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Mensajes - athairdos

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Estructuras algebraicas / Re: Duda sobre notación de Grupo
« en: 28 Febrero, 2021, 03:32 am »
gracias! al parecer se trata del grupo de.automorfismos del grupo \( G=(Z_{8}, +) \);

o sea:

\( Aut(G)=(\Phi_{8}, \times)=(\left\lbrace1, 3, 5, 7\right\rbrace, \times) \);

lo he sacado de una respuesta a una pregunta sobre el nůcleo de una acción de.grupo, es.decir: \( \phi:G\rightarrow{S_{X}} \).

Aprovecho para preguntar sobre el.grupo de automorfismos de un grupo \( (Z_{p}, +) \); entiendo que cada grupo de enteros-módulo-p se puede expresar como el grupo de las "p-clases residuales" con la.operación del.grupo (aquí \( (Z_{8}, +) \) constaría de 8 elementos, mientras.que \( \Phi \) de sólo 4 elementos... )

en todo caso, ¿en qué constaría un automorfismo en este contexto (para un grupo en general, sé que.un automorfismo puede ser una permutación de sus elementos; para el caso de los vértices de.un cuadrado, el grupo.de.sus.simetrías constaría de 8 elementos: 4 rotaciones y 4 reflexiones axiales; siendo, por.ej., el subgrupo de las rotaciones, que consta de 4 elementos, isomorfo a \( (Z_{4}, +) \)...)

gracias y saludos

2
Estructuras algebraicas / Re: Grupo de Klein \(Z_2\times Z_2\)
« en: 27 Febrero, 2021, 01:25 am »
pd: en la.solución al ejercicio 1, se lee=

\( (1, 1)+(1, 1)=(1, 1) \)

entiendo que debería.decir \( (1, 1)+(1, 1)=(0, 0) \); es esto correcto?

por otro lado, seniala que el orden del elemento idéntico es 1, mientras que el de los restantes elementos es 2, con lo cual se tiene que el grupo no es.cíclico; aprovecho.la.ocasión para preguntar sobre la relación entre el orden de la identidad vs el orden de los demás elementos en los grupos cíclicos (deben ser múltiplos, por ej.? deben tener relacion con el orden del elemento generador?)

gracias

3
Estructuras algebraicas / Re: Grupo de Klein \(Z_2\times Z_2\)
« en: 26 Febrero, 2021, 10:41 pm »
gracias!!

4
Estructuras algebraicas / Grupo de Klein \(Z_2\times Z_2\)
« en: 26 Febrero, 2021, 09:18 pm »
Hola; he dado.en un desarrollo con la.mención al grupo de Klein \( Z_{2}\times Z_{2} \).

Parece un producto cartesiano o producto directo de \( Z_{2} \) con sì mismo; pero ignoro si esto es.correcto;

en todo caso, la pregunta sería acerca de la estructura del.grupo en cuestión; si alguien puede dar una breve presentación del mismo, serìa muy bueno

saludos; gracias

5
Estructuras algebraicas / Duda sobre notación de Grupo
« en: 26 Febrero, 2021, 09:06 pm »
Hola; tengo la siguiente duda (sobre notación de un grupo):

qué grupo es el de la notación: \( (\phi_{8}, \times) \)? se me ocurre que podría ser el subgrupo multiplicativo de los.enteros módulo-8; pero.no estoy seguro...no conozco la notación q usa la letra \( \phi \)...

gracias; saludos

6
Geometría y Topología / Re: Referencia proyectiva
« en: 04 Febrero, 2021, 02:50 pm »
Gracias! Tengo algunas preguntas mas o menos inconexas relacionadas con el tema; aqui van algunas (por ahora, pienso que  a la cuestión del "punto unidad" la voy entendiendo; en alguna pregunta de mas abajo surgira la posibilidad de dar un poco de contexto al tema; aunque las preguntas apuntan en principio a cuestiones más o menos básicas de álgebra lineal):

1-las siguientes ecuaciones de rectas del infinito en un plano proyectivo \( P^{2} \), \( ax+by+cz=0 \) y \( z=0 \) (ó \( x=0 \)) se pueden poner en correspondencia mutua por un cambio de referencia proyectiva en \( P^{2} \)?

