Mostrar Mensajes

Esta sección te permite ver todos los posts escritos por este usuario. Ten en cuenta que sólo puedes ver los posts escritos en zonas a las que tienes acceso en este momento.

Mensajes - Gray

Páginas: [1] 2 3
1
Topología (general) / Re: problema de topología
« en: 22 Septiembre, 2020, 12:53 pm »
Citar
La restricción en \( A \) es la discreta: todo punto de \( A \) es abierto. Ten en cuenta que:

\( \{(\sqrt{2},y)\}=G_{\sqrt{2},y,1}\cap A \)

En \( B \) comprueba que la topología es la que tiene por abiertos básicos intervalos abiertos de racionales.

¿La intersección de intervalos \( (a,b)\cap{\mathbb{Q}} \)?

Para \( A \)

\( \{(\sqrt{2},y)\}=G_{\sqrt{2},y,1}\cap A \)  y \(  vacío = G_{\sqrt{2},y,1}\cap A \) si \( a \neq{\sqrt{2}} \)    es equivalente a la topologia discreta porque \( G_{\sqrt{2},y,1} \) es una base de abiertos de \( R^2 \) con esa topología y por tanto la intersección con \( A \) es una base de abiertos de \( A \) con la topología inducida, que es la discreta por tener una base de abiertos.


Citar
Si fuese una topología producto, ¿qué debería de pasar con las topologías restringidas del apartado anterior?.

Tendrían que ser homeomorfos.


Citar
Es fácil de ver que es primero-numerable ya que para cada punto basta considerar abiertos \( G_{a,b,r} \) con \( r \) racional.

Pero si fuese segundo-numerable, ¿podría tener \( A \) la topología discreta?.

Para ver que es 1-numerable, hemos conseguido una base de entornos numerable, para que fuera 2-numerable necesita tener una base numerable, no puede tener la discreta porque no es numerable.

2
Topología (general) / Re: Problema de pendiente hawaiano
« en: 22 Septiembre, 2020, 11:39 am »
Para ver que es compacto, tenemos que comprobar que está cerrado y acotado.

Para cerrado tenemos que demostrar que \( \mathbb{R} − X \) es abierto, creo que es trivial porque todos los elementos de \( X \) son círculos y podemos tomar cualquier elemento de \( \mathbb{R} − X \) y obtener una bola abierta centrada en ese elemento y contenida en \( \mathbb{R} − X \) pero no sé cómo formalizarlo.

Para acotado podemos contenerlo en el cuadrado \( [0,2] \) x \( [−1,1] \). ¿Es suficiente decir que \( (\frac{1}{n})^2 \) < 1 y el centro es \( (\frac{1}{n}, 0) \)? ¿Cómo puedo escribirlo formalmente?

Para ver que es conexo, tenemos que comprobar que cada circunferencia es conexa y aplicar un resultado que dice que la unión de conexos es conexo si tienen u punto común, pero no sé cómo ver que cada circunferencia lo es, pues estamos en el plano y no en la recta real.

3
Teoría de la Medida - Fractales / Re: Dos integrales
« en: 15 Septiembre, 2020, 12:43 pm »
¡Muchas gracias!

Hola

Entonces el ángulo es entre \( 0 \) y \( 2\pi \) porque es todo el plano, ¿no?

¡Claro!.

Saludos.

4
Teoría de la Medida - Fractales / Re: Dos integrales
« en: 15 Septiembre, 2020, 12:40 pm »
Entonces el ángulo es entre \( 0 \) y \( 2\pi \) porque es todo el plano, ¿no?

Hola

\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\int_{\mathbb{R^2}}}\frac{arctan(n\left\|{x}\right\|)}{(1+\left\|{x}\right\|^2)^2}dx \) =


= \( \displaystyle\frac{\pi}{2}\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{(1+\left\|{x}\right\|^2)^2} \) =


= \( \displaystyle\frac{\pi} {2}\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{2\pi}\frac{r}{(1+ r^2)^2}d\theta dr \) =


= \( \displaystyle\pi^2\int_{0}^{\infty}\frac{rdr}{(1+ r^2)^2} \) =


= \( \displaystyle\frac{\pi^2}{2}\int_{0}^{\infty}\frac{2rdr}{(1+ r^2)^2} \) =


= \( \displaystyle\frac{-\pi^2}{2}\frac{1}{(1+ r^2)}]_0^\infty  \)= \( \frac{\pi^2}{2} \)

Sería correcto esto?

