Gracias, ya lo veo, y para el caso general no se si estaría bien la siguiente demostración, tomando en cuenta lo que han escrito, me dicen que piensan :

\( a_{11}+a_{22}+...+a_{n-1n-1}=-a_{nn} \), esto da a lugar a \( n-1 \) matrices linealmente independientes en el peor de los casos.

Como \( dim(M_{nxn}(R)) =n^2 \), necesito \( n^2-n \) matrices linealmente independientes para cada elemento que este fuera de la diagonal principal, ya que son \( n \) elementos de la diagonal principal, y para los elementos de la diagonal principal necesito \( n-1 \) matrices linealmente independientes, ya que un elemento quedará en termino de los otros de la diagonal por ser la traza igual a cero.

Por tanto, en total serán:

\( (n^2-n)+(n-1)=n^2-1 \)

Al final da la dimensión.

¿Que piensan?

El porque se deduce eso de la primera ecuación, y al parecer también de la segunda es por lo siguiente:

Sabemos que:
\( A_{2}=-A_{1} \), por ser el juego de suma cero.

\( A_{1}=(u_1(s_{1}^i,s_{2}^j)) _{i=1,...m;j=1,...n} \) y \( A_{2}=(u_2(s_{1}^i,s_{2}^j)) _{i=1,...,m;j=1,...n}=-A_{1} \)

Y además: Dada una función real cualquiera \( f(x)  \), el opuesto del máximo de \( f(x)  \) es igual al mínimo del opuesto de \( f(x)  \), es decir, \( -max f(x)=min(-f(x))  \), y análogamente, \( -min(f(x)) =max(-f(x))  \).

Asi:

\( \sigma_{1}^*A_{1}\sigma_{2}^{*t}=-\sigma_{1}^*A_{2}\sigma_{2}^{*t}=-máx_{\sigma_{2} \in \Delta(S_{2})}\left\{{\sigma_{1}^*A_{2}\sigma_{2}^{t}}\right\}=-max_{\sigma_{2} \in \Delta(S_{2})} \left\{{-\sigma_{1}^*A_{1}\sigma_{2}^{t} }\right\}=min_{\sigma_{2} \in \Delta(S_{2})} \left\{{\sigma_{1}^*A_{1}\sigma_{2}^{t}}\right\} \)

Si tienen duda de la notación, estoy a la orden para responder eso🙏, adjunto una foto de la matriz de pagos.

Por cierto, \( \sigma_{i}  \) es la estrategia mixta del jugador \( i \), y \( U_{1}(\sigma_{1}, \sigma_{2}) \) es la utilidad esperada del jugador \( 1 \)dado que el jugador \( 1 \) y \( 2 \) juegan las estrategias mixtas \( \sigma_{1} \) y \( \sigma_{2} \) respectivamente, análogamente para el jugador \( 2 \) y \( u_{1}(s_{1},s_{2}) \) es la ganancia del jugador \( 1 \) dado que el jugador \( 1 \) y \( 2 \) juegan las estrategias \( s_{1} \) y\( s_{2} \) respectivamente, análogamente para el jugador \( 2 \).

Hola, tengo el siguiente problema :

Dado un juego bipersonal finito de suma cero cualquiera \( G=\left\{{S_{1},S_{2};u_{1},u_{2}}\right\}, \) dicho conjunto tiene un valor. Es decir, existe un \(  v \in R  \) tal que \( v_{1}=v_{2}=v,  \)siendo \( v_{1} \) y \( v_{2} \) los valores maximín y minimax. Es decir, demostrar que  \( v_{1}=v_{2}=v \).

Pará la demostración tengo lo siguiente:

Por ser un juego finito, existe un Equilibrio de Nash en \( G \) (para esto existe un teorema ya demostrado). Sea \( (\sigma_{1}^*,\sigma_{2}^*) \) uno de tales equilibrios. Por definición de Equilibrio de Nash, se cumplen las afirmaciones siguientes:

\( U_{1}(\sigma_{1}^*,\sigma_{2}^*)=\sigma_{1}^*A_{1}\sigma_{2}^{*t} =máx_{\sigma_{1} \in \Delta(S_{1})}\left\{{\sigma_{1}A_{1}\sigma_{2}^{*t} }\right\} \)

\(  U_{2} (\sigma_{1}^*, \sigma_{2}^*)=\sigma_{1}^*A_{2}\sigma_{2}^{*t} =máx_{\sigma_{2} \in \Delta(S_{2})}\left\{{\sigma_{1}^*A_{2}\sigma_{2}^t}\right\} \)

\( \Delta(S_{i})  \) es el conjunto de estrategias mixtas del jugador \( i \), indicando cor ello que el conjunto de estrategias mixtas de un jugador está formado por todas las loterías sobre \( S_{i}  \), es decir las distribuciones de probabilidad sobre \( S_{i}  \).

\( \Delta(S_{i}) =\left\{{\sigma_{i} =(\sigma_{1}^1,\sigma_{2}^2,...,\sigma_{i}^k):\sigma_{i}^j\geq{0}, j=1,2,...,k. \sum_{j=1}^k{\sigma_{i} ^j}=1}\right\} \)



De la primera ecuación se deduce que:

\(  U_{1}(\sigma_{1}^*,\sigma_{2}^*)=\sigma_{1}^*A_{1}\sigma_{2}^{*t} =min_{\sigma_{2} \in \Delta(S_{2})}\left\{{\sigma_{1}^*A_{1}\sigma_{2}^t}\right\}     \)

Es lo que tengo, y esta en el libro de Pérez, esta en la parte cuando se empieza a ver estrategias mixtas y juegos bipersonales de suma cero, pero no explica la demostración y no se si esta demostracion del libro tiene un error. Gracias de antemano por su ayuda. 🙏

Gracias a los dos , muy amables , ahora ya entiendo la inecuación que haya que plantear.

¿Me dices que en el nuevo contrato mensualmente el salario del vendedor será el 3% de las ventas y solo eso?

¿En el nuevo contrato ganaría solo 3% sobre las ventas mensuales, ya sin ganar los 2000 dólares mensuales?
Y ¿Será mayor la ganancia en el nuevo contrato o menor?

Jajajaa, no se ni como plantearlo.

Cuando dice que este año renuncio y le pide al jefe únicamente el 3% sobre las ventas,¿No entiendo por cuánto tiempo(meses o en un año) pide este porcentaje sobre las ventas ?

No entiendo que significa que los costos sean iguales.

Sinceramente no veo porque hay que resolver esa inecuación, he estado viendo dos tipos de ecuaciones, la de utilidad= ingresos - costos , y una inecuación que dice: 
Costo de adquisición>costo de fabricación, pero no veo como usarlas en este caso.

Muchas gracias, es un problema del área de economía, pero no tengo idea si está bueno, pero gracias, lo revisaré.