Autor Tema: probabilidad, topología y geometría

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09 Enero, 2018, 03:49 am
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alexpglez

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Hola!

Me preguntaba si se había estudiado la posible contribución de la teoría de la probabilidad a la topología y a la geometría.

Tengo entendido que un gran punto de la probabilidad es el estudio de los procesos estocásticos, así como de las ecuaciones diferenciales estocásticas. Esto ya de por si es bastante interesante, pues podemos caracterizar el movimiento de una partícula física como un proceso estocástico, y en concreto por la ecuación:
[texx] m\frac{d^2 X(t)}{dt^2}=F(X(t),t) [/texx]
Donde [texx] X(t) [/texx] es una variable aleatoria [texx] \forall t \in I \subset \mathbb R [/texx], y [texx] F [/texx] es una función que a cada tiempo y a cada variable aleatoria, es otra variable aleatoria.

Caminando por esta sugerencia, encuentro interesante en preguntar como se vería la geometría si abstraemos la propia geometría (y por tanto también la topología) como algo "aleatorio" definido por medio de variables aleatorias en un espacio de probabilidad.

Por ejemplo, consideremos [texx] P [/texx] el espacio de variables aleatorias reales dentro de un espacio de probabilidad. Me imagino el siguiente conjunto:
[texx] \{(X,Y,Z) \in P\times P\times P | X^2+Y^2+Z^2\leq 1 \} [/texx]
Que sería algo así como el conjunto de variables aleatorias que llevan asigna un suceso a una "nube de probabilidad de puntos de [texx] \mathbb R^3 [/texx]".

No sé si matemáticamente hay algo desarrollado que mezcle la probabilidad y la geometría. Sería una rama bastante interesante.

Saludos