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Mensajes - Eparoh

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Topología (general) / Re: Topología de Wijsman
« en: 03 Mayo, 2021, 02:23 pm »
Hola Luis, justamente hice eso esta misma mañana, pero lo hice a través de subbases, y lo que no veo es que tiene que ver que el conjunto \( \left\{ (x,F) \in X \times \mathcal{F}(X): x \in F \right\} \) sea cerrado.

Un saludo y gracias.

2
Topología (general) / Topología de Wijsman
« en: 01 Mayo, 2021, 09:28 pm »
Hola a todos, estoy leyendo un artículo y tengo una duda sobre cierta afirmación, la cual igual alguno de ustedes sabe resolver.

En el artículo se trabaja con \( X \) un espacio polaco y se dota a \( \mathcal{F}(X) \) el conjunto de sus subconjuntos cerrados de cierta topología denominada topología de Wijsman, que se define como sigue.

Sea \( \{\alpha_j\}_{j=1}^\infty \) una sucesión densa en \( X \), \( \rho \) una métrica completa combatible con la topología de \( X \),  y definamos \( T: \mathcal{F}(X) \longrightarrow \mathbb{R}^\mathbb{N} \) tal que
\( T(F)=\left\{\rho(\alpha_j, F) \right\}_{j=1}^\infty \)
Se define entonces la topología de Wijsman sobre \( \mathcal{F}(X) \) como la topología inicial inducida por \( T \) al considerar en \(  \mathbb{R}^\mathbb{N} \) la topología producto.

Tras esta definición, se prueba que \( \mathcal{F}(X) \) con esta topología es polaco y que el conjunto
\( \left\{ (x,F) \in X \times \mathcal{F}(X): x \in F \right\} \)
es cerrado en \( X \times \mathcal{F}(X) \).

Ahora, mi duda es que a partir de lo último parece concluir que la topología de Wijsman no depende de la sucesión densa tomada al principio pero no consigo ver la razón.

Dejo por aquí una captura del párrafo donde se explica todo esto en el artículo por si fuera más explicativo que lo que yo he dicho y me estoy perdiendo algo (cuando habla de la condición (iii) se refiere precisamente a que el conjunto \( \left\{ (x,F) \in X \times \mathcal{F}(X): x \in F \right\} \) es cerrado).



¿Alguna idea?

Un saludo y muchas gracias por su tiempo.


3
Álgebra / Re: Proposición sobre dimensión de una variedad afín
« en: 22 Abril, 2021, 04:30 pm »
En el paso inductivo tomas una componente irreducible de \[ V(f_1) \] (digamos \[ V' \]) que contenga a \[ W \] en lugar de \[ V \].

Entonces \[ V' \] es una variedad algebraica afín irreducible de dimensión \[ \geq n-1 \], y  \[ W \] coincide con una componente irreducible de \[ V(f_2,\dots,f_r) \] (donde ahora lo pensamos como el lugar de ceros de \[ f_2,\dots,f_r \] en \[ V' \] y no en \[ V \]). Ahora, por hipótesis de inducción, \[ W \] tiene dimensión \[ \geq (n-1)-(r-1)=n-r \].

Muchas gracias, no me quedaba del todo claro donde encajar \( W \) como componente irreducible, pero con lo que has comentado, todo claro ;)

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Álgebra / Proposición sobre dimensión de una variedad afín
« en: 22 Abril, 2021, 03:31 pm »
Hola a todos, estoy leyendo una demostración en el libro Algebraic Geometry de Daniel Perrin, y no entiendo bien el último paso que hace.



El paso en concreto es el paso inductivo, no entiendo a que se refiere a aplicar la hipótesis de inducción sobre una componente irreducible de \( V(f_1) \) (llamémosla  \( W' \)) que contenga a \( W \), pues \( W \) no tiene porque ser una componente irreducible de este \( W' \).

¿Alguien entiende como es este paso inductivo?

Un saludo y muchas gracias por las respuestas.

