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Mensajes - i_reversible

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Cálculo 1 variable / Aplicación contractiva
« en: 27 Agosto, 2010, 06:07 pm »
Hola a todos:

Estoy atascado con una demostración, a ver si podéis echarme una mano.

Sea \( g:[a,b] \rightarrow [a,b] \) una aplicación contractiva y sea \( \alpha \) el punto fijo de \( g \). Supongamos que para \( a\leq x \leq b \) se tiene \( | g(x)-x| \leq \epsilon \). Demostrar que
\( |x-\alpha| \leq \displaystyle \frac{\epsilon}{1-L} \)        donde \( L\in{[0,1)} \) es la constante de contractividad de g.


Yo lo he empezado así:

si g es contractiva entonces

\( |g(x)-g(y)| \leq  L |x-y| \) con \( L\in{[0,1)} \) y \( \forall{x,y\in{[a,b]}} \)

además por definición del enunciado

\( |g(y)-y| \leq \epsilon \)

entonces \( |g(x)-g(y)| + |g(y)-y| \leq  L |x-y| + \epsilon \), si tomamos \( y=\alpha \) tenemos:

\( |g(x)-g(\alpha)| + |g(\alpha)-\alpha| \leq  L |x-\alpha| + \epsilon \), y como \( \alpha \) es punto fijo de g, \( g(\alpha)=\alpha \) y obtenemos:

\( |g(x)-\alpha| +|0| \leq  L |x-\alpha| + \epsilon \) ; \( |g(x)-\alpha| -L |x-\alpha| \leq   \epsilon \)

El ejercicio se resolvería automáticamente si \( |x-\alpha| \leq |g(x)-\alpha| \), sin embargo, por ser contractiva ocurre lo contrario, esto es,

\( |x-\alpha| \geq |g(x)-\alpha| \).

Así que aquí es donde estoy atascado... ¿Podéis ayudarme?

Un saludo y muchas gracias de antemano.

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Cálculo 1 variable / Integral impropia senx/x
« en: 08 Julio, 2010, 10:26 pm »
Hola a todos:

Tengo unas dudas con las integrales impropias, a ver si podéis echarme una mano.

DUDA 1. Por qué es convergente \( \displaystyle\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin{x}}{x} \).

Lo que yo he hecho es descomponerla en \( \displaystyle\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin{x}}{x}=\displaystyle\int_{0}^{1}\frac{\sin{x}}{x}+\displaystyle\int_{1}^{+\infty}\frac{\sin{x}}{x} \).

La segunda integral sí puedo ver que es convergente, puesto que

\( \displaystyle\int_{1}^{+\infty}\frac{\sin{x}}{x}=\left[-\frac{\cos{x}}{x}\right]_1^{+\infty} - \displaystyle\int_{1}^{+\infty}\frac{\cos{x}}{x^2}=1-\lim_{x\rigtarrow + \infty}\frac{\cos{x}}{x}-\displaystyle\int_{1}^{+\infty}\frac{\cos{x}}{x^2}= \)

 \( 1-\displaystyle\int_{1}^{+\infty}\frac{\cos{x}}{x^2} \)
Y como \( \displaystyle\int_{1}^{+\infty}\frac{\cos{x}}{x^2} \) es absolutamente convergente \(  0\leq\displaystyle \frac{\left|\cos{x}\right|}{x^2}\leq\frac{1}{x^2} \ \forall{x\geq 1} \) la integral \( \displaystyle\int_{1}^{+\infty}\frac{\sin{x}}{x} \) es convergente.

Sin embargo no logro demostrar que \( \displaystyle\int_{0}^{1}\frac{\sin{x}}{x}  \) también converge. ¿Alguna idea?

DUDA 2. Tengo que estudiar si \( \displaystyle\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin^3{x}}{x^3} \) es convergente.

Descompongo la integral \( \displaystyle\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin^3{x}}{x^3}=\displaystyle\int_{0}^{1}\frac{\sin^3{x}}{x^3}+\displaystyle\int_{1}^{+\infty}\frac{\sin^3{x}}{x^3} \)

Y nuevamente la segunda es sencilla

\( \displaystyle\frac{\sin^3{x}}{x^3}\leq \frac{1}{x^3} \ \forall{x \geq 1} \) luego \( \displaystyle\int_{1}^{+\infty}\frac{\sin^3{x}}{x^3} \) es convergente.

