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Mensajes - Luis Fuentes

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1
Hola

Disculpa me equivoqué escribiendo, me refería a que el radio espectral no es una norma matricial,

Bien; sea como sea no lo es por el motivo que te he dicho.

Saludos.

2
Hola

1. Probar que el radio espectral no es una norma espectral para matrices \( n\times n \) (aquí estuve buscando un contra ejemplo que rompa la desigualdad triangular pero no lo he encontrado)

No estoy 100% seguro de a que te refieres con norma espectral. Desde luego no es una norma porque por ejemplo el radio espectral de:

\( \begin{pmatrix}{0}&{1}\\{0}&{0}\end{pmatrix} \)

es cero, pero la matriz no es la matriz nula.

Saludos.

3
Hola

Sea \( P(n) \) la proposición \( a_n \) es divisible por \( 3^n \) pero no por \( 3^{n+1} \), en otras palabras, \( a_n=3^nb_n \) con \( b_n \) NO divisible por \( 3 \).

Supón cierto \( P(n),P(n+1),p(n+2) \) y prueba \( P(n+3) \).

Por hipótesis de inducción tienes que:

\( a_n=3^nb_n \) con \( b_n \) no divisible por \( 3 \)
\( a_{n+1}=3^{n+1}b_{n+1} \) con \( b_{n+1} \) no divisible por \( 3 \)
\( a_{n+2}=3^{n+2}b_{n+2} \) con \( b_{n+2} \) no divisible por \( 3 \)

Sustituyendo en \( a_{n+3}=12a_{n+2}-77a_n^5 \):

\( a_{n+3}=4\cdot 3^{n+3}b_{n+2}-77\cdot 3^{5n}b_n^5 \)

\( a_{n+3}=3^{n+3}(4\cdot b_{n+2}-77\cdot 3^{4n-3}b_n^5) \)

Y ahora simplemente nota que:

\( b_{n+3}=4\cdot b_{n+2}-77\cdot 3^{4n-3}b_n^5 \)

no es divisible por \( 3 \), porque si lo fuese \( 3 \) también dividiría a \( b_{n+1} \), lo cuál no es cierto.

Saludos.

4
Hola

Hola FORO!!!  :) Buenos días, necesito de su gran ayuda, por favor con el siguiente ejercicio

Dada la sucesión \( (a_n)_{n\in{\mathbb{N}}} \) definida \( a_1=21 \), \( a_2=45 \), \( a_3=54 \) y \( a_{n+1}=12a_{n+2}-77a_n^5 \) \( (n\geq{1}) \).  Probar por inducción que para todo \( n \in{\mathbb{N}} \) vale que \( 3^n \) divide a \( a_n \) y \( 3^{n+1} \) no divide a \( a_n \).

Antes de nada revisa la ecuación; sospecho que la has escrito mal.

Saludos.

5
Hola

Respecto a la segunda bola, no se repite la extracción se repite el sorteo desde el principio, comenzando de nuevo con las decenas de millar (0-1) de esta forma nos aseguramos que el numero obtenido está comprendido dentro del rango de números elegibles (1-12.800), ¿afectaría a la probabilidad?

Si; te había entendido mal.

Entonces todos los números son equiprobables. La idea es que puedes suponer que completas siempre el sorteo hasta el final y si sale número fuera de rango se repite. Eso encaja en la siguiente situación general:

Tenemos un conjunto de \( A \) números equiprobables, y un subconjunto \( B\subset A \). Si el número cae fuera de \( B \), repetimos el sorteo.

Entonces si llamamos \( X_i \) al número en \( A \) obtenido en el \( i \)-ésimo intento,  y \( X \) al número de \( B \) obtenido cuando estamos en rango y detenemos el sorteo, dado \( n\in B \) tenemos que:

\( P(X=n)=P(X_1=n)+P(X_1>n)P(X_2=3)=n+P(X_1>n)P(X_2>n)P(X_3=n)+\ldots= \)

Las variables \( X_i \) son equiprobables, y \( P(X_i=n)=\dfrac{1}{card(A)}=p \) y \( P(X_i>n)=1-\dfrac{card(B)}{card(A)}=q \). Entonces:

\( P(X=n)=p\displaystyle\sum_{i=0}^n{}q^i=\dfrac{p}{1-q}=\dfrac{1}{card(B)} \)

Es decir todos los números del conjunto \( B \) equiprobables.

