Autor Tema: Lugar geométrico.

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20 Febrero, 2018, 10:42 pm
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moliere

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Teorema: El lugar geométrico del vértice de un ángulo dado opuesto a un lado dado de un triángulo, es el arco descrito sobre ese lado capaz de contener ese ángulo.

Comencé  demostrando el caso especial para el ángulo de 90 y la respuesta es la circunferencia cuyo diámetro es el lado dado. Usé para demostrarlo el teorema de que todo ángulo en una semicircunferencia es un ángulo recto y para demostrar que ningún otro punto funcionaba construí triángulos y así probar que todo ángulo externo  es mayor que cualquiera de los otros dos.
Luego supuse que era agudo u obtuso y construí un arco capaz de contener el ángulo dado, luego  supuse tres puntos:
uno que estaba en el otro arco, un punto interior y el otro exterior ( en esto tengo que probar si se han trazado tangentes, secantes o una y una) . Seguí el mismo método que en el de 90, pero solo pude demostrar dos de tres según  el caso.


20 Febrero, 2018, 11:01 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Teorema: El lugar geométrico del vértice de un ángulo dado opuesto a un lado dado de un triángulo, es el arco descrito sobre ese lado capaz de contener ese ángulo.

No entiendo el teorema. ¿No es simplemente la definición de arco capaz: el lugar geométrico de los puntos desde el cual el lado dado del triángulo se ve con el ángulo indicado?. No veo que haya nada que demostrar.

Saludos.

21 Febrero, 2018, 12:40 am
Respuesta #2

Ignacio Larrosa

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Teorema: El lugar geométrico del vértice de un ángulo dado opuesto a un lado dado de un triángulo, es el arco descrito sobre ese lado capaz de contener ese ángulo.

Comencé  demostrando el caso especial para el ángulo de 90 y la respuesta es la circunferencia cuyo diámetro es el lado dado. Usé para demostrarlo el teorema de que todo ángulo en una semicircunferencia es un ángulo recto y para demostrar que ningún otro punto funcionaba construí triángulos y así probar que todo ángulo externo  es mayor que cualquiera de los otros dos.
Luego supuse que era agudo u obtuso y construí un arco capaz de contener el ángulo dado, luego  supuse tres puntos:
uno que estaba en el otro arco, un punto interior y el otro exterior ( en esto tengo que probar si se han trazado tangentes, secantes o una y una) . Seguí el mismo método que en el de 90, pero solo pude demostrar dos de tres según  el caso.

Supongo que se trata de ver que el lugar geométrico de los vértices de un triángulo opuestos a un lado AB fijado y con un ángulo \( \alpha \) fijado es un arco de circunferencia.

Si el lado AB subtiende el ángulo \alpha requerido desde un punto D, cualquier otro punto del arco que contiene a D de la circunferencia que pasa por A, B y D, también está en el lugar, pues los ángulos inscritos en una circunferencia que abarcan arcos iguales son iguales.

Por otro lado, cualquier otro punto E del mismo semiplano que C respecto del lado AB que no esté en ese arco, subtiende un ángulo diferente.

Si E está situado entre el arco y el segmento AB, basta con prolongar uno de los lados, el AE por ejemplo, hasta que corte al arco en E'. El ángulo en E' será \( \alpha  \)y en E es mayor, pues es igual a \( \alpha + \angle E'BE \), pues el ángulo exterior de un triángulo es la suma de los otros dos. De manera similar se razona si el punto E está fuera del arco, y se concluye fácilmente que \( \angle AEB < \alpha \).

Otro tanto ocurre en el otro semiplano. por tanto, el lugar geométrico esta formado por dos arcos simétricos respecto del segmento.

El siguiente applet no constituye exactamente una demostración, pero espero que te ayude a entender la idea.




Si no conoces la relación entre el ángulo inscrito y el central de una circunferencia que abarcan el mismo arco, echale un vistazo a
Ángulos central e inscrito en la circunferencia

Saludos,
Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
O incluso por muchísimo menos ...  (yo)

21 Febrero, 2018, 03:16 am
Respuesta #3

moliere

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Teorema: El lugar geométrico del vértice de un ángulo dado opuesto a un lado dado de un triángulo, es el arco descrito sobre ese lado capaz de contener ese ángulo.

Comencé  demostrando el caso especial para el ángulo de 90 y la respuesta es la circunferencia cuyo diámetro es el lado dado. Usé para demostrarlo el teorema de que todo ángulo en una semicircunferencia es un ángulo recto y para demostrar que ningún otro punto funcionaba construí triángulos y así probar que todo ángulo externo  es mayor que cualquiera de los otros dos.
Luego supuse que era agudo u obtuso y construí un arco capaz de contener el ángulo dado, luego  supuse tres puntos:
uno que estaba en el otro arco, un punto interior y el otro exterior ( en esto tengo que probar si se han trazado tangentes, secantes o una y una) . Seguí el mismo método que en el de 90, pero solo pude demostrar dos de tres según  el caso.