Vuelvo a tener problemas con la integral del intervalo [0,1] \( \displaystyle\int_{0}^{1}\frac{\sin^3{x}}{x^3} \) ¿Alguna sugerencia?.

Un saludo y muchas gracias por todo.



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Números complejos / Serie de números complejos
« en: 05 Julio, 2010, 09:32 pm »
Hola a todos:

A ver si me podéis ayudar con el siguiente ejercicio:

Comprueba las igualdades:

\( \displaystyle\sum_{k=-n}^n{e^{ikt}}=1+2\displaystyle\sum_{k=1}^n{\cos{kt}}=\displaystyle\frac{\sin{(n+\displaystyle\frac{1}{2})t}}{\sin{\displaystyle\frac{t}{2}}} \)

La primera igualdad resulta sencilla:

\( \displaystyle\sum_{k=-n}^n{e^{ikt}}=\displaystyle\sum_{k=0}^n{\displaystyle\frac{1}{e^{ikt}}}+\displaystyle\sum_{k=1}^n{e^{ikt}}= 1+ \displaystyle\sum_{k=1}^n{\displaystyle\frac{1}{e^{ikt}}}+\displaystyle\sum_{k=1}^n{e^{ikt}}=1+\displaystyle\sum_{k=0}^n{\displaystyle\frac{1+(e^{ikt})^2}{e^{ikt}}} \)

Según la definición de exponencial compleja tenemos que si \( z=a+ib \) entonces \( e^z=e^a(\cos{b} + i\sin{b}) \)
luego \( e^{ikt}=e^0(\cos{kt}+i\sin{kt})=\cos{kt}+i\sin{kt} \)

así pues \( 1+\displaystyle\sum_{k=0}^n{\frac{1+(e^{ikt})^2}{e^{ikt}}}=1+\sum_{k=1}^n{\frac{\sin^2{kt}+ \cos^2{kt} +\cos^2{kt} -\sin^2{kt} +2i\sin{(kt)}\cos{(kt)}}{\cos{kt} + i\sin{kt}}= \)

           \( 1+\displaystyle\sum_{k=1}^n{\frac{(2\cos^2{kt}+2i\sin{(kt)}\cos{(kt)})(\cos{kt} - i\sin{kt})}{\cos^2{kt} + \sin^2{kt}}}=1+2\displaystyle\sum_{k=1}^n{\cos{kt}} \)

Esto prueba la primera igualdad. Mi problema es la segunda igualdad. ¿Alguien me echa una mano?

Un Saludo y muchas gracias

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Hola a todos:

Tengo una duda sobre un resultado que viene en mis apuntes sobre las homografías (específicamente sobre las homologías). Según tengo entendido, no pueden existir dos hiperplanos de puntos fijos para una misma homografía. Sin embargo si consideramos la homografía F cuya clase de matriz es
\( \begin{bmatrix}{1}&{0}&{0}\\{0}&{2}&{0}\\{0}&{0}&{3}\end{bmatrix} \)
Sus puntos fijos serán \( (1:0:0), (0:1:0) y (0:0:1) \)

Sus hiperplanos fijos serán

\( \pi_1:x_0=0\longrightarrow{\left<{(0:1:0),(0:0:1)}\right>} \)

\( \pi_2:x_1=0\longrightarrow{\left<{(1:0:0),(0:0:1)}\right>} \)

\( \pi_3:x_2=0\longrightarrow{\left<{(1:0:0),(0:1:0)}\right>} \)

¿No son estos tres hiperplanos de puntos fijos?

Espero que podáis echarme una mano.
muchas gracias por adelantado.

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Geometría y Topología / Restricción de una homografía
« en: 17 Junio, 2010, 08:02 pm »
Hola a todos.