NOTA ADICIONAL: Lo que me confunde es el \( \mathbb{R^2} \) del principio, porque solo tendría sentido que lo fuera sobre \( \mathbb{R} \) pues solo hay una variable \( x \) y el cambio a polares lo hice porque lo leí en los apuntes que se puede pero no estoy seguro que los límites de la integral en \( \theta \) fuera ese

Está bien. En realidad esa \( x \) del principio se refiere a un punto de \( \Bbb R^2 \), es decir, \( x=(x_1,x_2). \)

Saludos.

5
Teoría de la Medida - Fractales / Re: Dos integrales
« en: 14 Septiembre, 2020, 12:48 pm »
\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\int_{\mathbb{R^2}}}\frac{arctan(n\left\|{x}\right\|)}{(1+\left\|{x}\right\|^2)^2}dx \) =


= \( \displaystyle\frac{\pi}{2}\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{(1+\left\|{x}\right\|^2)^2} \) =


= \( \displaystyle\frac{\pi} {2}\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{2\pi}\frac{r}{(1+ r^2)^2}d\theta dr \) =


= \( \displaystyle\pi^2\int_{0}^{\infty}\frac{rdr}{(1+ r^2)^2} \) =


= \( \displaystyle\frac{\pi^2}{2}\int_{0}^{\infty}\frac{2rdr}{(1+ r^2)^2} \) =


= \( \displaystyle\frac{-\pi^2}{2}\frac{1}{(1+ r^2)}]_0^\infty  \)= \( \frac{\pi^2}{2} \)

Sería correcto esto?

NOTA ADICIONAL: Lo que me confunde es el \( \mathbb{R^2} \) del principio, porque solo tendría sentido que lo fuera sobre \( \mathbb{R} \) pues solo hay una variable \( x \) y el cambio a polares lo hice porque lo leí en los apuntes que se puede pero no estoy seguro que los límites de la integral en \( \theta \) fuera ese

Hola

El primero está bien.

Pero en el segundo no sé cómo se podría acotar esa expresión...

Para segundo acota por:

\( \dfrac{\pi/2}{(1+\|x\|^2)^2} \)

que además es su límite puntual.

Saludos.

6
Teoría de la Medida - Fractales / Re: Dos integrales
« en: 14 Septiembre, 2020, 12:15 am »
Hola, para la primera integral

\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\int_{0}^{\infty}}\frac{nsin\frac{x}{n}}{x(1+x^2)}dx \)

se podría acotar la expresión por

\( \frac{nsin\frac{x}{n}}{x(1+x^2)} \leq{\frac{1}{(1+x^2)}} \)

pues

\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}\frac{nsin\frac{x}{n}}{x} =1 \)

entonces
\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\int_{0}^{\infty}}\frac{nsin\frac{x}{n}}{x(1+x^2)}dx \)= \( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\int_{0}^{\infty}}\frac{1}{(1+x^2)}dx \) = \( arctan(x) \) entre \( 0 \) e \( \infty \) y sería \( \frac{\pi}{2} \)

¿sería correcto?

Pero en el segundo no sé cómo se podría acotar esa expresión...


Hola

\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\int_{0}^{\infty}}\frac{nsin\frac{x}{n}}{x(1+x^2)}dx \)

\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\int_{\mathbb{R^2}}}\frac{arctan(n\left\|{x}\right\|)}{(1+\left\|{x}\right\|^2)^2}dx \)

Hola buenas, estoy empezando en la teoría de la medida y me he encontrado con estas dos integrales, que no tengo idea, ¿alguien me podría ayudar? Muchas gracias.

Intenta aplicar el Teorema de la Convergencia Dominada.

Saludos.

7
Topología (general) / Re: Problema de pendiente hawaiano
« en: 13 Septiembre, 2020, 11:30 pm »
Muchas gracias, es que estoy leyendo unos apuntes y hay algunos ejercicios que me parecen interesantes y pues me gustaría saber cómo hacerlos de la forma correcta. Cuando termine de leérmelo procederé a intentarlo y si me surgen más dudas lo pregunto.

Muchas gracias!

8
Teoría de la Medida - Fractales / Dos integrales
« en: 13 Septiembre, 2020, 10:10 pm »
\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\int_{0}^{\infty}}\frac{nsin\frac{x}{n}}{x(1+x^2)}dx \)

\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\int_{\mathbb{R^2}}}\frac{arctan(n\left\|{x}\right\|)}{(1+\left\|{x}\right\|^2)^2}dx \)

Hola buenas, estoy empezando en la teoría de la medida y me he encontrado con estas dos integrales, que no tengo idea, ¿alguien me podría ayudar? Muchas gracias.

