Hola a todos, tengo una pequeña duda en el lema de Gauss para la aplicación exponencial.
Pongo en el spoiler el fragmento de la demostración que sigo el cual no entiendo.


Lo que no entiendo es lo que está marcado en amarillo, concretamente porque con esa elección de \( \varepsilon' \) podemos asegurar que si \( s \in (-\varepsilon', 1+\varepsilon') \) entonces \( s\alpha(t) \in D_p \).
He intentado verlo por reducción al absurdo. Suponiendo que \( s \alpha(t) \not \in D_p \) entonces se tendrá que \( d(s \alpha(t), \alpha(t)) \geq \rho \) pues \( \alpha(t) \in D_p \), es decir que


Pero, no consigo llegar a ninguna contradicción a partir de esto pues no se como relacionar el \( \varepsilon' \) con la norma que me queda de \( \alpha(t) \).
¿Alguna idea de como seguir para obtener la contradicción?
O bueno, de como verlo si hay alguna manera más fácil.

Un saludo, y muchas gracias por su tiempo.

Hola, estudiando un ejemplo sobre como es necesario en el teorema de la aplicación abierta que ambos espacios sean de Banach, definimos \( Y \) un espacio de Banach separable de dimensión infinita y, si es \( \{e_i\}_{i \in I} \) una base de Hamel no numerable del espacio tal que cada vector tiene norma unidad, definimos una nueva norma sobre Y como
siendo \( x=\sum_{i \in I}{a_i e_i} \) (donde los coeficientes \( a_i \) serán nulos salvo en un número finito de casos).

Mi problema es que se supone que \( Y \) con esta nueva norma es el espacio que no es de Banach, el cual nos servirá para el contraejemplo que queremos dar, pero no consigo ver porque  por qué no lo es.
¿Alguna idea?

Un saludo, y muchas gracias por las respuestas.

Hola, estoy intentando probar si la sucesión de funciones definida en \( [0,1] \)


converge uniformemente a \( f(x)=\left |{x-\frac{1}{2}}\right | \).

He intentado realizarlo acotando la diferencia entre ambas funciones en dicho intervalo pero no llego a nada. ¿Alguna idea?
Un saludo y muchas gracias por sus respuestas.

Hola a todos, tengo el siguiente ejercicio:

En \( \left(\mathbb{R}^2, \tau_u \right) \) se considera la relación de equivalencia:


Y pide determinar las clases de equivalencia y el espacio cociente, decir si este es  Hausdorff y/o conexo por caminos, y calcular el grupo fundamental del espacio en \( [(0,0)] \).

Las dos primeras preguntas creo que las se responder, obtengo que

\( \mathbb{R}^2/\sim=\left\{  [(0,0)], [(0,3)] \right\} \)

y que la topología cociente es

\( \tilde{\tau}=\left\{\mathbb{R}^2/\sim , \emptyset , \left\{ [(0,3)] \right\} \right\} \).

No es Hausdorff pues el único abierto que contiene a \( [(0,0)] \) es el espacio total, y es conexo por caminos pues tome la aplicación

\( \alpha(t)=\begin{cases} [(0,0)] & \text{si}& 0 \leq t \leq \frac{1}{2} \\
[(0,3)] & \text{si}& \frac{1}{2} < t \leq 1\end{cases} \)

que de ser continua sería el camino deseado entre ambos puntos del espacio, y que creo es continua pues

\( \alpha^{-1}\left( [(0,3)] \right)=\left( \frac{1}{2}, 1 \right]  \)

es abierto en \( [0,1] \).

Ahora bien, si todo esto es correcto, no se por donde empezar para calcular el grupo fundamental :/

Un saludo, y muchas gracias por sus respuestas.

Hola, me piden calcular el orden de crecimiento de la función \( f(z)=\sin(\sin(z)) \) y la verdad, no se por donde cogerlo.
¿Alguna ayuda?
Un saludo y muchas gracias.

Hola, estoy intentando demostrar el siguiente enunciado:

 Sea \( f \) una función analítica en un abierto que contiene  un punto \( z_0 \) tal que \( f'(z_0)\neq{}0 \), entonces es biyectica en su imagen y su función inversa es analítica en un entorno de \( f(z_0) \) siendo \( \left( f^{-1} \right)'(w) =\frac{1}{f'\left( f^{-1}(w)\right)}  \)

He conseguido demostrar que existe un entorno abierto del punto tal que \( f \) es inyectiva y su derivada no se anula, con lo que podemos garantizar la existencia de la función inversa en la imagen de dicho entorno.
Ahora falta demostrar la analiticidad de ésta, y se que a partir del teorema de la función inversa para funciones reales de dos variables podría llegarse casi directamente a ello, pero me gustaría llegar al resultado sin emplear este teorema. ¿Alguna idea en ésto?
Un saludo y muchas gracias por su tiempo

Hola, en cierta demostración (concrétamente en la demostración de que el grupo fundamental es realmente un grupo algebraico) aparece la siguiente función:

Sea \( X \) cualquier espacio topológico y \( [0,1] \times [0,1] \) con la topología heredada de la usual en \( \mathbb{R}^2 \), se define \( F: [0,1] \times [0,1] \longrightarrow{} X \) como


donde \( f,g,h: [0,1] \longrightarrow{} X \) son continuas tal que las funciones expuestas son iguales dos a dos en los extremos de los intervalos de definición correspondientes.

