Hola buenos días , me ha surgido una duda con el siguiente problema:

El desarrollo de la superficie lateral de un cono de altura 50cm es un semicírculo de radio R.

a)    ¿Cuánto mide R?

¿no faltan datos? Muchas gracias de antemano. Un saludo

Hola

Cita de: Lusin en 25 Septiembre, 2018, 07:10 pm

Se tiene \( f:A\longrightarrow{B} \) una aplicacion cualquiera , ¿ Se verifica siempre que \( f^{-1}(f(X))=X  \) ?

Yo lo que se es que en general no puede verificarse por lógica , debería de ser la función f biyectiva para que realmente se correspondiese cada elemento del conjunto \( A \) en \( B \) y poder sacar su inversa \( f^{-1}: B\longrightarrow{A} \) . Pero claro , creo que basta con que sea inyectiva para que realmente se verificara siempre eso ¿ verdad? porque siendo sobreyectiva solamente no ya que pueden haber elementos en A que no se corresponden con ningún elemento de B  y por tanto su inversa no tiene sentido . El problema es que no encuentro un ejemplo claro para demostrarlo en cada caso o simplemente explicándolo de esa forma bastaría.

Ojo, porque ahí \( f^{-1} \) no es la función inversa, sino la función imagen recíproca; es decir actúa sobre conjuntos y no sobre elementos. En un abuso de notación se denota igual que la inversa. Existe siempre; frente a la inversa que sólo existe si la función es biyectiva.

\( f^{-1}:P(B)\to P(A) \)

Dado \( C\subset B \) se define como:

\(
f^{-1}(C)=\{x\in A|f(x)\in C\}
 \)

En el mismo sentido en la expresión \( f^{-1}(f(X)) \), \( f \) se refiere a la función imagen directa:

\( f:P(A)\to P(B) \)

Dado \( D\subset A \) se define como:

\(
f(D)=\{f(x)\in B|x\in D\}
 \)

Teniendo en cuenta todo esto intenta demostrar que esa igualdad SI es cierta.

Saludos.

Muchas gracias por contestar ante todo , es decir , si tengo \( f:A\longrightarrow{B} \) y \( X\subset{A} \) puedo decir que

 \( f(X)=\left\{{f(x)\in{B}; x\in{X}}\right\} \)

y si a ese conjunto imagen le aplico la imagen recíproca tendré el conjunto

\( f^{-1}(f(X))=\left\{{f^{-1}(f(x))\in{B}; f(x)\in{X}}\right\} \)

 y eso siempre es cierto , sea cual sea la función sin tener que ser biyectiva ¿verdad?. Entonces ¿ Pasaría algo si fuese inyectiva o suprayectiva ? siempre se va a verificar dado como sea la función aplicación \( f \) . No se si me estoy un poco liando pero ¿sería así?. Saludos

Hola

Cita de: Lusin en 25 Septiembre, 2018, 02:08 pm

Si la relación de la clase fuese \( y=b \) serían todas las rectas horizontales del plano cartesiano

Si.

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Si la relación de la clase fuese\( \left |{x}\right | = \left |{b}\right |  \) serían todas las rectas verticales en el plano cartesiano que sean \( x\geq{0} \)

No. De hecho tal como lo has escrito ni siquiera es una relación de equivalencia. Si defines:

\( (a,b)\sim (x,y)\quad \Leftrightarrow{}\quad |x|=|b| \)

entonces por ejemplo no se cumple la simétrica: \( (2,1)\sim (1,3) \) pero \( (1,3)\not\sim (2,1) \).

Si sería de equivalencia si defines:

\( (a,b)\sim (x,y)\quad \Leftrightarrow{}\quad |x|=|a| \)

En ese caso las clases de equivalencia serían pares de rectas verticales simétricas respecto al eje Y; es decir, una clase las recta \( x=1 \) y \( x=-1 \); otra las rectas \( x=2 \) y \( x=-2 \) y así.

Citar

Si la relación de la clase fuese \( y=ax \) serían todas las rectas que pasan por el punto \( (0,0) \)

Tampoco es una relación de equivalencia.

Si quieres algo así tendrías que definir en \( \mathbb{R}^2-\{(0,0)\} \) la relación:

\( (a,b)\sim (x,y)\quad \Leftrightarrow{}\quad xb=ya \).

Las clases de equivalencia serían las rectas que pasan por el origen.

Saludos.

Vale , me ha quedado claro . Muchísimas gracias por todo.

Buenas tardes, he estado realizando algunos ejercicios de álgebra y me he encontrado con un problema que se repite en todos los ejercicios que tengo que hacer, por ejemplo :

Si me dicen , que en \( \mathbb{R^2} \) se define la relación \( (x,y)R(a,b) \) como \( y-b=x^2-a^2 \)

me dicen que calcule la clase de un punto cualquiera (a,b) ... Las clases de equivalencias son todas las que verifican dicha ecuación ¿no? , es decir , ¿Cómo lo calculo ? . Despues me pide que describa el conjunto cociente \( \mathbb{R^2}/R \), este último conjunto es aquel que contiene todas las clases de equivalencia ¿verdad? , pero es que no se cómo calcularas exactamente con dicha relación.

