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Temas - mg

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1
Hola,

Acabo de empezar a estudiar los SDO con las matrices.  Y en una demostración aparece lo siguiente:

"Sea \( A:I\longrightarrow{L(\mathbb{R}^N}) \) y \( b:I\longrightarrow{}\mathbb{R}^N \) dos funciones continuas y \( (t_0,y_0)\in I\times{}\mathbb{R}^N \).

Supongamos que, \( f(t,y)=A(t)y+b(t),\;\;\;\forall{I\times{}\mathbb{R}^N} \).

\( f:I\times{}\mathbb{R}^N\longrightarrow{}\mathbb{R}^N \) es continua y localmente lipchitziana respecto de la variable y."

Me gustaría ver rigurosamente que es localmente lipchitziana, pasando por alto que es globlamente lipchitziana en I.

Entonces, para ello tomo un \( I'\times{}\omega=K\subseteq{}I\times{}\mathbb{R}^N \) compacto. Sean \( (t,y_1),(t,y_2)\in{}I\times{}\mathbb{R}^N \) entonces:

\( \left |{f(t,y_1)-f(t,y_2)}\right |=\left |{A(t)(y_1-y_2)}\right |\leq{}\left\|{A(t)}\right\|_s\left |{y_1-y_2}\right | \) donde la norma es la norma espectral y está tomada en el compacto K, es decir con \( t\in{}I' \).

Entonces tomando \( L_k=\left\|{A(t)}\right\|_s\geq{}0 \), probamos que f es localmente lipchitziana.

¿Añadirían algo?

2
Ecuaciones diferenciales / Duda en demostración
« en: 07 Mayo, 2021, 09:19 pm »
Hola,

Tengo una duda en la siguiente demostración.

MODIFICADO: Enunciado: (Lema de Gronwall)
Supongamos que:

\( u(t)\leq{}M+\displaystyle\int_{t_0}^{t}a(s)u(s)ds \),

donde \( M\in{\mathbb{R}} \), \( a\geq{}0 \), \( a,u\in{}C^0([t_0,t_1]) \). Entonces
\( u(t)\leq{}Mexp(\displaystyle\int_{t_0}^{t}a(s)ds \).

Demostración:
Pongamos \( v(t)=\displaystyle\int_{t_0}^{t}a(s)u(s)ds \), \( \forall{t}\in{}[t_0,t_1] \),
Entonces \( v\in{C^1([t_0,t_1])} \) y, por hipótesis, \( u\leq{}M+v \), de donde \(  v'=au\leq{}aM+av \), esto es:

\( v'(t)-a(t)v(t)\leq{}a(t)M \)

Multiplicando la desigualdad por \( exp(-\displaystyle\int_{t_0}^{t}a(s)ds) \), obtenemos:
 \( \displaystyle\frac{d}{dt}v(t)exp(-\displaystyle\int_{t_0}^{t}a(s)ds)=(v'(t)-a(t)v(t))exp(-\displaystyle\int_{t_0}^{t}a(s)ds)\leq{}a(t)Mexp(-\displaystyle\int_{t_0}^{t}a(s)ds) \).

Integrando con respecto a t, y teniendo en cuenta que v(t)=0  tenemos que:

\( v(t)\leq{}M\displaystyle\int_{t_0}^{t}(a(s)exp(-\displaystyle\int_{t_0}^{t}a(z)dz)=Mexp(-\displaystyle\int_{t_0}^{t}a(z)dz)-M \),  (*)

de donde,

\( u(t)\leq{}M+v(t)=Mexp(-\displaystyle\int_{t_0}^{t}a(z)dz) \)

Esa es la demostración.

Cómo pasa a (*) es mi duda.

3
Cálculo 1 variable / Un ejercicio extraño
« en: 15 Abril, 2021, 11:32 pm »
Hola,

El ejercicio es el siguiente:

"Dada la serie \( \left\{{x_t}\right\}_{-10}^{10} \) donde \( x_t=20\displaystyle\frac{sen(t)}{t} \), obtener los números enteros de las siguientes aproximaciones:

a) tendiendo a 0
b) tendiendo a \( -\infty \)
c) tendiendo a \( +\infty \)
d) tendiendo al entero más cercano"

No entiendo el enunciado, pues según entiendo, la serie dada, es finita, y por tanto ya está determinada. Digamos que la serie que se da es un número.