Supongo que se trata de ver que el lugar geométrico de los vértices de un triángulo opuestos a un lado AB fijado y con un ángulo \( \alpha \) fijado es un arco de circunferencia.

Si el lado AB subtiende el ángulo \alpha requerido desde un punto D, cualquier otro punto del arco que contiene a D de la circunferencia que pasa por A, B y D, también está en el lugar, pues los ángulos inscritos en una circunferencia que abarcan arcos iguales son iguales.

Por otro lado, cualquier otro punto E del mismo semiplano que C respecto del lado AB que no esté en ese arco, subtiende un ángulo diferente.

Si E está situado entre el arco y el segmento AB, basta con prolongar uno de los lados, el AE por ejemplo, hasta que corte al arco en E'. El ángulo en E' será \( \alpha  \)y en E es mayor, pues es igual a \( \alpha + \angle E'BE \), pues el ángulo exterior de un triángulo es la suma de los otros dos. De manera similar se razona si el punto E está fuera del arco, y se concluye fácilmente que \( \angle AEB < \alpha \).

Otro tanto ocurre en el otro semiplano. por tanto, el lugar geométrico esta formado por dos arcos simétricos respecto del segmento.

El siguiente applet no constituye exactamente una demostración, pero espero que te ayude a entender la idea.




Si no conoces la relación entre el ángulo inscrito y el central de una circunferencia que abarcan el mismo arco, echale un vistazo a
Ángulos central e inscrito en la circunferencia

Saludos,
Sí, entiendo lo de formar triángulos, pero cuando se trata de demostrar  los puntos relacionado al otro arco, ¿ qué sucede ? Sé que no puede ser un punto del otro arco puesto que arcos desiguales  inscriben ángulos desiguales. En el punto interior y exterior a este otro arco se utiliza el método que tú sugieres, pero solo sirve para uno no para el otro. ¿Cómo se demuestra para estos puntos?

21 Febrero, 2018, 12:15 pm
Respuesta #4

Ignacio Larrosa

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Sí, entiendo lo de formar triángulos, pero cuando se trata de demostrar  los puntos relacionado al otro arco, ¿ qué sucede ? Sé que no puede ser un punto del otro arco puesto que arcos desiguales  inscriben ángulos desiguales. En el punto interior y exterior a este otro arco se utiliza el método que tú sugieres, pero solo sirve para uno no para el otro. ¿Cómo se demuestra para estos puntos?

No entiendo muy bien a que te refieres. Si un punto D está en el lugar geométrico, desde el se ve el segmento con un ángulo \( \alpha \) en la figura inicialmente igual a \( 30^\circ \), cualquier otro punto de ambos arcos también lo está, por la propiedad de los ángulos inscritos y por simetría. Por tanto, los arcos están incluidos en el lugar geométrico. Falta por ver que este no consta de ningún otro punto. Para ello consideremos por separado los puntos interiores a los arcos y los exteriores a ellos.

Para un punto E interior a los arcos, hallamos el punto D de en ellos en la prolongación del segmento AE (para la animación y mueve los puntos E y D apropiadamente). Se tiene que, dado que el ángulo exterior de un triángulo, formado por un lado y la prolongación del otro, es igual a la suma de los ángulos interiores en los otros vértices:

\( \angle AEB = \angle ADB + \angle DBE >  \angle ADB = \alpha \)

y el punto E no está en el lugar geométrico.

Si por contra el punto E es exterior a los arcos, tomamos como punto D la intersección del segmento AE con el arco correspondiente. Ahora tenemos que:

\( \angle AEB = \angle ADB - \angle DBE <  \angle ADB = \alpha \)

y E tampoco pertenece al lugar geométrico. por tanto el lugar geométrico consta exclusivamente de los puntos de ambos arcos, con la exclusión de los propios puntos A y B, en los que el ángulo estaría indefinido.

Saludos,
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21 Febrero, 2018, 08:06 pm
Respuesta #5

moliere

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Sí, entiendo lo de formar triángulos, pero cuando se trata de demostrar  los puntos relacionado al otro arco, ¿ qué sucede ? Sé que no puede ser un punto del otro arco puesto que arcos desiguales  inscriben ángulos desiguales. En el punto interior y exterior a este otro arco se utiliza el método que tú sugieres, pero solo sirve para uno no para el otro. ¿Cómo se demuestra para estos puntos?

No entiendo muy bien a que te refieres. Si un punto D está en el lugar geométrico, desde el se ve el segmento con un ángulo \( \alpha \) en la figura inicialmente igual a \( 30^\circ \), cualquier otro punto de ambos arcos también lo está, por la propiedad de los ángulos inscritos y por simetría. Por tanto, los arcos están incluidos en el lugar geométrico. Falta por ver que este no consta de ningún otro punto. Para ello consideremos por separado los puntos interiores a los arcos y los exteriores a ellos.