Si alguien pudiese ayudarme se lo agradecería , todos los ejercicios del libro son practicamente iguales y la parte de demostrar que es relación de equivalencia me sale( Demostrar que es reflexiva , simétrica y transitiva ) , es ahí dónde me he quedado un poco atascado sin saber qué hacer.

Saludos y gracias de antemano

Hola buenas noches, he estado realizando algunas actividades del libro de mates y hay 2 problemas de inducción que me estoy llevando la misma vida poder sacarlos, he intentado suponerlo para m cierto y probarlo para m+1 , al igual que suponerlo para m-1 y probar m, pero aún así no encuentro ninguna pista para poder realizarlo, son los siguientes :

\( \displaystyle\sum_{k=1}^n k\cdot{(k!)}=(n+1)! -1 \)

\( \displaystyle\sum_{k=1}^n (6k-2)=n(3n+1) \)

Muchas gracias de antemano. Saludos

Hola buenas tardes, estoy realizando un ejercicio de lógica proposicional y me surge el siguiente problema:

Si tenemos que \( n \) es número natural y \( n-2 \) es múltiplo de 2 entonces \( n^2-4 \) es múltiplo de 4

Estoy empezando las clases en la universidad y me ha surgido este problema, creo que se debería de resolver por reducción al absurdo pero no sé cómo empezar. Saludos y gracias de antemano

Hola buenas tardes, tengo una duda sobre cómo resolver un ejercicio de progresiones y sucesiones, el problema dice lo siguiente :

\( u_n=12n-7 \) es el término general de una progresión aritmética. y \( v_n=0,3(1,2)^{n-1} \). Halla el menor número de términos para el cual \( v_n>u_n \)

Muchas gracias de antemano.

EDITO : Es que aplicando Logaritmos no me sale y por tanteo no creo que sea.

Hola buenas tardes, me ha surgido una duda con las asíntotas verticales y la utilización de la regla de L´Hopital. Tengo la siguiente función :

Me piden sacar las asíntotas verticales de esa función , una vez que compruebo que los puntos que no están en el dominio son \( 2 , -5 \) , hago el límite de la función cuando \( x \) tiende a 2 . Me sale una indeterminación del tipo \( \displaystyle\frac{0}{0} \) , por tanto podría aplicar L´Hopital , pero al aplicarlo y volver a realizar el límite me sale que dicho límite es  \(  \displaystyle\frac{10}{7} \) cuando al ser asíntota vertical debería ser \( \infty \) .

¿Esto es debido a que no podría realizar L´hopital a causa de que el punto elegido es un punto que no está en el dominio ? No le encuentro otra explicación . Saludos y Gracias.

Era más fácil de lo que pensaba. Muchas gracias por todo.

Cita de: Lusin en 13 Noviembre, 2016, 11:52 pm

Hola buenas noches, estoy haciendo algunos ejercicios de selectividad de sistemas de ecuaciones lineales y me ha surgido una duda...

si tengo que resolver lo siguiente :

\( y-z=-1 \)
\( x+y=0 \)

Si yo hago \( z=\alpha \) me queda \( x= 1-\alpha \) e \( y=-1+\alpha \)

Pero si hago \( y=\alpha \) me queda \( x=-\alpha \) y \( z=1+\alpha \)

No me sale lo mismo pero ¿tiene sentido? ¿ está bien resuelto lo resuelva como lo resuelva ?  Muchísimas gracias de antemano. Saludos

Eso tiene soluciones \(  y=-x \) y  \(  x-z=0 \); ahora, si tomas una variable, por ejemplo "x" y la llamas alfa, pues pasará lo que pasa con "x", si tomas la variable "y" y la llamas alfa, pasará lo que pasa con "y"... etc. Es un cambio de nombre, una etiqueta, aunque sea el mismo "cartel", las cosas no se van a convertir en una misma cosa porque les llames igual.

Saludos.

Buenas noches, gracias por contestar, tengo la duda entonces de que como en este caso, al estudiar el sistema de ecuaciones siguiente :

\( \alpha x + y - z = -1 \)
\( \alpha x + \alpha z = \alpha \)
\(  x + y - \alpha z = 0 \)

Me piden clasificar el sistema dependiendo de los valores de \( \alpha  \) , y al ser \( \alpha = 0 \) me sale que es Sistema compatible indeterminado, y al resolverlo me sale lo que he puesto al principio ... La cuestión es la siguiente ( creo que no me expliqué bien antes ) , ¿ estaría bien si llamo a cualquiera de los valores x,y,z = \( \alpha  \) para resolver dicho sistema de ecuaciones lineales ? Saludos y muchísimas gracias de antemano