Saludos.

P.D. Otra forma de verlo es tener en cuenta que \( P(X=n|X_1>n)=P(X=n) \) es decir la probabilidad de que salga el número \( n \) sabiendo que en el primer intento no salió es la misma que la inicial, ya que simplemente se repite el sorteo. Entonces:

\( P(X=n)=P(X=n|X_1\leq n)P(X_1\leq n)+P(X=n|X_1>n)P(X_1>n)=\dfrac{1}{card(B)}\dfrac{card(B)}{card(A)}+P(X=n)\left(1-\dfrac{card(B)}{card(A)}\right) \)

Despejando: \( P(X=n)=\dfrac{1}{card(B)} \).

Añadido: Incluso hay un razonamiento más rápido para concluir que la probabilidad de obtener cualquier número del conjunto \( B \) es la misma. Simplemente en la definición del experimento probabilístico lo único relevante es si los elementos están o no en \( B \), es decir, no se distinguen unos elementos de \( B \) de otros.

6
Hola

 Bienvenido al foro.

 Recuerda leer y seguir  las reglas del mismo así como el tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

necesito ayuda para resolver la siguiente problema:

En un sorteo en el que el máximo numero que puede obtenerse es el 12.800, se utilizan 10 bolas numeradas del 0 al 9, las cuales se introducen en una bolsa y se hacen 5 extracciones aleatorias consecutivas con reposición, con los siguientes condicionantes:

-para la extracción del primer numero (decenas de millar) se introducen en una bolsa solo 2 bolas correspondientes a los números 0 y 1.

-para la extracción del segundo número (unidades de millar) se introducen en una bolsa las 10 bolas (0-9) con una condición: si sale un número mayor o igual a 3 se repite el sorteo, comenzando de nuevo el sorteo con las decenas de millar.

Para el resto de extracciones (centenas, decenas y unidades) se sigue el mismo procedimiento introduciendo las 10 bolas en la bolsa y extrayendo una al azar.

¿tienen la misma probabilidad los números mayores de 10.000 que los menores de 10.000 de salir en el sorteo?

Entiendo que la idea a partir de la segunda bola, es que si nos salimos fuera de rango, repetimos la extracción.

Hay la misma probabilidad de que salga un número menor que \( 10.000 \) que un número mayor o igual que \( 10.000 \), ya que eso depende de que en la primera extracción salga la bola \( 0 \) o la \( 1 \), cada una de manera equiprobable.

Pero por tanto, individualmente, un número entre 10.000 y 12.800 es más probable que un número menor que 10.000, ya que la probabilidad se reparte entre menos números posibles.

De todas formas ni siquiera los números mayores que 10.000 son equiprobables, por un motivo análogo.

De manera precisa:

- La probabilidad de sacar un número concreto entre 0 y 9.999 (incluidos) es \( \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{10000} \).
- La probabilidad de sacar un número concreto entre 10.000 y 11.999, es  \( \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{1}{2000} \).
- La probabilidad de sacar un número concreto entre 12.000 y 12.799 es \( \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{8}{9}\cdot \dfrac{1}{800} \).
- La probabilidad de sacar el 12.800 es \( \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{9}  \).

Saludos.

7
Hola

 Yo creo que está bien.

Saludos.

8
Hola

 Está todo bien.

 Una observación: realmente a medida que uno se va apoyando en resultados previos no hay que demostrar todos los límites mediante epsilones y deltas.

 Por ejemplo para justificar que \( \displaystyle\lim_{x \to x_0,x\in \Bbb I}{}(6(x-3)+9)=6x_0-9 \), simplemente se dice:

 - La función \( p(x)=6(x-3)+9 \) es continua por ser polinómica y por tanto:

\(  \displaystyle\lim_{x \to x_0}{}p(x)=p(x_0)=6(x_0-3)+9=6x_0-9 \)

 - Entonces en cualquier restricción de la función el límite (si tiene sentido, es decir si \( x_0 \) es un punto de acumulación del conjunto restricción) es el mismo:

\(  \displaystyle\lim_{x \to x_0,x\in \Bbb I}{}p(x)=p(x_0)=6(x_0-3)+9=6x_0-9 \)

Saludos.
 