9
Topología (general) / Problema de pendiente hawaiano
« en: 13 Septiembre, 2020, 09:19 pm »
Hola, he continuado y me he encontrado con este problema, me podría dar algunas pautas o indicaciones para este problema? muchas gracias

Sea \( X \) el subespacio de \( (R^2,τ_u) \) formado por la unión de las circunferencias de centro \( (\frac{1}{n}) \), para cada \( n\in{\mathbb{N}} \)

\( X \)=\( \cup_{n=1}^∞\left\{{(x,y):(x-\frac{1}{n})^2+y^2= (\frac{1}{n})^2}\right\} \)

a) Probar que \( X \) es compacto y conexo

b) Demostrar que \( X \) no puede ser homeomorfo a ningún subespacio de \( (R,τ_u) \)

c) Probar que \( X-\left\{{(0,0)}\right\} \) no es compacto ni conexo

d)Explicar cómo definir un homeomorfismo entre \( X-\left\{{(0,0)}\right\} \) y el subespacio A de  \( (R,τ_u) \) formado por la unión de los intervalos \( (2n,2n+1) n=0,1,.... \), es decir,

\( A \)=\( \cup_{n=1}^∞(2n,2n+1) \)

10
Topología (general) / Re: Uso del Teorema de Sierpinski
« en: 12 Septiembre, 2020, 10:54 pm »
Supongamos que \( {a} = O∩A \) para algún conjunto abierto \( O∈τ_u \) y \( a∈A \), pero entonces \( A \) no interseca con el abierto \( O ∖ {a} \).

¿Se debería de usar que \( τ_u \) es \( T_1 \)? y ¿cómo se haría?

Hola

Hola, me he encontrado con este problema, pero no tengo ni idea de cómo se demuestra, ¿alguna idea?

Teorema de Sierpinski
Todo espacio métrico numerable sin puntos aislados es homeomorfo a \( \mathbb{Q}  \)

Pues la obligación de usar el Teorema de Sierpinski marca el camino.

Citar
a) Todo subespacio denso y numerable de \( (\mathbb{R}, \tau_u) \) es homeomorfo a \( \mathbb{Q}  \)

Muestra que todo subespacio denso numerable de \( (\mathbb{R}, \tau_u) \) es un espacio métrico sin puntos aislados y aplica el Teorema.

Citar
b) Dotados de la topología usual, probar que son homeomorfos \( \mathbb{Q}  \) y \( \mathbb{Q^2}  \)

Muestra que  \( \mathbb{Q^2}  \) es un espacio métrico numerable y sin puntos aislados y aplica el Teorema.

Saludos.

11
Topología (general) / Uso del Teorema de Sierpinski
« en: 11 Septiembre, 2020, 11:03 pm »
Hola, me he encontrado con este problema, pero no tengo ni idea de cómo se demuestra, ¿alguna idea?

Teorema de Sierpinski
Todo espacio métrico numerable sin puntos aislados es homeomorfo a \( \mathbb{Q}  \)

a) Todo subespacio denso y numerable de \( (\mathbb{R}, τ_u) \) es homeomorfo a \( \mathbb{Q}  \)

b) Dotados de la topología usual, probar que son homeomorfos \( \mathbb{Q}  \) y \( \mathbb{Q^2}  \)

12
Topología (general) / problema de topología
« en: 11 Septiembre, 2020, 06:11 pm »
Hola buenas, soy nuevo en este rama y pues no tengo mucha idea de cómo se podría hacer este ejercicio.
¿Alguien podría echar una mano? ¡Muchas gracias!

Para \( (a,b)\in{\mathbb{R^2}} \) y \( r>0 \), se define el conjunto \( G_{a,b,r} \) como

\( G_{a,b,r} \) =\( \left\{{{(a,b)}\cup{((a-r,a+r)\mathbb{x}(b-r,b+r)\cap{\mathbb{Q x Q}})}}\right\} \)

Se considera en \( \mathbb{R^2} \) la familia \( B=\left\{{G_{a,b,r}:(a,b)\in{\mathbb{R^2}}, r>0}\right\} \)

a) Probar que \( B \) genera una topología \( τ_B \) en \( \mathbb{R^2} \), más fina que la topología usual

b) Calcular la clausura de cada conjunto \( G_{a,b,r} \)

c) Determinar la topología inducida sobre los conjuntos:
   \( A=\left\{{(x,y): x=\sqrt{2}}\right\} \)    \( B= \left\{{(x,y): x=2}\right\} \)

d) ¿Es \( τ_B \) una topología producto?

e) Estudiar los axiomas de numerabilidad de este espacio topológico

13
Geometría Diferencial - Variedades / Re: Grupo de Lie
« en: 19 Junio, 2020, 03:43 am »
Es la matriz que resulta al componer \( \phi^{-1}\circ m\circ(\phi\times \phi) \)

que ahora que me fijo, no sé qué sale, porque es un producto vectorial de dos matrices y dos composiciones.