2-mientras q para la ecuación del tipo \( z=0 \), se tiene que el vector normal al hiperplano es \( (0, 0, 1) \), para el caso de un hiperplano dado por \( x+y+z=0 \) se tiene \( (1, 1, 1) \): en todo caso, se pueden tomar como \( n+1 \) puntos (o sea, 3) para una referencia (parcial, sin punto unidad) a las clases (rectas vectoriales unidimensionales) correspondientes al vector normal además de 2 vectores l.i's en/para los subespacios (hiperplanos) correspondientes en ambos casos?

2-b) el par de vectores l.i's asociados al vector normal \( (1, 1, 1) \) se puede obtener por producto cruz?

3-si se tomara dicho par para la referencia de \( P^{2} \) junto su vector normal, las coordenadas de hiperplano pasarían a ser \( z=0 \), por ej.?

4-si no se tomara como referencia de \( P^{2} \) al conjunto de 3), entonces el punto asociado a \( (1, 1, 1) \) se podría expresar en la forma (tradicional o elemental) \( \lambda_{2} (1, 1, 1) \) (es decir \( [1: 1: 1] \)?

5-en base al planteo de 4), se podria concebir al par de vectores dados por el producto cruz antedicho, como un limite al dividir por \( \lambda_{2} \)? (Esta es la parte q menos clara me queda, si bien reconozco que me podria esmerar un poco más al formular la pregunta...no me queda claro si esto depende de la referencia que se esté considerando al momento de plantear dicha división y límite...antes de llegar a una respuesta).

6-si, partiendo de un hiperplano impropio de ecuación \( ax+by+cz=0 \) se considerara \( z=1 \) de modo de obtener \( ax+by+c=0 \), en ese caso se habría obtenido la ecuación de una recta afín? Para dicha recta afin se podría agregar el punto impropio \( (\frac{a}{b}, 0) \)?

Gracias y saludos






7
¡Gracias! Creo que tal vez mi duda se pueda resolver con la siguiente pregunta (si es que, como pienso ahora, aquella se origina en confundir, en el sentido de dar por iguales o equivalentes, una base vectorial-conjunto l.i de vectores y vectores de coordenadas en esa base, por un lado, y una referencia.proyectiva; en el sentido que la siguiente pregunta tratará de esclarecer):

En el proceso de límite en el que la división por una de las coordenadas en un espacio proyectivo, lleva a la anulación de la misma (o de una variable vectorial, creo que se podría decir) cuando el denominador tiende a \( \infty \) (arrojando un hiperplano límite) digamos, en ese proceso corresponde escribir el límite como (ó en términos de) un vector (de coordenadas) tal como: \( (x, y, 0) \); ó bien en términos de un punto; es decir, en la forma \( [x: y: 0] \)?

Ó dicho de otra forma (más básica todavía): ¿el límite de aquel proceso se da en términos de vectores ordinarios ó más bien en términos de elementos del espacio cociente?

No sé si se entenderá el planteo...

Saludos

8
Hola, tengo las siguientes dudas (conceptuales o generales, digamos) sobre transformaciones proyectivas y afines:

1-Considerando un plano proyectivo \( P^{2} \), por.ejemplo, sería correcto.decir.que.una transformación afín deja.invariante a la recta del.infinito en el.sentido.de.que.aplica.dicho.subespacio-hiperplano \( H_{\inf} \) sobre sí mismo; es.decir, dado.que.define un.automorfismo.para.dicho.hiperplano (a saber, \( H_{\inf}\rightarrow{H_{\inf}} \))?

2-Dado un.plano proyectivo \( P^{2} \); una referencia en el mismo y una transformación proyectiva (ej..una matriz regular de \( 3\times3 \)): luego, es correcto decir que el.transformado del.hiperplano impropio \( H' \), expresado en términos.de la.referencia inicial tendrá como ecuación una ecuación distinta a las de la forma usual: \( z=0 \), ó \( x=0 \), por ejemplo?

gracias

9
Hola; tenia la duda de como separar las partes afin, proyectiva y homotecia de una matriz que represente una transformacion de un espacio proyectivo \( P^{n} \); dado que la parte afin deberia dejar invariante un hiperplano \( H \) (del infinito), etc. La pregunta involucraria, ademas, algunas cuestiones sobre la notacion de una transformacion proyectiva (por ej. si es necesario para una transformacion \( T \) su escritura en la forma \( \lambda T \), para capturar la parte asociada a la homotecia)?