Por tanto no entiendo lo de las aproximaciones. Deduzco, que si esto tuviera sentido, evidentemente sería hacer tender la variable t. En fin, ¿qué opinan? ¿Está mal planteado? ¿o que estoy entendiendo mal?


Un saludo.

4
Teoría de la Medida - Fractales / Ejercicios teoría de la medida
« en: 15 Abril, 2021, 07:42 pm »
Hola,

Estoy haciendo unos ejercicios básicos de teoría de la medida y tengo unas preguntas.

Sea \( (X,M,\mu) \) un espacio de medida

1) Si \( E,F\in{}M \) tal que \( E\subseteq{}F \) entonces \( \mu(E)\leq{}\mu(F) \).

Para este voy a suponer directamente que \( E\subset{}F \), pues si son iguales es trivial. Para ello escribo \( F=E\cup{}C \) donde \( C \) es tal que \( F\setminus E=C \). Ahora bien como F es unión de conjuntos disjuntos tenemos que \( \mu(F)=\mu(E)+\mu(C) \) y esto lo prueba pues la medida es por definición positiva.

¿Debería comprobar que C es medible?

2) Si  \( E,F\in{}M \), entonces \( \mu(E\cup F)=\mu(E)+\mu(F)-\mu(E\cap F) \).

Aquí la idea es la misma. \( E\cup F=E\setminus E\cap F+F\setminus E\cap F+E\cap F \), se que la unión \( E\cup F  \) es medible pues E y F lo son, pero ¿y la intersección lo es? Si lo fuera ya estaría resuelto el ejercicio.

Un saludo.

5
Matemáticas Generales / ¿El vacío es disjunto consigo mismo?
« en: 15 Abril, 2021, 05:01 pm »
Se me viene a la cabeza esta pregunta porque trato de demostrar lo siguiente. Si \( E_1, ...,E_n \) son conjuntos medibles en un espacio de medida entonces \( \mu(\displaystyle\bigcup_j^{n}E_j)=\displaystyle\sum_{j=1}^n{\mu(E_j)} \). En mi definición de medida dice que dada una sucesión infinita numerable de conjuntos medibles disjuntos entonces la medida de su unión infinita es la suma infinita de las medidas. Por tanto, pensé en montar la sucesión de conjuntos \( E_1,...,E_n,E_{n+1},... \) donde \( E_m=\emptyset \) para todo \( m>n \), de modo que ya si que puedo usar la definición de medida.

Un saludo.

6
Computación e Informática / Funciones lógicas matlab
« en: 13 Abril, 2021, 05:37 pm »
¿Cómo hago para escribir una función que devuelva un valor lógico en matlab?

Hice la siguiente función para determinar si dos rectas son paralelas, me piden que devuelva un valor lógico.

function[boolean]=rectas(a,b,c,d)
if a==b;
    boolean=1;
else boolean=0;
end

Devuelve 1 o 0 pero creo que en su carácter númerico solo.

Un saludo.

7
Álgebra / Sistemas dinámicos
« en: 12 Abril, 2021, 10:45 am »
Sea \( A=\begin{pmatrix}{\displaystyle\frac{4}{5}}&{\displaystyle\frac{1}{10}}\\{\displaystyle\frac{1}{5}}&{\displaystyle\frac{9}{10}}\end{pmatrix} \). Consideramos el sistema dinámico:
\( A\begin{pmatrix}{C_k}\\{A_k}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{C_{k+1}}\\{A_{k+1}}\end{pmatrix} \).

Consideramos \( C_0=1, A_0=0 \).¿Se estabilizarán los valores de \( C_k,A_k \) cuando k tiende a infinito?

No se como demostrar que se estabilizan formalmente. Por ordenador se observa que iterando convergen aproximadamente  a \( C=\displaystyle\frac{1,666}{5},A=\displaystyle\frac{3,33}{5} \).