5
Hola Carlos, gracias por la respuesta todo claro  ;)

Siempre tengo la duda de como hacerlo porque en cada libro que consulto la forma del teorema de recursión es distinta, pero consultando el tuyo me parece una forma muy clara y con la que salen cosas del tipo de estas definiciones muy claras.

Un saludo.

6
Hola a todos, la jerarquía de Borel tal como se define por ejemplo en el libro de Carlos Ivorra (página 6), se define de forma recursiva, luego utilizando el teorema de recursión transfinita.
Llevo un tiempo dándole vueltas e intentando encajar la validez de esta definición dentro de dicho teorema pero no lo consigo.
Es decir, no consigo encontrar las funciones y los conjuntos a partir de los cuales el teorema de recursión transfinita nos devuelve cada uno de los conjuntos en la jerarquía de Borel.

¿Alguien sabe como sería esta construcción?

Un saludo y muchas gracias por las respuestas.

7
Muchas gracias Luis, creo que lo he conseguido siguiendo más o menos lo que comentabas  ;)

Un saludo

8
Hola Luis, ¿te refieres para probar la desigualdad que yo propuse o para probar la continuidad en general?

Porque, esas ideas son las que he intentado llevar a cabo pero sin éxito  :'(

Un saludo y gacias.

9
Hola, estoy leyendo un artículo en el cual se define en cierto momento de forma recursiva una familia de funciones \( \beta_k: \mathcal{B}_{(1)} \times \mathcal{B}_{(1)} \longrightarrow [0, +\infty[ \) donde \( \mathcal{B}_{(1)} \) es el conjunto de normas en \( c_{00} \) cumpliendo que \( \mu(e_k)=1 \) para cada \( k \in \mathbb{N} \), donde \( \{e_k: k \in \mathbb{N}\} \) es la base canónica de \( c_{00} \).
A este espacio se le dota de la topología inducida por la topología producto en \( \mathbb{R}^{c_{00}} \).

Ahora, la definición de la familia es como sigue, se define \( \beta_1(\mu, \lambda)=0 \) para cada \( \mu,  \lambda \in \mathcal{B}_{(1)} \) y

\( \displaystyle \beta_{k+1}(\mu, \lambda)=\sup \left\{ \left |{\mu\left( e_{k+1}+\sum_{i=1}^k a_i e_i \right) - \lambda\left( e_{k+1}+\sum_{i=1}^k a_i e_i \right)}\right | +  \sum_{i=1}^k |a_i| \beta_i (\mu, \lambda): a_1, \cdots, a_k \in \mathbb{R}, \min\left\{ \mu\left(\sum_{i=1}^k a_i e_i \right), \lambda\left( \sum_{i=1}^k a_i e_i \right) \right\} < C_{k+1}\right\} \)

siendo \( C_k >0 \) una sucesión de valores reales positivos.

Se establece entonces que los \( \beta_k \) son aplicaciones continuas, y para ello se define

\( U_\delta^{k+1}(\mu)=\left\{ \nu \in \mathcal{B}_{(1)}: \forall x \in \operatorname{span}\{e_1, \cdots, e_{k+1}\} \setminus \{0\}, (1+\delta)^{-1} \leq \dfrac{\nu(x)}{\mu(x)} \leq 1+\delta \right\} \)

y se ve que es un entorno abierto de \( \mu \).

Se procede entonces por inducción y se dice que, suponiendo que \( \beta_1, \cdots, \beta_k \) son continuas, dado \( \varepsilon >0 \), existe cierto \( \delta >0 \) tal que para cada \( (\mu', \lambda') \in U_\delta^{k+1}(\mu) \times U_\delta^{k+1}(\lambda) \) se cumple que

\( \left |{\beta_{k+1}(\mu', \lambda') - \beta_{k+1}(\mu, \lambda)}\right | < \varepsilon \)

Ahora, dejan los detalles de como obtener esta última afirmación a cargo del lector y no consigo demostrarlo.

