Autor Tema: Camino mínimo

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

22 Enero, 2018, 05:04 pm
Leído 1978 veces

Michel

  • Lathi
  • Mensajes: 6,087
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Se da un punto P sobre un lado de un cuadrilátero abcd.
Hallar el camino mínimo que, partiendo de P, vuelve al mismo punto después de haber encontrado los otros tres lados.
Dios creó los números naturales, el resto es obra del hombre.
L. Kronecker

22 Enero, 2018, 08:08 pm
Respuesta #1

robinlambada

  • Moderador Global
  • Mensajes: 3,806
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola, como no puedo evitar ser físico, mi "solución" se basa en un principio de este tipo.
Spoiler
Supongamos que los lados del cuadrilátero son especulares (reflejan la luz ) y con un láser queremos lanzar un rayo desde un punto de un lado de tal manera que se refleje en cada lado y regrese al origen, ¿que pasa con la distancia recorrida por el rayo?, según el Principio de Fermat , la luz al propagarse por varios medios elige el camino de mínimo tiempo empleado, en este caso se puede decir que la trayectoria del rayo es mínima.

Basado en esto, la luz el regresar al punto P de partida recorre distancia mínima.

La solución es recrear ese rayo, teniendo en cuenta que según el teorema de Snell todo rayo reflejado en espejo perfecto el ángulo de incidencia es igual al de reflexión.

Con todo ello lo vemos con un dibujo.

Donde \( P' \) y \( P'_1 \) son las reflexiones axiales de P respecto a los segmentos BC y AD respectivamente y P'' el reflejado de P'  sobre el segmento CD.

Es fácil ver así que los ángulos de incidencia y reflejados en los lados son iguales.

Solo falta un "sutil detalle", que se demuestre con geometría esta solución.
[cerrar]

Saludos.
Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.

22 Enero, 2018, 08:13 pm
Respuesta #2

sugata

  • $$\Large \color{#9c57a6}\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 3,072
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Hola, como no puedo evitar ser físico, mi "solución" se basa en un principio de este tipo.
Spoiler
Supongamos que los lados del cuadrilátero son especulares (reflejan la luz ) y con un láser queremos lanzar un rayo desde un punto de un lado de tal manera que se refleje en cada lado y regrese al origen, ¿que pasa con la distancia recorrida por el rayo?, según el Principio de Fermat , la luz al propagarse por varios medios elige el camino de mínimo tiempo empleado, en este caso se puede decir que la trayectoria del rayo es mínima.

Basado en esto, la luz el regresar al punto P, de partida recorre distancia mínima.

La solución es recrear ese rayo, teniendo en cuenta que según el teorema de Snell todo rayo reflejado en espejo perfecto el ángulo de incidencia es igual al de reflexión.

Con todo ello lo vemos con un dibujo.

[cerrar]
Hola, como no puedo evitar ser físico, mi "solución" se basa en un principio de este tipo.
Spoiler
Supongamos que los lados del cuadrilátero son especulares (reflejan la luz ) y con un láser queremos lanzar un rayo desde un punto de un lado de tal manera que se refleje en cada lado y regrese al origen, ¿que pasa con la distancia recorrida por el rayo?, según el Principio de Fermat , la luz al propagarse por varios medios elige el camino de mínimo tiempo empleado, en este caso se puede decir que la trayectoria del rayo es mínima.

Basado en esto, la luz el regresar al punto P, de partida recorre distancia mínima.

La solución es recrear ese rayo, teniendo en cuenta que según el teorema de Snell todo rayo reflejado en espejo perfecto el ángulo de incidencia es igual al de reflexión.

Con todo ello lo vemos con un dibujo.

[cerrar]

¿Como se escoge el primer ángulo?

22 Enero, 2018, 08:47 pm
Respuesta #3

robinlambada

  • Moderador Global
  • Mensajes: 3,806
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
¿Como se escoge el primer ángulo?
Realmente todos los ángulos se calculan a la vez.

Te explico en este espoiler un problema similar , la reflexión sobre el primer lado, suponiendo conocido el punto del 2º lado donde se refleja.
Spoiler

Queremos lanzar un rayo de tal manera que partiendo del punto M llegue al punto N reflejado en un segmento KL


Para ello reflejamos el punto N sobre el segmento KL dándonos el punto N', así construido los triángulos ONL y ON'L Son congruentes 2 lados iguales formando 90º. por tanto los ángulos \( \theta \) e \( i \) , son iguales.