¿cómo se harían esos productor y composiciones?

Buenas, para ver que es biyección vemos que es inyectiva y sobreyectiva y sería suficiente, no? o hay alguna manera más eficaz para ello?

Hola. Sí, es suficiente.

Y para ver que \( \mathbf R^2_+ \) es un abierto de \( \mathbf R^2 \), no habría que hacer nada, no? Porque es trivial que lo es.

Sí.

Para lo segundo para ver que es suave, calculamos \( \phi^{-1}\circ m\circ(\phi\times \phi) \) y comprobamos que cada uno de esos elementos de la matriz resultante es diferenciables?

No estoy seguro a cuál matriz te refieres. Te queda esencialmente una función \( \mathbf R^4\to \mathbf R^2 \), que es \( C^\infty \) porque tiene derivadas parciales continuas de todos los órdenes.

14
Geometría Diferencial - Variedades / Re: Grupo de Lie
« en: 19 Junio, 2020, 01:07 am »
Buenas, para ver que es biyección vemos que es inyectiva y sobreyectiva y sería suficiente, no? o hay alguna manera más eficaz para ello?

Y para ver que \( \mathbf R^2_+ \) es un abierto de \( \mathbf R^2 \), no habría que hacer nada, no? Porque es trivial que lo es.

Para lo segundo para ver que es suave, calculamos \( \phi^{-1}\circ m\circ(\phi\times \phi) \) y comprobamos que cada uno de esos elementos de la matriz resultante es diferenciables?


Hola. En la primera parte no hay que hacer mucho porque estás definiendo la estructura con una sola carta: hay que ver que es una biyección y que \( \mathbf R^2_+ \) es un abierto de \( \mathbf R^2 \). (En el caso de más cartas tendrías que ver lo que pasa con las funciones de transición en las intersecciones y demás.) También, dependiendo del contexto del curso, puede que tengas que ver que la función \( \varphi \) define tanto como una topología como una estructura de variedad topológica sobre G.

Para la segunda parte imagino que la estructura de grupo es la que se obtiene de multiplicar matrices. Tienes que mostrar que las funciones multiplicación y tomar inversa están bien definidas y son suaves. Para lo primero, que la multiplicación de dos elementos de G te da otro de G, y que la inversa de un elemento de G es otro elemento de G. Para la suavidad, por ejemplo, hay que ver que \( m:G \times G\to G \) dada por \( (A,B)\mapsto m(A,B)=AB \) es suave. Para eso escribes m en coordenadas, o sea, calculas \( \phi^{-1}\circ m\circ(\phi\times \phi) \) y compruebas que es suave.

15
Geometría Diferencial - Variedades / Grupo de Lie
« en: 18 Junio, 2020, 01:12 am »
Sea \( G=\left\{\begin{bmatrix}{1}&{0}&{0}\\{0}&{Y}&{0}\\{0}&{xy}&{y^2}\end{bmatrix} x,y\in{\mathbb{R}},y>0\right\} \)

Consideramos el abierto del plano euclideo \( R^2_+ = {(x, y)/y > 0} \) y la aplicación \( ϕ : R^2_+\longrightarrow{G} \) definida por \( ϕ(x, y) = \begin{bmatrix}{1}&{0}&{0}\\{0}&{Y}&{0}\\{0}&{xy}&{y^2}\end{bmatrix} \)

1. Demostrar que el par \( (R^2_+, ϕ) \) dota a \( G \) de una estructura de variedad \( C^∞ \), de dimensión 2, en el sentido de que \( (R^2_+, ϕ) \) es una parametrización global.

2. Demostrar que el grupo \( G \), con la estructura anteriormente definida, es un Grupo de Lie.

¿Podrían darme alguna pista? ¡Muchas gracias!

16
¡Muchas gracias!

Entonces lo que tengo que hacer es comprobar que está definida para todo \( s\in{\mathbb{R}} \) ¿no?

Es decir, \( (b, e^s) \) está definida para todo s pues \( e^s > 0, \forall{s}\in{\mathbb{R}} \) y para \( (r, 2arctge^s) \) también se cumple que \( 2arctge^s >0, \forall{s}\in{\mathbb{R}} \) y ¿ya probaría que es completo?