gracias

10
Geometría y Topología / Espacio Proyectivo y Transformaciones
« en: 28 Enero, 2021, 10:24 pm »
Hola, tengo la siguiente duda: suponiendo por un lado un espacio proyectivo de dimension n; por ejemplo, una recta \( P^{1} \) y su referencia dada por 3 puntos, por ejemplo \( \left\{{1, 0); (0, 1); (1, 1)}\right\} \); y por otro lado una transformacion del mismo (homografia) representada por una matriz de 2x2; entonces la pregunta seria: ¿para encontrar los transformados de los puntos de la referencia inicial segun la matriz (homografia) dada, se debe proceder uno por uno (es decir, aplicar el producto matricial de matriz y punto, en forma individual en cada uno de los 3 puntos de la referencia)?

saludos y gracias

11
Geometría y Topología / Re: Referencia proyectiva
« en: 28 Enero, 2021, 05:14 am »
Gracias! Entonces las coordenadas \( (1,1) \) en la referencia \( \left\{{(10, 0);(0, -7);(100, 200)}\right\} \) designan en la referencia canonica al punto \( (100, 200) \)?

Todavia no alcanzo a comprender completamente la cuestion de la proporcionalidad; he calculado las coordenadas del punto \( (2, 3) \) en \( \left\{{(1, 0);(0, 1); (1, 2)}\right\} \), que resultan \( (2, \frac{3}{2}) \), por un lado; y por otro lado, las coordenadas del mismo punto en \( \left\{{(10, 0);(0, -7);(100, 200)}\right\} \), que resultan en \( \frac{1}{100}(2, \frac{3}{2}) \); es decir, son proporcionales. Sin embargo, aun me queda la siguiente duda: esta forma de referencia tiene por objeto el utilizar los multiplos arbitrarios del punto unidad para que, junto con la normalizacion aplicada a los resultantes de tomar cualesquiera otros representantes de los puntos n+1 iniciales, la modificacion de las coordenadas de un punto arbitrario obedezca a un cambio meramente proporcional tambien (como en el punto unidad)?

saludos

12
Geometría y Topología / Re: Referencia proyectiva
« en: 27 Enero, 2021, 08:04 am »
Gracias! Se me ocurre que las.coordenadas \( (1, 1) \) en la referencia en cuestión, designan al punto \( (10, -\frac{200}{7}) \) en la referencia canónica. ¿es esto correcto?

Saludos

13
Geometría y Topología / Re: Referencia proyectiva
« en: 26 Enero, 2021, 12:53 am »
Gracias! Las coordenadas de \( (1, 2) \) en la segunda referencia dada (a saber,
Citar
{(10,0),(0,−7);(100,200)}.
) serian \( \frac{1}{100}(1, 1) \)?

saludos

14
Geometría y Topología / Referencia proyectiva
« en: 25 Enero, 2021, 02:22 am »
Hola; tengo la siguiente duda; dada una referencia proyectiva en un espacio proyectivo \( P^{n} \) por \( n+2 \) puntos; todo punto del espacio en cuestión se puede expresar a partir de los mismos (como.combinación lineal de ellos, salvo  múltiplos escalares  \( \lambda \))?

Por ejemplo, en una recta proyectiva los puntos se pueden expresar (salvo múltiplos escalares) como combinaciones de 3 puntos (incluído el punto unidad): si llamamos \( u_{0}, u_{1} \) y \( u \) a 2 puntos independientes y al punto unidad, respectivamente, entonces los elementos de la recta se pueden expresar como: \( x_{0}u_{0}+x_{1}u_{1}+x_{2}u \)?

Ó en un plano proyectivo, como \( x_{0}u_{0}+x_{1}u_{1}+x_{2}u_{2}+x_{3}u \); o sea, combinaciones de 4 puntos, incluído el punto unidad \( u \) definido en el mismo?

Gracias y saludos.

15
Geometría y Topología / Re: Espacio afin (2 preguntas)
« en: 24 Enero, 2021, 10:22 pm »
Gracias! Entonces, seria correcto decir que para una referencia afin de \( A^{2} \) se requieren (no menos) de 3 puntos proyectivos de \( P^{n} \)? o, tal vez, 3 puntos proyectivos junto con (o ademas de) una referencia proyectiva (de \( n+2 \) puntos)?

No me queda claro.si la accion de grupo que establece el subespacio afín en un espacio proyectivo (suponiendo que esto fuera correcto) requiere de la definición (previa, o.simultánea, al.menos) de una referencia proyectiva (?).