Mi idea ha sido la siguiente:

Sean \( (\mu', \lambda') \in U_\delta^{k+1}(\mu) \times U_\delta^{k+1}(\lambda) \) para cierto \( \delta >0 \) por determinar y \( a_1, \cdots, a_k \in \mathbb{R} \) tales que

\( \min\left\{ \mu\left(\sum_{i=1}^k a_i e_i \right), \lambda\left( \sum_{i=1}^k a_i e_i \right) \right\} < C_{k+1} \)

entonces

\( \displaystyle\left |{\left |{\mu'\left( e_{k+1}+\sum_{i=1}^k a_i e_i \right) - \lambda'\left( e_{k+1}+\sum_{i=1}^k a_i e_i \right)}\right | - \left |{\mu\left( e_{k+1}+\sum_{i=1}^k a_i e_i \right) - \lambda\left( e_{k+1}+\sum_{i=1}^k a_i e_i \right)}\right | + \sum_{i=1}^k |a_i| \beta_i (\mu', \lambda') - \sum_{i=1}^k |a_i| \beta_i (\mu, \lambda)}\right | \leq \)
\( \displaystyle\leq \left |{\mu'\left( e_{k+1}+\sum_{i=1}^k a_i e_i \right) - \mu\left( e_{k+1}+\sum_{i=1}^k a_i e_i \right)}\right | + \left |{\lambda\left( e_{k+1}+\sum_{i=1}^k a_i e_i \right) - \lambda'\left( e_{k+1}+\sum_{i=1}^k a_i e_i \right)}\right | + \left |{ \sum_{i=1}^k |a_i| (\beta_i(\mu', \lambda') - \beta_i(\mu, \lambda))}\right | \leq \)
\( \displaystyle\leq \delta \left( \mu\left( e_{k+1}+\sum_{i=1}^k a_i e_i \right)  + \lambda\left( e_{k+1}+\sum_{i=1}^k a_i e_i \right)\right) + \sum_{i=1}^k |a_i| |\beta_i(\mu', \lambda') - \beta_i(\mu, \lambda)| \leq  \)
\( \displaystyle \leq \delta \left( 2 + \mu\left(\sum_{i=1}^k a_i e_i \right) + \lambda\left(\sum_{i=1}^k a_i e_i \right) \right) + \sum_{i=1}^k |a_i| |\beta_i(\mu', \lambda') - \beta_i(\mu, \lambda)| \)

Ahora, por la elección de los \( a_1, \cdots, a_k \), y teniendo en cuenta que para \( \operatorname{span}\{e_1, \cdots, e_k\} \) las normas \( \mu \) y \( \lambda \) son equivalentes, el primer sumando en la última línea de lo anterior es de la forma \( \delta C \) donde \( C>0 \) no depende de los \( a_1, \cdots, a_k \) ni de \( \mu', \lambda' \), luego podemos hacerlo tan pequeño como deseemos sin más que tomar un \( \delta \) adecuado. Para el segundo sumando, teniendo también en cuenta que el máximo de los \( |a_i| \) estará acotado por una constante que no depende de los \( a_i \) (de nuevo por equivalencia de normas en \( \operatorname{span}\{e_1, \cdots, e_k\} \), esta vez para la norma infinito), y por la hipótesis de continuidad de los \( \beta_i \), también podremos hacerlo tan pequeño como deseemos.

Me gustaría ver que

\(  \displaystyle \left |{\beta_{k+1}(\mu', \lambda') - \beta_{k+1}(\mu, \lambda)}\right | \leq\sup \left\{ \left |{\left |{\mu'\left( e_{k+1}+\sum_{i=1}^k a_i e_i \right) - \lambda'\left( e_{k+1}+\sum_{i=1}^k a_i e_i \right)}\right | - \left |{\mu\left( e_{k+1}+\sum_{i=1}^k a_i e_i \right) - \lambda\left( e_{k+1}+\sum_{i=1}^k a_i e_i \right)}\right | + \sum_{i=1}^k |a_i| \beta_i (\mu', \lambda') - \sum_{i=1}^k |a_i| \beta_i (\mu, \lambda)}\right |\right\} \)

donde el supremo se toma sobre los \( a_1, \cdots, a_k \in \mathbb{R} \) tales que \( \min\left\{ \mu\left(\sum_{i=1}^k a_i e_i \right), \lambda\left( \sum_{i=1}^k a_i e_i \right) \right\} < C_{k+1} \)

Pues, si esto es cierto, ya tendría demostrada la continuidad por lo anterior, pero no consigo ver si esto es verdad pues tengo ciertos problemas con el \( \beta_{k+1}(\mu', \lambda') \) al no poder tomar los \( a_1, \cdots, a_k \) de modo que sirvan para ambos supremos.