Para un punto E interior a los arcos, hallamos el punto D de en ellos en la prolongación del segmento AE (para la animación y mueve los puntos E y D apropiadamente). Se tiene que, dado que el ángulo exterior de un triángulo, formado por un lado y la prolongación del otro, es igual a la suma de los ángulos interiores en los otros vértices:

\( \angle AEB = \angle ADB + \angle DBE >  \angle ADB = \alpha \)

y el punto E no está en el lugar geométrico.

Si por contra el punto E es exterior a los arcos, tomamos como punto D la intersección del segmento AE con el arco correspondiente. Ahora tenemos que:

\( \angle AEB = \angle ADB - \angle DBE <  \angle ADB = \alpha \)

y E tampoco pertenece al lugar geométrico. por tanto el lugar geométrico consta exclusivamente de los puntos de ambos arcos, con la exclusión de los propios puntos A y B, en los que el ángulo estaría indefinido.

Saludos,
Entiendo lo de  los triángulos y lo del ángulo externo, pero cuando se construye el ángulo capaz se divide a la circunferencia en dos partes,  has probado los punto interiores y exteriores solo para una de las partes, pero no para la otra.

22 Febrero, 2018, 12:03 am
Respuesta #6

Ignacio Larrosa

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Entiendo lo de  los triángulos y lo del ángulo externo, pero cuando se construye el ángulo capaz se divide a la circunferencia en dos partes,  has probado los punto interiores y exteriores solo para una de las partes, pero no para la otra.

Es que en el otro arco el ángulo es el suplementario. En este otro semiplano no hay más que considerar el simétrico del arco situado en el otro semiplano y que forma parte del lugar geométrico. Solo coincidirán si el ángulo es de \( 90^\circ \), en cuyo caso el lugar es una circunferencia. De lo contrario son dos arcos simétricos..

Saludos,
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22 Febrero, 2018, 02:44 am
Respuesta #7

moliere

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Es que en el otro arco el ángulo es el suplementario. En este otro semiplano no hay más que considerar el simétrico del arco situado en el otro semiplano y que forma parte del lugar geométrico. Solo coincidirán si el ángulo es de \( 90^\circ \), en cuyo caso el lugar es una circunferencia. De lo contrario son dos arcos simétricos..

Saludos,
  No quiero ser molesto, pero no entiendo, ya que como lugar geométrico se debe también probar  que estos puntos no cumplen con la condición, es decir, con los  puntos interiores y exteriores de la otra parte del círculo.

22 Febrero, 2018, 09:17 am
Respuesta #8

Ignacio Larrosa

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Entiendo lo de  los triángulos y lo del ángulo externo, pero cuando se construye el ángulo capaz se divide a la circunferencia en dos partes,  has probado los punto interiores y exteriores solo para una de las partes, pero no para la otra.

Es que en el otro arco el ángulo es el suplementario. En este otro semiplano no hay más que considerar el simétrico del arco situado en el otro semiplano y que forma parte del lugar geométrico. Solo coincidirán si el ángulo es de \( 90^\circ \), en cuyo caso el lugar es una circunferencia. De lo contrario son dos arcos simétricos..

Saludos,
  No quiero ser molesto, pero no entiendo, ya que como lugar geométrico se debe también probar  que estos puntos no cumplen con la condición, es decir, con los  puntos interiores y exteriores de la otra parte del círculo.

Claro que debe probarse, pero se hace exactamente igual. Pero con el arco simétrico, no con el otro arco de la misma circunferencia.


Saludos,
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23 Febrero, 2018, 03:49 am
Respuesta #9

moliere

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Entiendo lo de  los triángulos y lo del ángulo externo, pero cuando se construye el ángulo capaz se divide a la circunferencia en dos partes,  has probado los punto interiores y exteriores solo para una de las partes, pero no para la otra.

Es que en el otro arco el ángulo es el suplementario. En este otro semiplano no hay más que considerar el simétrico del arco situado en el otro semiplano y que forma parte del lugar geométrico. Solo coincidirán si el ángulo es de \( 90^\circ \), en cuyo caso el lugar es una circunferencia. De lo contrario son dos arcos simétricos..

Saludos,
  No quiero ser molesto, pero no entiendo, ya que como lugar geométrico se debe también probar  que estos puntos no cumplen con la condición, es decir, con los  puntos interiores y exteriores de la otra parte del círculo.

Claro que debe probarse, pero se hace exactamente igual. Pero con el arco simétrico, no con el otro arco de la misma circunferencia.


Saludos,
Ya  entendí. El problema era que trazaba la circunferencia completa, sin ver que se trata de probar en un semiplano  y luego en el otro, ya que son dos arcos según se trace el ángulo dado en sentido horario o antihorario.
Muchas gracias.