángulo diedro del icosaedro regular? ...

 Cuando intenté responder tu mensaje (por segunda vez) con algunas indicaciones, me perccaté que no te podía enviar imágenes, asi que para que no se heche a perder mi dibujo  :laugh:, aqui va la solución:

 Considerando el icosaedro regular "con arista de longitud igual a dos" y los trazos adicionales de la siguietne figura


 Obsevemos que, como antes, es suficiente encotrar \( \alpha \) pues la medida del ángulo diedro buscado es igual a \( 2\alpha \). Además notemos que \( \oveerline{AC} \) es una de las diagonales del pentágono regular \( ABCDE \) (cuyo lado mide dos), entonces como la \( m\angle CAD=36^{\circ} \) y como el triángulo \( CAD \) es isóceles (\( AC=AD \)), tenemos que luego de trazar la altura de \( CAD \), relativa al lado \( \overline{CD} \) se deduce que

\( AC=\dfrac{1}{\sen18^{\circ}}=\dfrac{1}{\left(\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}\right)}=\sqrt{5}+1 \)

 Luego como \( AC=AN+NC \) y \( AN=NC \) (pues el triángulo \( AMC \) es isóceeles con \( AM=MC \)), tenemos que

\( NC=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{\sqrt{5}+1}{2} \)

 Entonces como

\( \alpha=\arcsen\left(\dfrac{NC}{CM}\right)\Longrightarrow\alpha=\arcsen\left(\dfrac{\sqrt{5}+1}{2\sqrt{3}}\right) \)

(\( CM=\sqrt{3} \) pues \( \overline{CM} \) es la altura del triánglo equilátero \( BCP \)).

 Por tanto la medida del ángulo diedro de un icosaedro regulaar es

\( 2\alpha=2\arcsen\left(\dfrac{\sqrt{5}+1}{2\sqrt{3}}\right) \)

Saludos.