Además suponiendo que existen puntos de estabilidad, resolviendo el sistema \( A\begin{pmatrix}{x}\\{y}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{x}\\{y}\end{pmatrix} \), se ven que los puntos fijos o estables son los de la forma \( (\displaystyle\frac{k}{2},k) \), lo cual tiene sentido con lo anterior.

¿Cómo hago para probar que los valores se estabilizan?

Un saludo.

8
Ecuaciones diferenciales / Factores integrantes
« en: 04 Abril, 2021, 12:21 am »
Hola,

Si tengo una edo que es susceptible de ser resuelta mediante factores integrantes, y resulta que no puede ser solo función de una de la variables, es decir que aparecen tanto la variable independiente como dependiente, ¿cómo estudio el cambio de variable que he de hacer? Me refiero a que debe quedarme una función tipo \( \mu(z) \), donde a su vez, \( z(x,y) \) es una función de x e y. Entonces, saber el cambio (que sea por ejemplo \( z=y^2+x^2 \) o \( z=yx^2 \)) ¿es cuestión de probar un poco a suerte? ¿o hay alguna forma mejor de estudiarlo?

Un saludo.

9
Teoría de la Medida - Fractales / Medible por traslaciones
« en: 22 Marzo, 2021, 06:30 pm »
Hola,

Se que debe ser un ejercicio sencillo, pero me hace falta vuestra ayuda.

Sea \( E\in{}\mathcal{L} \) y \( c\in{}\mathbb{R}^d \) prueba que \( c+E\in{}\mathcal{L} \), con la medida de Lebesgue definida en \( \mathbb{R}^d \).

PD: Estoy trabajando con la definición de Caratheodory.


Un saludo.

10
Teoría de la Medida - Fractales / Medible según Caratheodory
« en: 13 Marzo, 2021, 07:41 pm »
Hola,

Dado \( X\neq\emptyset \) y una medida exterior \( \mu^* \) sobre \( X \), se dice que un conjunto \( E\subseteq{X} \) es medible según Caratheodory si para todo \( A\subseteq X \) verifica que:
\( \mu^*(A)=\mu^*(A\cap E)+\mu^*(A\cap E^c) \)

(Teorema). En mis apuntes demuestran que si \( \mathcal{M} \) es la familia de conjuntos medibles según Caratheodory en X, entonces \( \emptyset\in \mathcal{M} \), si \( E\in \mathcal{M} \) entonces \( E^c\in\mathcal{M} \), y por último si \( E,F\in\mathcal{M} \) entonces \( E\cup F \in \mathcal{M} \).

Ahora bien, justo después de esto dice lo siguiente
Observación: Sea \( \mu^* \) una medida exterior sobre un conjunto \( X\neq\emptyset \). Si \( E\subseteq X \) es tal que \(  \mu^*(A)\geq{}\mu^*(A\cap E)+\mu^*(A\cap E^c) \) para todo \( A\subseteq X \), entonces \( E \) es medible en el sentido Caratheodory.



No sé de donde saca esa conclusión en la última afirmación. Si es de la demostración del teorema mencionado anteriormente, o bien un corolario de este, no se como hace. Espero que me puedan echar una mano.

Por cierto, ¿No se podría deducir por inducción del teorema A que M es un \( \sigma \)-álgebra?

Un saludo.

11
Topología (general) / ¿Es un espacio completo?
« en: 09 Marzo, 2021, 12:06 am »
Hola,

El ejercicio es el siguiente.

Sea \( X=(0,1] \) y \( d \) una distancia tal que \( d(x,y)=\left |{\displaystyle\frac{1}{x}-\displaystyle\frac{1}{y}}\right | \). Probar que \( X \) con la métrica inducida por \( d \) es un espacio completo.

Le he dado varias vueltas. Parto de una sucesión de Cauchy contenida en X, pero por más vueltas que le doy no consigo ver la forma de probar que es convergente. Se me ocurre probar que la sucesión debe ser monótona pero tampoco encuentro la forma. En fin, si quieren me pueden dar pistas y voy intentandolo con la ayuda a ver si sale.