¿Alguna idea de como concluir esta demostración?
O bueno, si fuera incorrecto o alguien conoce otro camino para demostrarlo, también agradecería mucho los comentarios puesto que llevo atascado ya un tiempo con esto :/

Un saludo y muchas gracias por las respuestas.

10
Hola Luis, si me refería a \( A \in K^{2 \times 2} \), ha sido una errata al escribirlo.

Y, ciertamente, justo había pensado en una matriz de esa forma pero únicamente con \( a=1 \).
Tendría que haberle dado un poco más de vueltas porque la solución que propones es bastante sencilla aunque muy elegante.

Muchas gracias como siempre  ;)

11
Hola a todos, quiero saber si es cierto el siguiente resultado:

Sea \( K \) un cuerpo infinito, y \( \{(x_i, y_i)\}_{i=1}^n \) un conjunto finito de puntos en \( K^2 \), entonces existe una matriz invertible \( A \in K^{n \times n}  \) tal que el conjunto de puntos \(
\{A(x_i, y_i)^t\}_{i=1}^n  \) de \( K^2 \) es tal que la primera coordenada de todos los puntos son distintas entre sí.

Se que si \( K=\mathbb{R}  \), entonces sería cierto pues de algún modo podemos tomar una matriz de rotación para un cierto ángulo bien escogido, y al ser el conjunto finito nos daría el resultado pero, ¿cómo podría probarse para cualquier cuerpo infinito en general?

Un saludo y muchas gracias por las respuestas.

12
Hola a todos, estoy intentando ver lo siguiente.

Sean \( f, g \) dos polinomios en \( K[X,Y] \) con \( K \) un cuerpo y consideremoslos como polinomios en una variable con coeficientes en \( K[X] \), es decir, como elementos de \( K[X][Y] \), entonces la resultante de estos polinomios será un polinomio \( d \in K[X] \) y lo que quiero demostrar es que \( \operatorname{deg}(d) \leq \operatorname{deg}(f)\operatorname{deg}(g) \).

¿Alguna idea?

Un saludo y muchas gracias.

EDITADO: Había puesto "el discrimante" donde está en rojo, y me refería a la resultante de los polinomios.

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No había caído en construir una función en el producto cartesiano como haces al final  :laugh:

Un saludo y muchas gracias.

14
Hola Carlos.

Es correcto. También te puede ser útil esta variante:

\( \kappa \) es regular si y sólo si cuando \( \{A_\alpha\}_{\alpha<\vartheta} \) es una familia de menos de \( \kappa \) conjuntos con \( |A_\alpha|<\kappa \), entonces \( \bigcup_{\alpha<\vartheta}A_\alpha \) tiene cardinal menor que \( \kappa \).

La implicación recíproca creo que sería trivial pues dado \( A \subset \kappa \) con \( \left |{A}\right | < \kappa \), tenemos que para cada \( \alpha \in A \) se tiene que \( \alpha < \kappa \), con lo que \( |\alpha| < \kappa \) y por hipótesis es entonces es cardinal de \( \bigcup A \) menor que \( \kappa \), luego como \( \bigcup A \) es un ordinal, es \( \bigcup A < \kappa \). Entonces como el conjunto \( A \) es arbitrario, por lo que hemos dicho antes, \( \kappa \) es regular.

Para la implicación directa, estoy teniendo problemas con la arbitrariedad de los conjuntos y no llego a demostrarlo (sin asumir cosas que no se si son ciertas y mucho menos demostrar). ¿Cómo se podría ver?

