[llanten]

Hola amigos quisiera por favor me den una idea para demostrar lo siguiente acerca de la factorización prima de ideales:

Si \( { p }_{ 1 }=\left( 2,1+\sqrt { -5 }  \right) \quad ,{ p }_{ 2 }=\left( 2,1-\sqrt { -5 }  \right), { p }_{ 3}=\left( 3,1+\sqrt { -5 }  \right)  \), demostrar que,  \( \left( 2 \right) ={ p }_{ 1 }{ p }_{ 2 },\quad \left( 1+\sqrt { -5 }  \right) ={ p }_{ 1 }{ p }_{ 3 }
 \).

Gracias.

[Carlos Ivorra]

Hola amigos quisiera por favor me den una idea para demostrar lo siguiente acerca de la factorización prima de ideales:

Si \( { p }_{ 1 }=\left( 2,1+\sqrt { -5 }  \right) \quad ,{ p }_{ 2 }=\left( 2,1-\sqrt { -5 }  \right)  \), demostrar que,  \( \left( 2 \right) ={ p }_{ 1 }{ p }_{ 2 },\quad \left( 1+\sqrt { -5 }  \right) ={ p }_{ 1 }{ p }_{ 2 }
 \).

Gracias.

Por definición

\( p_1p_2 = (2\cdot 2,\quad  2(1+\sqrt{-5}),\quad  2(1-\sqrt{-5}),\quad  (1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})) \quad =\quad (4,\quad  2+2\sqrt{-5},\quad 2-2\sqrt{-5},\quad 6) \)

Para probar que ese ideal es \( (2) \) tienes que ver que contiene a \( 2 \) y que los cuatro generadores de ese ideal pertenecen a \( (2) \).

La segunda igualdad es obviamente falsa, pues \( p_1p_2 \) no puede ser igual a dos ideales distintos.

[llanten]

Gracias amigo Carlos, había cometido un error en la formulación de la pregunta, ya la he corregido. Para que por favor me colabores. Por otra parte debo demostrar que tales \( p_i \) así definidos son ideales primos de \( Z\left( \sqrt { -5 }  \right)  \). Se que un ideal I de una anillo conmutativo A es primo si para todo \( a,b\in{A} \) tal que \( ab\in{I} \) entonces \( a\in{I} \) o \( b\in{I} \). Pero la verdad no se como proceder. Gracias.

[Carlos Ivorra]

Probar que son ideales primos a partir de la definición tiene mala pinta. Hay varias opciones, en función de lo que sepas sobre estas cosas. Por ejemplo, si sabes lo que es la norma de un ideal, tienes que la norma de \( p_1 \) tiene que dividir a las normas \( N(2)=4 \) y \( N(1+\sqrt{-5})=6 \), luego \( N(p_1)=2 \), y un ideal de norma prima es primo.

Otra posibilidad es probar que el anillo cociente \( \mathbb Z[\sqrt{-5}]/p_1 \) es un cuerpo, que no es inmediato, pero si no has visto normas de ideales, se puede ir por ahí.

[llanten]

Gracias amigo Carlos, me quedo entonces con la opción uno que mencionas relacionado con la norma.