9
Hola

Tengo una cuestión de análisis funcional, si pudieran ayudarme se lo agradecería;

Sean \( X \) un espacio normado, \( M \) un subespacio vectorial de \( X \) e \( y_0 \in{} X \setminus M \).
Sea \( Y \) el subespacio vectorial engendrado por \( M \cup{} {y_0} \). Consideremos el funcional \( f : Y \rightarrow{} \mathbb{R} \) dado por
\( f(y) = \lambda y_0 \), donde \( y = x + \lambda y_0 \),  \( (x \in M, \lambda \in \Bbb R) \).

Y me preguntan

1. Que vea que \( f \) está bien definido, que es una extension del funcional \( 0|_M \) y que \( f \) está en el dual de \( Y \)

2.  Si \( M \) es cerrado, demostrar que \( Y \) es tambien cerrado.

Muchísimas gracias de antemano;

La cosa va más o menos rápido dependiendo de los resultados previos que te hayan definido.

En primer lugar tienes que como consecuencia de \( y_0\in X\setminus M \), \( M\cap <y_0>=\emptyset \), por tanto \( Y=M\oplus <y_0> \) y todo vector de \( Y \) se escribe de manera única como un elemento de \( M \) más un elemento de \( <y_0> \). En otras palabras:

Dado \( y\in Y \) existe un único \( m\in M \) y un único \( \lambda\in \Bbb R \) tal que \( y=m+\lambda y_0 \)

Spoiler
Es algo que puedes probar también directamente. Dado \( y\in y=<M\cup \{y_0\}> \) se tiene que \( y=m+\lambda y_0  \) con \( m\in M \) y \( \lambda\in \Bbb R \). Si existen otros \( m'\in M \), \( \lambda'\in \Bbb R \) tales que \( y=m'+\lambda' y_0  \), tendrías:

\( m+\lambda y_0=m'+\lambda' y_0\quad \Rightarrow{}\quad M\ni m-m'=(\lambda-\lambda')\in y_0 \). Como \( y_0\not\in M \), necesariamente \( \lambda-\lambda'=0 \).
[cerrar]

Esto justifica que la aplicación está bien definida.

Es lineal ya que si \( y_i=m_i+\lambda_iy_0 \) con \( m_i\in M \), \( \lambda_i\in \Bbb R \) entonces \( a_1y_1+a_2y_2=(a_1m_1+a_2m_2)+(a_1\lambda_1+a_2\lambda_2)y_0 \) y por tanto:

\( f(a_1y_1+a_2y_2)=a_1\lambda_1+a_2\lambda_2=a_1f(y_1)+a_2f(y_2) \)

Por tanto \( f\in Y^* \) (dual algebraico).

Si \( M \) es cerrado, como \( y_0\not\in M \), \( d=inf\{\|y_0-m\|,m\in M\}>0 \). Por tanto:

\( \|\lambda y_0+m\|=|\lambda|\|y_0+m/\lambda\|>|\lambda|d \) (*)

Entonces dada \( z_n=m_n+\lambda_ny_0 \) sucesión convergente a \( z \) se tiene que:

\( |(\lambda_n-\lambda_k)|<\dfrac{1}{d}\|(m_n-m_k)+(\lambda_n-\lambda_k)y_0\|=\dfrac{1}{d}\|z_n-z_k\| \)

Por tanto como \( \{z_n\} \) es de Cauchy, entonces \( \{\lambda_n\}\subset \Bbb R \) es de Cauchy y así convergente a \( \lambda\in \Bbb R \).

Entonces: \( m_n=z_n-\lambda_ny_0 \) es convergente por ser suma de convergentes; y como \( \{m_n\}\subset M \) es cerrado converge a \( m\in M \).

Conclusión: \( z_n\to m+\lambda y_0\in Y \).

Como observación añadida de (*) también se deduce que:

\( |f(m+\lambda y_0)|=|\lambda|<\dfrac{1}{d}\|m+\lambda y_0\| \)

y por tanto el funcional \( f \) es acotado y continuo y así también está en el dual topológico.

Saludos.