De igual manera \( \eta \) es igual a \( \theta \) por ser opuestos por el vértice.

Para el resto de lados del cuadrilátero he procedido igual. He calculado los puntos reflejados \( P \), \( P' \) y \( P'_1 \) y tambien el reflejado de P' sobre el lado CD que es P'' y he impuesto que el ángulo incidente y reflejado sobre CD sean iguales uniendo los puntos \( P'' \) con \( P'_1 \)
[cerrar]

Saludos.
Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.

22 Enero, 2018, 09:22 pm
Respuesta #4

robinlambada

  • Moderador Global
  • Mensajes: 3,806
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Hola, aquí dejo ese sutil detalle que me falto:

Spoiler
Sea G el punto sobre el segmento CD (opuesto del de partida ) que es solución del problema de camino mínimo.

Veremos que para el lado superior, BC, el punto "E"  que determina la distancia mínima de P al punto G sobre CD, es tal que los ángulos de incidencia y reflejados son iguales.


Supongamos que El camino seguido por el rayo fuera el que se refleja en el segmento BC en el punto H, por ser P' reflejado sobre BC de P, \( |PE|=|P'E| \) y también \( |PH|=|P'H| \) . Por la desigualdad triangular \( |P'G|<|P'H|+|HG|\Leftrightarrow{}|PE|+|EG|<|PH|+|HG| \)

El mismo  razonamiento se puede aplicar al resto de lados.
[cerrar]

Saludos.
P.D.: De algo me tendría que servir la Física.
Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.

22 Enero, 2018, 09:39 pm
Respuesta #5

sugata

  • $$\Large \color{#9c57a6}\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 3,072
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Muy interesante.
Recuérdame que nunca juegue contigo al billar. Debes ser un fiera ;)

22 Enero, 2018, 09:53 pm
Respuesta #6

robinlambada

  • Moderador Global
  • Mensajes: 3,806
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Muy interesante.
Recuérdame que nunca juegue contigo al billar. Debes ser un fiera ;)
:laugh: :laugh: :laugh: ...

Me gusta bastante el billar , es decir el de 3 bolas, pero que va, una cosa es la teoría que más o menos domino y otra muy distinta es llevarla a la práctica. El problema es que cuando he calculado el impulso, el ángulo de incidencia y espín a la bola, es la hora de cerrar el local. ??? ???
Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.

22 Enero, 2018, 10:00 pm
Respuesta #7

Ignacio Larrosa

  • $$\Large \color{#5b61b3}\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 2,277
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
    • Actividades con GeoGebra
Se da un punto P sobre un lado de un cuadrilátero abcd.
Hallar el camino mínimo que, partiendo de P, vuelve al mismo punto después de haber encontrado los otros tres lados.


Spoiler
A reflexionar tocan ...  :)
[cerrar]

Saludos,
Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
O incluso por muchísimo menos ...  (yo)

22 Enero, 2018, 10:11 pm
Respuesta #8

Ignacio Larrosa

  • $$\Large \color{#5b61b3}\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
  • Mensajes: 2,277
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
    • Actividades con GeoGebra
Cuando mandé el mensaje anterior no había visto las respuestas, me debió quedar congelada la pantalla.

El problema no siempre tiene solución. Para hallarla, basta reflejar el cuadrilátero sucesivamente en las tres caras en que no se encuentra E y unir E con su homólogo E''' en la última reflexión. Para construir la trayectoria en el cuadrilátero original, basta con ir reflejando hacia atrás los tramos del segmento EE''' que se encuentran en cada cuadrilátero reflejado.

El problema tiene solución si el segmento EE''' corta a los lados b, c' y d'' y en ese orden. Al tratarse de un segmento rectilíneo, tenemos asegurada que su longitud es mínima.




Saludos,
Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
O incluso por muchísimo menos ...  (yo)

22 Enero, 2018, 10:15 pm
Respuesta #9

robinlambada

  • Moderador Global
  • Mensajes: 3,806
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Spoiler
A reflexionar tocan ...  :)
[cerrar]

Saludos,
:D :D :D

Spoiler
Yo ya me canse de reflexionar, no se como lo hago pero siempre que reflexiono sobre este problema vuelvo al punto de partida. Desisto.
[cerrar]

P.D.: Cuando termine este mensaje ya has publicado Ignacio tu solución, siempre más elegante que la mía. Pensé que lo de reflexionar lo decías con doble sentido ó quizas triple.
Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.