Un saludo

12
Cálculo de Varias Variables / Funciones vectoriales
« en: 25 Febrero, 2021, 12:38 am »
Hola,

Me ha surgido una de concepto. Yo siempre que pienso en una función vectorial, pienso en las imágenes como un punto. Y creo que he estado pensando en ello de forma errónea. A menos que ustedes me corrijan, ahora después de detenerme un poco en el tema, las imágenes de una función vectorial, son vectores, tal cual, con módulo, dirección y sentido, y en los que podemos considerar el punto donde termina el vector para representarlo. Es decir, creo que mi error ha sido pensar en las gráficas de estas funciones, pues si por ejemplo, una función vectorial tiene por imagen una superficie, entonces su gráfica es tal superficie que yo entiendo como un conjunto de puntos y no vectores. Pero en realidad lo que representa esa superficie es el conjunto de puntos donde acaban dichos vectores.


Siguiendo con esto un poco, (todo esto viene de una clase de física,) me han puesto el siguiente ejemplo. Sea f la función identidad en \( \mathbb{R}^3 \). Entonces la profesora para graficarlo, ha dibujado los ejes y a continuación un vector cualquiera, llamemoslo \( \vec{v} \). Después ha dibujado su imagen, y lo curioso y lo que me ha dejado un poco fuera de juego, es que lo ha dibujado a partir del punto donde \( \overrightarrow{v} \) acababa. Y sinceramente esto no me encaja, porque si la imagen del vector es el propio vector, ¿por qué lo dibuja a continuación del mismo (donde este vector acaba)?


Un saludo.

13
Hola,

El ejercicio es el siguiente: Sea la cuádrica Q dada por \( x_0^2-2x_0x_1+2x_0x_2+2x_1x_3-x_2^2=0 \). Se pide comprobar si \( (0:2:2:1) \) pertenece a la cuádrica y, en caso afirmativo, hallar su plano polar H. Clasificar la cónica \( Q_{|H} \).

Comprobé que efectivamente el punto dado pertenece a la cuádrica y que el plano polar de P es \( H\equiv{}x_1-2x_2+2x_3=0 \) la matriz de la cuádrica \( Q_{|H} \) queda así:

\( \begin{pmatrix} 1&0&-1&2\\0&0&0&0\\-1&0&-1&2\\2&0&2&-4\end{pmatrix} \)

Ahora la cosa es que si yo "me olvido" de la columna y fila correspondientes a \( x_1 \) pues tendría la matriz de una cónica. Esto cuando se restringe la matriz de una cuádrica a un plano tipo \( x_0=0 \), lo veo claro pero con el plano de este ejercicio no. ¿Es decir, yo puedo ahora trabajar con la matriz
\( \begin{pmatrix} 1&-1&2\\-1&-1&2\\2&2&-4\end{pmatrix} \) ? Supongo que si pues al haber restringido a la cuádrica a un plano, estoy trabajando en un espacio que sería isomorfo a \( \mathbb{P}^2(\mathbb{R}) \).

Por otro lado, en \( \mathbb{P}^3 \), el espacio inicial, a mi se me da el punto \( (0:2:2:1) \), ¿cuales son las coordenadas de ese punto en H?

Por si alguien tiene curiosidad, la cónica serían dos rectas reales secantes en un punto.

Un saludo.

CORREGIDO

14
Hola,

Me piden que demuestre que, si \( Z \) es una variedad lineal proyectiva y \( Q \) una cuádrica, entonces \( Z\subseteq{}polar_Q(polar_Q(Z)) \)

No debe ser dificil pero lo cierto esque no caigo en como hacerlo. Agradecería si me dieran alguna pistilla.

Hasta ahora lo que he hecho ha sido escribir explicitamente el sistema \( polar_Q(Z) \), pero ya después no se como seguir. Porque digamos que \( polar_Q(Z)=\left\{{R\in{}X/PAR^t=0,\;\forall{}P\in{}Z}\right\} \)(A es la matriz asociada a Q) entonces ¿\( RAP^t=0 \)? (con \( P\in{}Z, R\in{}polar_Q(Z) \)), no tiene por qué, ¿no?

Un saludo.