Mi problema es que en todos los textos que consulto suponen ya obvio que esta función \( F \) es continua y sin embargo, no soy capaz de ver el porque. Si los intervalos de definición de la función fueran fijos si se como verlo, pero al depender estos de \( s \) no soy capaz de demostrar la continuidad de la función en \( [0,1] \times [0,1] \).
Un saludo y gracias por las respuestas.

Hola, tengo la siguiente definición de función creciente en un punto:

Sea \( f \) una función definida en un intervalo \( I \), diremos que \( f \) es creciente en un punto interior \( x_0 \), de \( I \), si existe un cierto \( \delta >0 \)  tal que \( f(x) \leq f(x_0) \) si \( x \in (x_0-\delta, x_0) \) y \( f(x_0) \leq{}f(x) \) si \( x \in (x_0, x_0 +\delta) \).

Ahora, es claro que si una función es creciente en un intervalo \( I \) (\( f(y) \geq{} f(x) \) para cada \( y, x \in I \) tal que \( y \geq{}x \)) entonces es creciente en cada uno de sus puntos con la definición anterior.
Sin embargo, soy incapaz de demostrar si el recíproco es cierto en general, es decir, si dada una función definida en un cierto intervalo abierto tal que es creciente en cada punto, entonces la función es creciente en dicho intervalo.

Otra duda que tengo también relacionada es demostrar que en general puede ocurrir que una función \( f \) sea creciente en un punto, y que sin embargo, no sea creciente en ningún entorno de dicho punto.
Para ello tomo la función definida en todo \( \mathbb{R} \) por \( f(x)=x+ x^2 \sin\left(\dfrac{1}{x}\right) \) si \( x\neq{}0 \) y \( f(0)=0 \). La función es derivable en \( x=0 \) y tenemos que \( f'(0)=1 >0 \), luego \( f \) es creciente en \( x=0 \) (esto lo tengo demostrado, que si la derivada en el punto es positiva, entonces la función es creciente en el punto). Ahora, trato de ver que \( f \) no es creciente en ningún entorno de cero, para lo cual intento ver que la derivada de \( f \) en cualquier entorno reducido de cero toma valores tanto positivos como negativos.
La derivada es \( f'(x)=1+2x \sin\left(\dfrac{1}{x}\right) - \cos\left(\dfrac{1}{x}\right) \), y veo claro que para cualquiera de estos entornos de cero, existe un cierto \( k \in \mathbb{N} \) tal que \( x_0=\dfrac{1}{\frac{\pi}{2}(1+4k)} \) pertenecerá a dicho entorno y \( f'(x_0)>1 \). Sin embargo, no consigo encontrar una forma sistemática de demostrar que existen también siempre puntos que hacen esta derivada negativa.

¿Alguna idea para estas dos cuestiones?
Un saludo y muchas gracias por sus respuestas

Hola, tengo una duda respecto a la topología producto de un número finito de espacios topológicos.
Tengo demostrado que la topología producto de \( \mathbb{R} \) con la topología usual consigo mismo es igual a la topología usual definida en \( \mathbb{R}^2 \). Y, a partir de esto, aunque no lo he demostrado, creo que el producto cartesiano de la base de \( \mathbb{R} \) formada por las bolas abiertas de este espacio consigo mismo es base de la topología producto.
Mi duda ahora surge de que creo que esto no es cierto en general, es decir que el producto cartesiano de las bases de varios espacios topológicos sea base de la topología producto, sin embargo, no consigo encontrar ningún ejemplo de ello, o si estoy equivocado, demostrar lo contrario.
¿Alguna idea?
Un saludo y muchas gracias.

Hola, tengo planteado el siguiente problema:

Resolver mediante una transformación a coordenadas esféricas \( \displaystyle\int\hspace{-2.5mm}\int\hspace{-2.5mm}\int_S \left[(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2\right]^{-\frac{1}{2}}dx\hspace{0.5mm}dy\hspace{0.5mm}dz \) siendo \( S \) una esfera de radio \( R \) y centro en el origen, y \( (a,b,c) \) un punto fijo exterior a la esfera.

He intentado realizar previo al cambio a coordenadas esféricas otra transformación que me simplificara los términos del integrando de la forma \( u=x-a, v=y-b, w=z-c \) pero al realizar este cambio, la región sobre la que integrar, la esfera, sufre una traslación siendo su nuevo centro el punto \( (-a,-b,-c) \) y vuelvo a tener el mismo problema con las constantes, a parte de que ni si quiera se como plantear la transformación a coordenadas esféricas, pues no se como variarían en este caso de una esfera con el centro desplazado las diferentes coordenadas.
¿Alguna idea?

Muchas gracias por su tiempo, y espero puedan solucionar mi duda.

EDITO: Acabo de caer en la cuenta de que si realizamos una rotación de los ejes de modo que el eje z pase por el punto \( (a,b,c) \) todo se simplifica enormemente y, puesto que la esfera tiene simetría rotacional, la región de integración no varía y es fácil aplicar el cambio a coordenadas polares.