10
Hola

Mi objetivo: trabajar con un círculo es mucho más fácil que hacerlo con una elipse
1ª idea sería: si un círculo lo puedo dividir en n partes iguales con suma facilidad también lo podré hacer con una elipse mediante una TRANSFORMACIÓN
2º hallar el punto medio de una arco de elipse (lo hago en el C y aplico una T)
3º etc
saludos

Pero no me queda claro exactamente que construcción quieres hacer en la elipse, usando auxilarmente su deformación a una circunferencia.

Cuando dices de partes iguales, no me queda claro en que sentido lo dices. Ojo, porque la transformación obviamente no conserva longitudes; entonces longitudes iguales en la circunferencia no lo serán en la elipse.

La transformación si conserva tangencias o incidencias (cualquier propiedad proyectiva). También se comporta bien con áreas multiplicándolas por un factor constante.

Una consecuencia conocida de que se comporte bien con áreas y mal con longitudes, es que permite hallar muy fácilmente el área de una elipse, pero por el contrario no ayuda a calcular su perímetro.

Saludos.

11
Hola

Hola a todos. Nuevamente agradecería que me pudiesen aportar la solución o todo tipo de indicación a la hora de resolver este problema de un examen que vi y que les adjunto en archivo (aún no aprendí LATEX, por lo que sería un desastre poniéndolo por aquí, mis disculpas  :().


Sea \( (X,d) \) un espacio métrico precompacto. Sabemos que entonces que para cada \( n\in \Bbb N \) existe una cantidad finita de puntos \( \{x_1^n,x_2^n,\ldots,x_{m_n}^n\} \) tales que:

\( X=\displaystyle\bigcup_{i=1}^{M_n}B_d(x_i^n,\frac{1}{n})=B_d(x_1^n,\frac{1}{n})\cup\ldots\cup B_d(x_{m_n}^n,\frac{1}{n}) \)

Considérese el conjunto de todos los centros:

\( D=\displaystyle\bigcup_{n=1}^\infty\{x_1^n,x_2^n,\ldots,x_{m_n}^n\} \)

Demostrar que \( D \) es denso en \( X \). Concluir que \( X \) es separable.


Mi idea es demostrar que la clausura de D es el propio total, aunque no sé muy bien cuándo usar la precompacidad.

La precompacidad la estás usando para definir el conjunto \( D \). La existencia de los puntos que forman \( D \) viene dada por la precompacidad. En otro caso no sabríamos de que conjunto \( D \) estamos hablando.

Tienes que demostrar que cualquier bola abierta \( B(x,r) \) corta al conjunto \( D \). Ahora tomando \( n>1/r \) por la definición de \( D \) basada en la precompacidad existe \( x_i^n \) tal que \( x\in B(x_i^n,1/n) \). Por tanto \( d(x_i^n,x)<\dfrac{1}{n}<r \) y así \( x_i^n\in B(x,r). \)

Saludos.

12
Hola

 Utiliza que si \( f(0)=0 \) entonces \( \|u\|=\|u-0\|=\|f(u)-f(0)\|=\|f(u)\|. \) Es decir conserva normas.

 Después que el producto escalar se puede expresar en función de la norma:

\(  <u,v>=\dfrac{1}{2}(\|u+v\|^2-\|u\|^2-\|v\|^2) \)

Saludos.

13
Hola

$$y=2-x^{3}
, P(1,1)$$  nesecito saber como sale el producto cruz porque me da cero y creo que esta mal

Hay una fórmula directa para la curvatura de una curva plana \( y=f(x) \):

\( \dfrac{|f''(x)|}{(1+f'(x)^2)^{3/2}} \)

En tu caso:

\( f'(x)=-3x^2 \)
\( f''(x)=-6x \)

En \( x=1 \) queda:

\( \dfrac{6}{(1+9)^{3/2}}=\dfrac{6}{10\sqrt{10}}=\dfrac{3\sqrt{10}}{5} \)

Ahora tal como lo pregunta parece que estás usando la fórmula general para parametrizaciones de curvas en el espacio. Tendrías:

\( \alpha(t)=(t,2-t^3,0) \)

La curvatura sería:

\( \dfrac{\|\alpha'(t)\times \alpha''(t)\|}{\|\alpha'(t)\|^3} \)

donde:

\( \alpha'(t)=(1,-3t^2,0) \)
\( \alpha''(t)=(0,-6t,0) \)
\( \alpha'(t)\times \alpha''(t)=(0,0,-6t) \)

la curvatura queda:

\( \dfrac{|6t|}{\sqrt{1+9t^4}^3} \)

Para \( t=1 \)...

