Autor Tema: Trapecio

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18 Enero, 2018, 10:43 pm
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Matiasblink

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Buenas me podrían ayudar con este problema que no tengo ni idea de como realizar
(Perdonen mi pésimo dibujo)

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19 Enero, 2018, 02:29 am
Respuesta #1

Ignacio Larrosa

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Aunque pudiera parecer que no, los datos son suficientes, y la respuesta parece ser \( 6 \). Supongo que el camino pasa por demostrar una cualquiera de estas afirmaciones, que se deducen unas de otras:

- \( F \) es el baricentro de \( \triangle BMC \)

- \( M \) es el punto medio de \( \overline{AD} \)

- \( E \) es el punto medio de \( \overline{BM} \)

Pero  de momento no acierto a ver como mostrar ninguna de ellas ...


Saludos,


Daría todo lo que se por la mitad de lo que ignoro (R. Descartes)
O incluso por muchísimo menos ...  (yo)

23 Enero, 2018, 12:48 pm
Respuesta #2

Ignacio Larrosa

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Pero  de momento no acierto a ver como mostrar ninguna de ellas ...


En realidad es bastante sencillo. El cuadrilátero \( BCDM \) es un paralelogramo pues sus lados opuestos son paralelos, por lo que \( \overline{MD} = \overline{BC} = b \). Por otra parte, \( \triangle BCF\sim{}\triangle ADF \), por que sus ángulos en \( A\textrm{ y }C,\textrm{ y en }B\textrm{ y }D \), son alternos-internos. llamando \( a = \overline{AM} \), tenemos entonces que:

\( \displaystyle\frac{18+x}{12}=\displaystyle\frac{a+b}{b}=\displaystyle\frac{a}{b}+1 \)

Por el Teorema de Tales,

\( \displaystyle\frac{18}{x+12}=\displaystyle\frac{a}{b} \)

Sustituyendo \( \displaystyle\frac{a}{b} \)

\( \displaystyle\frac{18+x}{12}= \displaystyle\frac{18}{x+12}+1 \)

\( (18+x)(x+12) = 18\cdot{}12 + 12(x+12) \)

\( x^2 + 30x = 12x + 144 \)

\( x^2 + 18x - 144 = 0 \;\Rightarrow{}\;x = \displaystyle\frac{-18\pm{\sqrt[ ]{18^2-4\cdot{}(-144)}}}{2}\;\Rightarrow{}\;x =\left\{ \begin{matrix}{-24}\\{6}\end{matrix}\right. \)

donde solo nos interesa la solución \( x = 6 \). Se deduce además que \( a = b \).



Basado en la solución de José Luis da Vila en twitter (@jldavilaa01).

En general, si \( \overline{AE}=\displaystyle\frac{3}{2}\overline{FC} \), se tiene que \( a = b\textrm{ y }\overline{EF}=\displaystyle\frac{1}{2}\overline{FC} \).

Saludos,
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