Saludos

16
Geometría y Topología / Re: Espacio afin (2 preguntas)
« en: 24 Enero, 2021, 05:03 am »
Gracias! Aprovecho la ocasión para preguntar sobre algo un tanto distinto.

Un conjunto como \( \left\lbrace\alpha, \beta, \gamma\right\rbrace \) con \( \alpha=(\alpha_{0}, \alpha_{1}, 1) \),   \( \beta=(\beta_{0}, \beta_{1}, 1) \) y  \( \gamma=(\gamma_{0}, \gamma_{1}, 1) \), es una base en el plano afín \( A_{2}: z=1 \) asumiendo que los vectores diferencia resultantes sean linealmente independientes?

Saludos

17
Geometría y Topología / Re: Espacio afin (2 preguntas)
« en: 23 Enero, 2021, 06:25 pm »
Gracias! Para dotar al espacio \( R^{2} \) (ú otro), de una estructura de espacio afín lo que se requiere es definir una acción de grupo de \( G \) sobre sí mismo, ej.: \( G \times G \rightarrow {G} \)? Saludos

18
Geometría y Topología / Re: Espacio afin (2 preguntas)
« en: 22 Enero, 2021, 08:17 pm »
Gracias!! En contraste con un espacio vectorial, en el que sí existe un origen O (vector nulo, neutro del grupo aditivo) y se puede definir como grupo abeliano respecto de la adición (cerrado para la adición, existencia de neutro e inverso para la adición); un espacio afín no tiene origen ni, por ende, estructura de grupo aditivo.

Una duda (relacionando 2 ideas previas) es si la inexistencia de estructura de grupo aditivo (y origen O) para el caso de un espacio afín \( A_{n} \), se puede vincular con la inexistencia de isomorfismo entre \( R_{2} \) y el conjunto de puntos tales como \( {(x, y, 1)} \) en \( R_{3} \)?

Es decir, si puesto que \( R_{2} \) es un espacio vectorial (de dimensión 2) y por lo tanto grupo aditivo \( (R\times R, +) \) por un lado; y que, además, la aplicación \( R_{2}\rightarrow {(x, y, 1)} \) no es un isomorfismo, todo esto pueda justificar, si quiera de forma no demasiado explícita, el que un subespacio afín no tenga origen (no sea grupo respecto de la adición)?

Saludos

19
Geometría y Topología / Espacio afin (2 preguntas)
« en: 19 Enero, 2021, 01:18 am »
Hola; tengo dudas sobre 2 aspectos del espacio afín: las 2 son conceptuales; en todo caso las dejo por si hubiera una respuesta mas o menos directa.

1-El concepto de espacio afín como espacio sin origen, se podría interpretar en el caso de un plano afín \( A_{n} \) del siguiente modo: un plano afín \( A_{n} \) es un espacio al que le falta el punto \( (0, 0, 0) \) (es decir, un punto del infinito)? O dicho de otro modo, el origen que falta en un espacio afín es un punto del infinito (de un espacio proyectivo)?

2-tomando como plano afín al plano z=1, en el mismo se cumple la cuestión de las combinaciones afines: a saber, que los puntos del plano se pueden expresar como combinaciones a partir de coeficientes cuya suma es 1(es decir \( a_{0}x_{0}+...+a_{n}x_{n} \) con
\( \Sigma_{i}a_{i} \)=1)?

Gracias y saludos.

20
Geometría y Topología / Transformaciones afines y matrices
« en: 18 Enero, 2021, 06:15 pm »
Hola, tengo la siguiente duda:

teniendo que la matriz \( \begin{bmatrix}a&c&0\\b&d&0\\k_{1}&k_{2}&1\end{bmatrix} \) corresponde a una transformación afín de \( K^{2} \) (para un vector fila \( \begin {bmatrix}x_{0}&x_{1}&1\end{bmatrix} \)), entonces las siguientes matrices:

\( \begin{bmatrix}a&0&c\\k_{1}&1&k_{2}\\b&0&d\end{bmatrix} \),
y
\( \begin{bmatrix}1&k_{1}&k_{2}\\0&a&c\\0&b&d\end{bmatrix} \),
para vectores \( \begin{bmatrix}x_{0}&1&x_{2}\end{bmatrix} \) y \( \begin{bmatrix}1&x_{1}&x_{2}\end{bmatrix} \), respectivamente;

tambíén corresponden a transformaciones afines de \( K^{2} \) ?

Gracias de antemano y saludos.

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