Saludos.

14
Hola

Buenas,

No logro llegar a ninguna respuesta correcta, y sigo un poco confundido en cuanto al camino que tomar.

He intentado despejar posibles vectores normales de el producto interno, tanto como lo que propuse en mi primer mensaje como lo que propuso Delmar del vector normal, pero tampoco llego a ningún plano que satisfaga las condiciones.

Muestro un ejemplo para que me digan donde estoy cometiendo errores.
\( cos(60)=<N,(1,0,0)> \) y \( ||N||=1 \)

Un posible N que cumple estas condiciones: \( (1/2,\sqrt{3/4},0) \)

¡Claro! Es que no puedes escoger el que tu quieras, porque entonces descuidas la condición de paralelismo con el eje \( OY \).

Si el plano es paralelo al eje \( OY \) su vector normal \( N=(a,b,c) \) es perpendicular a \( (0,1,0) \). De donde \( b=0 \).

Ahora la condición \( cos(60)=<N,(1,0,0)> \) significa que \( a=1/2 \).

Finalmente como \( \|N\|=1 \) entonces \( a^2+b^2+c^2=1 \), es decir, \( (1/2)^2+0^2+c^2=1 \) y de ahí hallas \( c \).

Tienes dos soluciones.

Saludos.

15
Hola

Sigo con el problema:
Si corto el círculo con la recta y=x  la elipse la tendré que cortar con la    \( y=\frac{b}{a}x \)
Las dos rectas forman los ángulos t y t'
O en otras palabras; pasando a paramétricas:  C:  \( (cos(t),sen(t)) \)
y para  E: \( (acos(t'),bsen(t')) \)
¿Cuál es la relación entre t y t'?

mmmm... no estoy seguro de lo que quieres preguntar exactamente.

La recta \( y=x \) forma un ángulo de \( 45^o \) con el eje \( OX \).

La recta  \( y=\dfrac{b}{a}x \) forma un ángulo de \( arctan(b/a)\neq 45^o \) con el eje \( OX \).

Pero sin embargo en estas dos expresiones \( A=(cos(t),sen(t)) \) y \( A'=(acos(t'),bsen(t')) \) si te refieres respectivamente a un punto de la circunferencia y el correspondiente punto de la elipse, entonces \( t=t' \).

Fíjate que el ángulo \( t' \) de  \( A'=(acos(t'),bsen(t')) \) no es el mismo que forma la recta \( OA' \) con el eje \( OX \).

Es decir ese \( arctan(b/a)\neq 45^o \) NO es el \( t' \) de \( A'=(acos(t'),bsen(t')) \), siendo \( A' \) la recta que e obtiene de intersecar \( y=bx/a \) con la elipse.

Saludos.

16
Hola

Y para hacer la acotación sobre un intervalo arbitrario no compacto? Debe quedar el valor absoluto de la parte de la derecha.

Pero ese valor absoluto sobra. No hace falta porque la integral del módulo siempre es positiva.

La demostración es la misma. La diferencia es que ahora es que la función podría no estar acotada y, si es integrable:

\( \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx=\displaystyle\lim_{t \to 0}{}\displaystyle\int_{a+t}^{b-t}f(x)dx \)

Entonces simplemente se trata de aplicar el resultado anterior en los compactos \( [a+t,b-t] \) y tomar límites.

Saludos.

17
Hola

Buenos días, necesito ayuda con este problema.

Sean \( (a,b) \subset \mathbb{R} \) un intervalo con \( a \in \mathbb{R} \) y sea \( f \in \mathcal{C}(a,b) \) derivable tal que \[ \lim_{t\to a} f(t)=-\infty \] Entonces existe una sucesión \( t_n \in (a,b) \) tal que \( f'(t_n) \to +\infty \) .

Lo más parecido que he probado ha sido el Lema de Barbalat, pero no sé si tiene una utilidad en la prueba de este resultado.

Agradezco la ayuda.