Sí. También tienes que comprobar que para todo \( s \in \Bbb R \) son puntos de la variedad, es decir con segunda componente positiva.

17
Entonces lo que tengo que hacer es comprobar que está definida para todo \( s\in{\mathbb{R}} \) ¿no?

Es decir, \( (b, e^s) \) está definida para todo s pues \( e^s > 0, \forall{s}\in{\mathbb{R}} \) y para \( (r, 2arctge^s) \) también se cumple que \( 2arctge^s >0, \forall{s}\in{\mathbb{R}} \) y ¿ya probaría que es completo?

Y para comprobar que es completo, ¿se hace sobre las parametrizaciones originales o sobre las reparametrizaciones?

Es decir, sobre \( (b, 1+t) \) y \( (a+rcost,rsent) \) o es sobre \( (b, e^s) \) y \( (r, 2arctge^s) \)

Sobre las reparametrizaciones. Recuerda que el que una curva sea geodésica o no, depende de la parametrización. Las curvas definidas por las primeras parametrizaciones que pones no son geodésicas, las segundas sí.

Citar
Pero en tal caso, ambas expresiones estánn evidentemente definidas para todo t, no?

No. Por ejemplo, la primera: \( \alpha(t)=(b,1+t) \) únicamente está definida para \( t>-1 \), porque recuerda que tu variedad es el semiplano superior, es decir, únicamente los puntos \( (x,y) \) del plano tales que \( y>0 \).

Citar
O hay que calcular la aplicación exponencial asociada a cada vector \( v\in{T_pM}? \)

en el caso de calcular la aplicación exponencial, como se haría, no he podido encontrar informción respecto a ello.

También lo puedes hacer, pero es más complicado, e igualmente debes pasar por el cálculo de las geodésicas. La aplicación exponencial en el punto \( p \) es la aplicación (suponiendo la variedad completa) \( exp_p:T_pM \to M \) tal que \( exp_p(v)= \gamma_v(1) \), donde \( \gamma \) es la geodésica con \( \gamma(0)=p,\gamma'(0)=v \). Para calcularla, debes resolver la ecuación de las geodésicas con condiciones iniciales arbitrarias. Pero aunque es una herramienta teórica extraordinariamente útil, no se suele usar mucho a la hora de hacer cálculos.

18
¡Muchas gracias!

Y para comprobar que es completo, ¿se hace sobre las parametrizaciones originales o sobre las reparametrizaciones?

Es decir, sobre \( (b, 1+t) \) y \( (a+rcost,rsent) \) o es sobre \( (b, e^s) \) y \( (r, 2arctge^s) \)

Pero en tal caso, ambas expresiones estánn evidentemente definidas para todo t, no?

O hay que calcular la aplicación exponencial asociada a cada vector \( v\in{T_pM}? \)

en el caso de calcular la aplicación exponencial, como se haría, no he podido encontrar informción respecto a ello.

Sí, exacto.

Pero fíjate que como solo te interesa \( R_{1212} \) y en tu caso \( g_{12}=0 \), la fórmula te queda:
\( R_{1212} = g_{22}R_{121}^2 \).
Así que solo tienes que calcular \( R_{121}^2 \) usando la fórmula de la Wikipedia.

19
Tendría que usar la de

\( R_{ijkl} = \sum_{p=1}^n{R_{ijk}^pg_{pl}} \) con n =2

¿no?

No sé de dónde has sacado la fórmula para el tensor de curvatura, pero creo que está mal. Si usas las fórmulas que aparecen aquí:
https://en.m.wikipedia.org/wiki/List_of_formulas_in_Riemannian_geometry#(3,1)_Riemann_curvature_tensor
sí que sale \( -1 \).

20
Lo acabo de hacer y me sale que

\( R_{12121} = \frac{1}{2}(0 + 0 - \frac{-6}{y^4} - \frac{-6}{y^4} + \frac{1}{y^4} - 0 = \frac{-11}{2y^4}) \)

\( g_{11}g_{22}-g^2_{12} = \frac{1}{y^4} \)

\( K = \frac{\frac{-11}{2y^4}}{\frac{1}{y^4}} = \frac{-11}{2} \)

Y no me sale -1. He usado los símbolos de Christoffel  y los \( g_{ij} \) ya calculados antes y tendría que estar bien, pero lo he comprobado varias veces y me sale

Sí. No he comprobado las fórmulas que has puesto, pero ese es el procedimiento.

Páginas: [1] 2 3