¡Ya ves! Te han sido muy útiles para salir de las "trampas" en las que te he metido con los errores que has encontrado.  ::)

Pues realmente he aprendido bastante gracias a estas "trampas" porque he tenido que repasar y pensar más en los conceptos para ver si me estaba equivocando yo o eran realmente errores  ;D

Ya he hecho los cambios. En realidad, la forma más natural de tratar el desfase que genera el hecho de que la jerarquía de Borel empieza en 1 y no en 0 es poner el 1 sumando delante de \( \beta \), es decir, que si \( A\in \Sigma_{1+\beta}^0(Y) \), entonces \( f^{-1}[A]\in \Sigma^0_{\alpha+\beta}(X) \). Además, no es necesario tratar aparte el caso en que \( \beta \) es un ordinal límite.

Ciertamente, así es más elegante y tal como dices se puede considerar la inducción de golpe sin distinguir los ordinales límite.

Un saludo y gracias de nuevo ;)

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Hola Carlos, muchas gracias por todas las respuestas, creo que ahora si por fin está todo aclarado  ;D

En efecto, eso es consecuencia de que \( \omega_1 \) es un cardinal regular, pero si tienes que trabajar para relacionarlo con tu definición de cardinal regular, justo para esto tienes un camino más corto: la unión numerable de conjuntos numerables es numerable.

En este caso, los ordinales \( \alpha_n \) son numerables, y su supremo no es ni más ni menos que su unión, luego es un ordinal (la unión de un conjunto ordinales siempre lo es) numerable (por ser unión numerable de conjuntos numerables), luego es un ordinal menor que \( \omega_1 \), que es el menor ordinal no numerable.

Es verdad, para estos casos no se necesitaría la noción de regularidad pues basta con lo que comentas, muy elegante gracias.

De todas formas, con lo que comentas después, según entiendo son equivalentes:

  • \( \kappa \) es regular (bajo la definición que he dado en mi post anterior)
  • Para cualquier conjunto \( A \subset \kappa \) con \( \left |{A}\right | < \kappa \) se cumple que \( \bigcup A < \kappa \)

Si lo he entendido bien, la implicación de 1 a 2 no sería más que lo que demuestras aquí

Más en general: Sea \( \kappa \) un cardinal regular y sea \( A\subset \kappa \) un conjunto con \( |A|<\kappa \). Entonces \( \sup A = \bigcup A <\kappa \).

En efecto, \( A \) es un conjunto bien ordenado, y todo conjunto bien ordenado es semejante a un ordinal \( \vartheta \), es decir, existe una aplicación biyectiva \( f:\vartheta\longrightarrow A \) que conserva el orden, es decir, que es estrictamente creciente.

Si \( \vartheta=\alpha+1 \) no es un ordinal límite entonces \( \alpha \) es el máximo de \( \vartheta \) y \( f(\alpha) \) es el máximo de \( A \), luego \( \bigcup A = f(\alpha)\in A\subset \kappa \).

Si \( \vartheta \) es un ordinal límite estás en el caso de tu definición de cardinal regular, sin más que llamar \( \alpha_\nu= f(\nu) \), pues tienes que \( f \) es la sucesión creciente \( \{\alpha_\nu\}_{\nu<\vartheta} \) y \( \sup A=\bigcup A = \sup\{\alpha_\nu\mid \nu<\vartheta\}<\kappa \).

Mientras que la implicación de 2 a 1, por contrarrecíproco basta ver que si \( \kappa \) no es regular, entonces existe un conjunto \( A \subset \kappa \) con \( \left |{A}\right | < \kappa \) tal que \( \bigcup A = \kappa \).
Y esto es claro pues, si \( \kappa \) no es regular, entonces es singular y existe una sucesión transfinita creciente \( \{\alpha_\nu :\nu< \vartheta\} \) de ordinales \( \alpha_\nu < \kappa \) cuya longitud \( \vartheta \) es un ordinal límite menor que \( \kappa \) y tal que \( \kappa=\sup\{\alpha_\nu :\nu< \vartheta\} \). Por tanto denotando \( A=\{\alpha_\nu :\nu< \vartheta\} \) se tiene que efectivamente \( A \subset \kappa \), \( \left |{A}\right |=|\vartheta| \leq \vartheta < \kappa \) y \( \bigcup A = \kappa \), tal como buscábamos.