Tengo algunas dudas con otro ejercicio de geometría proyectiva... a ver si podéis echarme una mano. El ejercicio es el siguiente:

Se considera en \( \mathbb{P}^3(\mathbb{R}) \) un sistema de referencia \( R \) y una homografía \( F \) de clase matriz respecto de \( R \) dada por:

\( M(F)=\begin{bmatrix}{1}&{0}&{0}&{0}\\{-1}&{0}&{-1}&{0}\\{-1}&{-1}&{0}&{0}\\{-1}&{1}&{1}&{1}\end{bmatrix} \)

a) Encontrar un sistema de referencia \( R_L \) en el plano \( L=H_{\infty}:x_0=0 \) lo más simple posible.
b) Demostrar que \( L \) es plano fijo de \( F \) y calcular unas ecuaciones de \( F'=F|_L \) la restricción de \( F \) a\( L \).
c) Obtener la configuración invariante de \( F' \) a partir de la de \( F \).
d) Demostrar que \( F' \) es involutiva \( (F')^2=id \).

El apartado a) sería \( R_L=\{(0:1:1:1),(0:1:0:0),(0:0:1:0),(0:0:0:1)\} \)
El apartado b) sería \( L:x_0=0 \) es un plano fijo de \( F \) si su dual, el punto \( (1:0:0:0) \), es punto fijo del dual de \( F \),\( F^* \) y esto aocurre si y sólo si \( (1:0:0:0) \) es un autovector de \( (M(F))^t \). Lo cual se cumple.

Mi primera duda:
El problema viene con la segunda parte del apartado b) porque no sé trabajar muy bien con la restricción de \( F \) a \( L \).
Y es que no sé si la restricción toma un punto cualquiera de \( \mathbb{P}^3(\mathbb{R}) \) y lo transforma en uno de \( F(H_{\infty}) \) o si bien sólo puede tomar puntos de \( H_{\infty} \).

Mi segunda duda:
El apartado c)... no sé qué es "la configuración invariante de \( F' \)

Para el apartado d) creo que podré solucionarlo solo cuando resuelva mis dudas anteriores.

Espero que puedan ayudarme... Muchas gracias de antemano

Un saludo



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Ok muchas gracias.

¿Entonces la solución del problema sería así?:

\( a\cdot (1:2) + b \cdot (2:5)= (-1:1) \)     
\( a'\cdot (3:1) + b' \cdot (0:3)= (-21:11) \)

\( a=-7, b=3, a'=-7, b'=6 \)

La homografía F transforma los puntos con coordenadas normalizadas de la manera siguiente:

\( (-7:-14) \longrightarrow{ (-21:-7)} \)
\( (6:15) \longrightarrow{ (0:18)} \)
\( (-1:1) \longrightarrow{ (-21:11)} \)

si \( M(F)=\begin{bmatrix}{a_{11}}&{a_{12}}\\{a_{21}}&{a_{22}}\end{bmatrix} \)
debe cumplirse que
\( M(F)\cdot \left[{\begin{array}{ccc}{-7}\\{-14}\end{array}\right]=\left[{\begin{array}{ccc}{-21}\\{-7}\end{array}\right] \)
\( M(F)\cdot \left[{\begin{array}{ccc}{6}\\{15}\end{array}\right]=\left[{\begin{array}{ccc}{0}\\{18}\end{array}\right] \)
\( M(F)\cdot \left[{\begin{array}{ccc}{-1}\\{1}\end{array}\right]=\left[{\begin{array}{ccc}{-21}\\{11}\end{array}\right] \)

resolviendo el sistema tenemos que \( M(F)=\begin{bmatrix}{15}&{-6}\\{-7}&{4}\end{bmatrix} \)

Ahora para calcular sus puntos fijos, estos coinciden con sus autovectores, asi pues

\( det\begin{bmatrix}{15-\lambda}&{-6}\\{-7}&{4-\lambda}\end{bmatrix}=0 \) nos da el polinomio característico de M(F) siendo los autovalores \( \lambda_1=18 \ y \ \lambda_2=1 \)
y sus autovectores asociados \( V_{\lambda_1}=\left[{\begin{array}{ccc}{-3}\\{7}\end{array}\right] \) y \( V_{\lambda_2}=\left[{\begin{array}{ccc}{-2}\\{1}\end{array}\right] \)

Luego sus puntos fijos serán el  \( (3:7) \) y el \( (-2:1) \)