La idea es que, por tener límite menos infinito en \( a \),  puedes tomar pares de puntos cada vez más próximos al punto \( a \), de manera que el segmento que los une tiene una pendiente muy grande.

Sea \( c=(b-a)/2 \). \( a_n=a+\dfrac{c}{n} \). Dado que \[ \lim_{t\to a} f(t)=-\infty \] existe un \( x_n\in (a,a_n) \) tal que \( f(x_n)<f(a_n)-n \).

Entonces por el teorema del valor medio existe \( y_n\in (x_n,a_n) \) tal que:

\( f'(y_n)=\dfrac{f(a_n)-f(x_n)}{a_n-x_n}>\dfrac{n}{a_n-x_n}>\dfrac{n}{b-a} \)

Entonces:

1) \( a<y_n<a_n \) y \( a_n\to a \). Por tanto \( y_n\to a \).
2) \( f'(y_n)>\dfrac{n}{b-a}\to \infty \) y por tanto \( f'(y_b)\to \infty \).

Saludos.

P.D. Se adelantó Juan Pablo

18
Hola

En el editor de LATEX de Rincón Matemático en advertencias pone que no hace falta colocar [tex]; hay algún otro fallo que ya se lo pasé a abdulai

Es que efectivamente en este editor de LaTex:

https://rinconmatematico.com/mathjax/

NO hace falta encerrar las fórmulas en entre [tex]...[/tex] para visualizarlas. De hecho lo que dice es:

Citar
A diferencia de lo que ocurre en los foros, acá no es preciso que encierres las fórmulas entre los delimitadores [ tex] y [/tex].

Saludos.

19
Hola

Porque lo hago?  porque para saber que llegamos a la situación paradójica , hemos calculado cada probabilidad de que el valor de la opción sea efectivamente igual a la probabilidad de haberlo escogido. (entre los posibles)
 y entonces  pregunto  si es escogible una opción que lees y calculas que no tiene valor lógico (me refiero a que o bien es correcta o no lo es)?  me dices que es otro problema el que quiero  resolver, pero repregunto que en general, no sumamos opciones ilógicas al denominador de cualquier probabilidad, 
siempre nuestro conjunto universo posible (correcto e incorrecto) esta bien definido... la pregunta va a porque las opciones "paradójicas", sumarían a ese conjunto.

Es que no tengo una respuesta objetiva a eso. El descartar las opciones paradójicas es una elección por tu parte; digamos una interpretación particular, subjetiva del enunciado.

Fíjate que en realidad el hecho de que la pregunta sea paradójica corresponde a que está mal formulada; entonces realmente no hay ninguna buena interpretación de la misma, más que señalar ese hecho.

Tu "solución" es cambiarla, retocarla, para eliminar la paradoja. Ni bien. Ni mal. Es tu opción. Pero se sale de la intención original del problema que es simplemente poner de manifiesto lo paradójico de la pregunta.

Saludos.

20
Hola

por favor, me pueden ayudar? llevo dias tratando de resolverlo y no he podido, yo pensaba que con eso ya estaba el problema. no se que hacer.

Es difícil ayudarte porque no concretas las dudas. Aparentemente, ves la solución como si fueran unas palabras mágicas.

Si lees en detalle mi anterior respuesta verás que lo que te digo no es que esté mal lo que haces, sino que lo que haces demuestra una parte muy concreta, parcial, de todos los argumentos necesarios para probar lo que te piden.

Te he desmenuzado los pasos:

1) Hay que ver que toda sucesión de Cauchy \[ (x_n) \] en \[ A \cup B \] es convergente.
2) Existe una subsucesión (que sigue siendo de Cauchy) contenida en \[ A \], o bien una contenida en \[ B \].
3) Como \[ A \] y \[ B \] son completos, esta subsucesión converge.
4) Finalmente, la sucesión original \[ (x_n) \] converge al mismo límite, pues si una sucesión de Cauchy tiene una subsucesión convergente, entonces es convergente.

¿Qué es lo que no entiendes de ahí? Fíjate que el decidir con que detalle se justifica cada paso no es una cosa 100% objetiva. Depende de los resultados previos que ya hayas estudiado y en los que puedas apoyarte. También del grado de minuciosidad y rigurosidad que te exijan escribiendo las demostraciones. Pero más importante que esos detalles es que entiendas la idea.

Saludos.

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