¿Es esto correcto?

Muchas gracias por la ayuda estos días, me han sido muy útiles todos tus comentarios.

Un saludo.

16
Hola Carlos, he visto la nueva versión y tengo algunas dudas.

En primer lugar, no entiendo entonces bajo la nueva definición por que ser \( \Pi_\alpha^0 \)-medible es equivalente a ser \( \Sigma_\alpha^0 \)-medible pues, entonces lo que estaríamos diciendo es que, por ejemplo, para el caso de \( \alpha=1 \) para cualquier función continua \( f: X \longrightarrow Y \) se tiene que \( f^{-1}(A) \) es cerrado para cada abierto \( A \) de \( Y \) lo cual no es cierto.

Ahora, para el teorema 1.10, he marcado varias cosas que creo que son erratas:



1. La marca en el enunciado, creo que debería ser \( f^{-1}(A) \in \Sigma_{\alpha+\beta-1}^0(X) \) dado que los conjuntos de Borel hemos comenzado a indexarlos desde 1 y no desde 0.

2. Por la misma razón, la segunda marca creo que debería ser \( \beta=1 \).

3. En la tercera marca, por un lado al haber cambiado la indexación, el subíndice de la hipótesis de inducción sería \( \alpha+\beta-1 \), y por otro lado, creo que sería \( \Pi \) en lugar de \( \Sigma \).

4. Por último, de nuevo por el cambio en la indexación, el subíndice sería ahora \( \alpha + \beta \).

Por último, esta duda igual merece un nuevo tema pues se refiere concretamente a una parte de la demostración del teorema 1.11, pero la incluyo aquí y si lo consideras pertinente la movemos a un nuevo tema.
La duda en el teorema 1.11 es sobre el final de la demostración, respecto a que la regularidad de \( \omega_1 \) implique que exista un \( \alpha < \omega_1 \) tal que \( f^{-1}(U_n) \in \Sigma_\alpha^0 \) para cada \( n \in \omega \).

Entiendo que el razonamiento sería como sigue:
Tenemos la sucesión \( \{\alpha_n: n \in \omega\} \) tal que \( \alpha_n < \omega_1 \) y \( \omega \) es un ordinal límite menor que \( \omega_1 \), luego como \( \omega_1 \) es un cardinal regular tenemos que \( \alpha=\sup\{\alpha_n: n \in \omega\} < \omega_1 \), y teniendo este \( \alpha \) ya es claro el resto.

Ahora, mi problema es que la definición de cardinal regular que yo conozco es la siguiente:

Un cardinal infinito \( \kappa \) se llama singular si existe una sucesión transfinita creciente \( \{\alpha_\nu :\nu< \vartheta\} \) de ordinales \( \alpha_\nu < \kappa \) cuya longitud \( \vartheta \) es un ordinal límite menor que \( \kappa \) y tal que \( \kappa=\sup\{\alpha_\nu :\nu< \vartheta\} \).
Un cardinal infinito que no es singular se dice regular.

Entonces, estoy intentando ver que en la definición anterior la condición de que la sucesión sea creciente es innecesaria (con lo cual ya entendería perfectamente la validez del razonamiento anterior), lo cual parece obvio pues al tomar el supremo no parece importar el orden, pero no consigo probarlo.
Es decir, quiero probar que si \( \kappa \) es un cardinal regular, entonces dada cualquier sucesión transfinita \( \{\alpha_\nu :\nu< \vartheta\} \) de ordinales \( \alpha_\nu < \kappa \) cuya longitud \( \vartheta \) es un ordinal límite menor que \( \kappa \), entonces \( \sup\{\alpha_\nu :\nu< \vartheta\} < \kappa \).

Mi idea era pues probar que de alguna forma podía extraer de la sucesión anterior una subsucesión creciente con el mismo supremo y de este modo, por la definición que tengo de cardinal regular ya estaría hecho, pero no consigo demostrar de forma rigurosa la existencia de dicha subsucesión.
¿Alguna idea respecto a este problema?

Un saludo.