Ahora para calcular sus hiperplanos fijos hacemos uso de lo siguiente: Un hiperplano \( H \) es fijo para la homografía \( F \) si su dual \( H^* \) es un punto fijo de \( F^* \)

Como \( M(F^*)=(M(F))^t \) los autovalores de esta matriz coinciden con los anteriores. Si el hiperplano H es:

\( H:\alpha_1 x_1 + \alpha_2 x_2 = 0 \) entonces su dual es el punto \( (\alpha_1:\alpha_2) \) y este debe ser autovector de \( M(F^*) \) por lo que

\( M(F^*)\cdot \left[{\begin{array}{ccc}{\alpha_1}\\{\alpha_2}\end{array}\right]=18 \cdot \left[{\begin{array}{ccc}{\alpha_1}\\{\alpha_2}\end{array}\right] \)
y
\( M(F^*)\cdot \left[{\begin{array}{ccc}{\alpha_1'}\\{\alpha_2'}\end{array}\right]=1 \cdot \left[{\begin{array}{ccc}{\alpha_1'}\\{\alpha_2'}\end{array}\right] \)

sabiendo que \( M(F^*)=(M(F))^t=\begin{bmatrix}{15}&{-7}\\{-6}&{4}\end{bmatrix} \) sólo queda resolver ambas ecuaciones para hallar que una solución posible es:
\( \alpha_1=-7 \ y \  \alpha_2=3 \) para el autovalor 18
\( \alpha_1=1 \ y \  \alpha_2=2 \) para el autovalor 1

Así los hiperplanos fijos de F son:

\( H_1: -7x_1 + 3x_2 = 0 \) y \( H_1: x_1 + 2x_2 = 0 \)

¿Es este planteamiento correcto?

Un saludo y muchísimas gracias por todo


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Hola a todos.
Tengo algunas dudas sobre un ejercicio de geometria proyectiva, a ver si pueden ayudarme, el ejercicio es el siguiente:

Calcular las ecuaciones de la homografía de la recta proyectiva real tal que, respecto de un cierto sistema de referencia, lleva la terna ordenada de puntos
\( (1:2),(2:5),(-1:1) \)
 en
\( (3:1),(0:3),(-21:11) \)
Calcular los puntos e hiperplanos fijos.

Lo que he hecho en principio es:

Si F es una homografía entonces su matriz asociada debe ser cuadrada, y al tratarse del espacio \( \mathbb{P}^{1}(\mathbb{R}) \) debe ser matriz 2x2 y debe satisfacer lo siguiente

\( \begin{bmatrix}{a_{11}}&{a_{12}}\\{a_{21}}&{a_{22}}\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix}{1}\\{2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{3}\\{1}\end{bmatrix} \), \( \begin{bmatrix}{a_{11}}&{a_{12}}\\{a_{21}}&{a_{22}}\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix}{2}\\{5}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{0}\\{3}\end{bmatrix} \) y \( \begin{bmatrix}{a_{11}}&{a_{12}}\\{a_{21}}&{a_{22}}\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix}{-1}\\{1}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{-21}\\{11}\end{bmatrix} \)

Sin embargo aquí obtengo un sistema incompatible, por lo que supongo que estoy pasando algo por alto.
Me imagino que será algo relacionado con el sistema de referencia del espacio de llegada o algo así, ya que no entiendo muy bien que significa eso de "respecto de un cierto sistema de referencia", ¿se supone que es un sistema de referencia ya impuesto o que tengo que hallar uno para que todo encaje? no lo entiendo muy bien, además estoy un poco perdido con lo de los sistemas de referencia en espacios proyectivos... ¿Me echáis una mano?.

Muchas gracias de antemano

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Ok. Siento ser tan novato. Muchas gracias por todo.