15
Topología (general) / ¿Es la topología conumerable de Lindelof?
« en: 02 Febrero, 2021, 06:37 pm »
Hola,

La pregunta es la del título, ¿es la topología conumerable de Lindelof (en un conjunto no numerable)?. Sé la respuesta porque internet me ha chivado que es de Lindelof, pero me gustaría probarlo. Una vez tomo un recubrimiento de X por abiertos de la conumerable no se como trabajar con ellos. ¿Tal vez pueda trabajar con sus complementarios?. Agradecería que me echaran una mano para probar la proposición.

Un saludo.

16
Hola,

Dada una topología en un conjunto X, ¿pueden existir subconjuntos de X que no sean ni cerrados ni abiertos en la topología dada?

Un saludo.

17
Hola,

El ejercicio es el siguiente.

"Clasifique, o justifique que no existen, las cuádricas no degeneradas en \( \mathbb{P}^3(\mathbb{R}) \), tales que su cuádrica lugar corta a cualquier recta de \( \mathbb{P}^3(\mathbb{R}) \)  en a lo más dos puntos."


Sinceramente no se muy bien por donde tirar. Para empezar, descarto que sea cuádrica imaginaria pues en ese caso su lugar sería vacío y evidentemente no corta a ninguna recta. Por tanto, quedarían ver las cuádricas con rango 4 y signatura proyectiva 2, que son reales. He pensado que podía tomar una matriz representante de cada una, pero no se me ocurre la forma de probarlo.


Un saludo.

18
Hola,

Me gustaría conocer como se calcula la clausura proyectiva de una cuádrica afín. En mis apuntes se define como sigue, "Si f=0 es una ecuación de Q respecto a un sistema de referencia afín, entonces una ecuación de \( \overline{Q} \) respescto de un sistema de referencia proyectivo, se obtiene homogeneizando f, esto es, añadiendo la variable \( x_0 \)(eventualmente al cuadrado) a los sumandos que lo necesiten para conseguir una forma cuadrática."

Entonces me he dispuesto a, por ejemplo, intentar hacer la clausura de la cónica afín Q, que tiene por matriz:

\( \begin{bmatrix}{2}&{1}&{0}\\{1}&{0}&{2}\\{0}&{2}&{0}\end{bmatrix} \),

pero no se como hacerlo, creo que en este caso pues simplemente \( Q \) y \( \overline{Q} \) coinciden. ¿Estoy en lo cierto?

Un saludo

19
Topología (general) / Conjunto derivado
« en: 24 Enero, 2021, 09:49 am »
Buenas,

Sea \( (X,\leq{}) \) un conjunto parcialmente ordenado. Calcular el derivado de \( A=\left\{{0}\right\} \). En la solución dice que \( A'=(-\infty,0) \). Pero no lo termino de entender, porque si \( \overline{A}=A\cup{}A' \) entonces \( \overline{A}=(-\infty,0] \), pero eso no es cerrado en esta topología no?


Lo que yo he hecho
Para calcular el derivado podemos usar que \( \overline{A}=A\cup{}A' \). Como una base de la topología dada es \( B_x=\left\{{y\in{}\mathbb{R}/x\leq{}y}\right\} \) entonces una familia de cerrados es \( F_x=\left\{{y\in{}\mathbb{R}/x>y}\right\} \). Por tanto en nuestro caso \( \overline{A}=(-\infty,0+\delta) \) con un \( \delta>0 \) lo más pequeño posible (no se muy bien como ponerlo, pues debe ser el menor cerrado que contiene a A). Por tanto como esta es la clausura de \( A \) solo habría que comprobar que \( \left\{{0}\right\}\in{}A' \), pues el resto de puntos de la clausura es seguro que están en \( A' \). Observamos que \( A-\left\{{0}\right\}=\emptyset \), y por tanto, ningún abierto corta a este conjunto, de modo que no pertence a \( A' \).

Un saludo.

20
Buenas,

Son ya unas pocas veces las que he visto lo que adjunto, y no me explico el por qué. Intuyo que tendrá que ver con que será válido para un número finito de repeticiones. Estoy a la espero de su iluminación.



Un saludo.

Mensaje corregido desde la administración. Mira aquí el procedimiento para insertar la imagen:

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