17
Hola a todos, en el libro Teoría descriptiva de conjuntos de Carlos Ivorra aparece el siguiente teorema:



No entiendo del todo la demostración.
Por lo que entiendo queremos demostrar que si para cada abierto \( A \) de \( Y \) se cumple que \( f^{-1}(A) \in \Sigma_\alpha^0(X) \), entonces es cierto el siguiente resultado:

Para cada \( 1 \leq \delta \leq \alpha \), si \( A \in \Sigma_\delta^0(Y) \) entonces \( f^{-1}(A) \in \Sigma_\alpha^0(X) \).

Ahora, para ver esto se procede por inducción  transfinita sobre \( \delta \).
El caso \( \delta =1 \) es simplemente nuestra hipótesis inicial sobre los abiertos de \( Y \), luego se pasa a probar que si es cierto para \( \delta < \alpha \) entonces es cierto para \( \delta +1 \). Aquí es donde tengo la duda, pues lo que estamos suponiendo es que si \( A \in \Sigma_\delta^0(Y) \) entonces \( f^{-1}(A) \in \Sigma_\alpha^0(X) \), luego lo que he marcado en amarillo en la imagen, ¿no debería ser realmente

\( f^{-1}(A)= X \setminus f^{-1}(Y \setminus A) \in \Pi_\alpha^0(X) \)

puesto que \( Y \setminus A \in \Sigma_\delta^0(Y) \)?

Si este fuera el caso, entonces lo siguiente no es correcto pues como cada \( A_n \in \Pi_\delta^0 (Y) \), sería \( f^{-1}(A_n) \in \Pi_\alpha^0(X) \) y así, \( f^{-1}(A) \in \Sigma_{\alpha+1}^0(X) \) que no es lo que queremos demostrar.

¿Estoy entendiendo algo mal o hay realmente un error en la demostración?

Un saludo y muchas gracias por las respuestas.

18
Un placer, gracias a ti   :)

19
Hola.

Creo que sí que es cierto: si un esquema de Suslin \( F \) tiene la propiedad de los diámetros para una métrica \( d \), la tiene para cualquier otra \( d' \). Supongamos que no. Vamos a suponer que \( F \) es decreciente.

La demostración si me parece completamente correcta, con lo que parece que al menos el caso para esquemas de Suslin decrecientes es cierto, y aunque el general no lo fuera, con esto ya se tendría que el teorema que discutíamos es efectivamente cierto en la generalidad que yo planteaba pues en todos los casos en los que se pide que el esquema cumpla la condición de los diámetros se pide también que sea decreciente, ¿no?

Un saludo y gracias.

20
Hola, todo claro ya respecto a d) implica a) con el penúltimo comentario, muchas gracias.

A ver, que igual no te he entendido. Todo lo que dices es cierto. Yo creía que estabas indicando que podría faltar algo en la prueba de c) (si es así, la respuesta es que está bien como está), pero ahora me parece entender que lo que tu preguntas no es si falta algo para que la demostración de c) sea correcta, sino que ves que lo es, pero te preguntas si no se podría demostrar más de lo que se afirma, y probar que el esquema de c) se puede tomar como en b), que valga el mismo para todas las métricas o, más en general aún, si la propiedad de los diámetros es independiente de la métrica. ¿Es eso? ¿No estás diciendo que falte nada a la prueba de c), sino más bien preguntas si se puede probar algo más fuerte que c)?

Si crees que a c) le falta algo, lo hablamos, porque no creo que falte nada. Si te refieres a si se cumple más de lo que se prueba, tendría que pensarlo. Yo diría que no me parece probable, pero lo pensaré.

Tal vez debería haber empezado por preguntar por que se entiende en el enunciado del teorema 1.37 al decir que el esquema de Suslin cumple la condición de los diámetros. Si la respuesta a esto es que dada una métrica fija sobre la que trabajar con \( X \), entonces todas las equivalencias son ciertas, nada que objetar respecto a la demostración, pues es lo que entendí originalmente que significaba. Sin embargo, al ver que en la demostración de a) implica b), la métrica era independiente ya no estaba seguro.

Un saludo.

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