Un Saludo

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Pero si considero \( H_1\cap{H_3}=\emptyset \) creo que llegas a una contradicción:

Si suponemos \( H_1\cap{H_2}=\emptyset \) \( H_2\cap{H_3}=\emptyset \) y \( H_1\cap{H_3}=\emptyset \) entonces

\( dim((H_1\cap{H_2)+H_3}) + dim(H_1\cap{H_2}\cap{H_3})=dim(H_1\cap{H_2})+dim(H_3) \)

por lo que

\( dim((H_1\cap{H_2)+H_3})=2 \)

sin embargo

\( dim((H_1\cap{H_2)+H_3})=dim((H_1+H_3)\cap{(H_2+H_3))}= \)

\( =dim(H_1+H_3) +dim(H_2+H_3)-dim(H_1+H_2+H_3) \)

Calculo por separado \( dim(H_1+H_3) \) y \( dim(H_2+H_3) \)

\( dim(H_1+H_3)=dim(H_1)+dim(H_3) -dim(H_1\cap{H_3})=2+2-(-1)=5 \)

\( dim(H_2+H_3)=dim(H_2)+dim(H_3) -dim(H_2\cap{H_3})=2+2-(-1)=5 \)

si sustituimos nos queda

\( dim((H_1\cap{H_2)+H_3})=5+5-7=3 \) pero partíamos de que \( dim((H_1\cap{H_2)+H_3})=2 \)

Y esa es la contradicción que decía.

Supongo que estaré equivocado en algún paso pero no veo en cual

Un saludo

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El segundo apartado lo he hecho del siguiente modo:
Si una recta R es secante a los tres planos entonces \( dim(R\cap{H_i})=0 \), como los planos se cruzan dos a dos,supongamos que \( H_1 \) se cruza con \( H_2 \) y que \( H_2 \) se cruza con \( H_3 \) entonces tendríamos:

\(  H_1\cap{H_2}=\emptyset \)
\(  H_2\cap{H_3}=\emptyset  \)

y como \( dim(H_1+H_2+H_3)=7 \), entonces ha de ser \( dim(H_1\cap{H_3})=0 \), es decir, \( H_1 \ y \ H_3 \) comparten un punto.
Por el teorema de la dimensión tenemos que

\( dim((H_1+H_3)\cap{H_2})=dim(H_1+H_3)+dim(H_2)-dim(H_1+H_2+H_3)=-1 \).

De este resultado vemos que cualquier recta que pertenezca a \( H_1+H_3 \) no corta a \( H_2 \), por lo que las rectas deben pertenecer a \( (H_1\cap{H_3})+H_2 \), y como

\( dim((H_1\cap{H_3})+H_2)=dim(H_1\cap{H_3})+dim(H_2)-dim(H_1\cap{H_2}\cap{H_3})=3 \)

concluimos que existen 3 rectas que son secantes a los tres planos.

¿Es correcta la solución?, ¿Serían tres rectas o tres familias de rectas?

Muchas gracias de antemano

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Ahh vale... entonces ese era el concepto en el que yo fallaba, pensé que si se cruzaban significaba que se cortarían de un modo u otro, por eso supuse que \( dim(H_1+H_2+H_3]\leq 6 \). Muchísimas gracias por todo, me ha resultado realmente útil.

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Muchas gracias por tu respuesta.
Sin embargo en tu explicación si \( H_i \ y \ H_j \) son dos planos que se cruzan ¿como puede ser que \(  H_i\cap{H_j}=\emptyset \)?, además como los tres planos se cruzan dos a dos, todos los planos se cortan entre sí, por lo que no entiendo que la intersección de alguno de ellos sea el conjunto vacío.
Un saludo

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Hola a todos, tengo que hacer un ejercicio y tengo dudas sobre el enunciado. El ejercicio es el siguiente:

En el espacio proyectivo \( $P^7(K)$ \) se consideran tres planos \( $H_1, \ H_2, \ y \ H_3$ \) tales que se cruzan dos a dos y no existe ningún hiperplano que contenga a los tres. Se pide:

a) Calcular \( $dim((H_1+H_2)\cap{H_3}). \)
b) Determinar el numero de rectas que son secantes a los tres planos.

Mi duda es que si el espacio proyectivo tiene dim=7, entonces un hiperplano ha de ser de dimensión 6, y por lo tanto puesto que \( $dim(H_1+H_2+H_3) \leq 6$ \) , siempre van a estar los tres planos contenidos en algún hiperplano.
¿Estoy yo equivocado o es que el ejercicio está mal planteado y en vez de ser en \( $P^7(K)$ \) será en \( $P^6(K)$ \)?

Muchas gracias de antemano


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