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Temas - athairdos

Páginas: [1] 2
1
Estructuras algebraicas / Grupo de Klein \(Z_2\times Z_2\)
« en: 26 Febrero, 2021, 09:18 pm »
Hola; he dado.en un desarrollo con la.mención al grupo de Klein \( Z_{2}\times Z_{2} \).

Parece un producto cartesiano o producto directo de \( Z_{2} \) con sì mismo; pero ignoro si esto es.correcto;

en todo caso, la pregunta sería acerca de la estructura del.grupo en cuestión; si alguien puede dar una breve presentación del mismo, serìa muy bueno

saludos; gracias

2
Estructuras algebraicas / Duda sobre notación de Grupo
« en: 26 Febrero, 2021, 09:06 pm »
Hola; tengo la siguiente duda (sobre notación de un grupo):

qué grupo es el de la notación: \( (\phi_{8}, \times) \)? se me ocurre que podría ser el subgrupo multiplicativo de los.enteros módulo-8; pero.no estoy seguro...no conozco la notación q usa la letra \( \phi \)...

gracias; saludos

3
Hola, tengo las siguientes dudas (conceptuales o generales, digamos) sobre transformaciones proyectivas y afines:

1-Considerando un plano proyectivo \( P^{2} \), por.ejemplo, sería correcto.decir.que.una transformación afín deja.invariante a la recta del.infinito en el.sentido.de.que.aplica.dicho.subespacio-hiperplano \( H_{\inf} \) sobre sí mismo; es.decir, dado.que.define un.automorfismo.para.dicho.hiperplano (a saber, \( H_{\inf}\rightarrow{H_{\inf}} \))?

2-Dado un.plano proyectivo \( P^{2} \); una referencia en el mismo y una transformación proyectiva (ej..una matriz regular de \( 3\times3 \)): luego, es correcto decir que el.transformado del.hiperplano impropio \( H' \), expresado en términos.de la.referencia inicial tendrá como ecuación una ecuación distinta a las de la forma usual: \( z=0 \), ó \( x=0 \), por ejemplo?

gracias

4
Hola; tenia la duda de como separar las partes afin, proyectiva y homotecia de una matriz que represente una transformacion de un espacio proyectivo \( P^{n} \); dado que la parte afin deberia dejar invariante un hiperplano \( H \) (del infinito), etc. La pregunta involucraria, ademas, algunas cuestiones sobre la notacion de una transformacion proyectiva (por ej. si es necesario para una transformacion \( T \) su escritura en la forma \( \lambda T \), para capturar la parte asociada a la homotecia)?

gracias

5
Geometría y Topología / Espacio Proyectivo y Transformaciones
« en: 28 Enero, 2021, 10:24 pm »
Hola, tengo la siguiente duda: suponiendo por un lado un espacio proyectivo de dimension n; por ejemplo, una recta \( P^{1} \) y su referencia dada por 3 puntos, por ejemplo \( \left\{{1, 0); (0, 1); (1, 1)}\right\} \); y por otro lado una transformacion del mismo (homografia) representada por una matriz de 2x2; entonces la pregunta seria: ¿para encontrar los transformados de los puntos de la referencia inicial segun la matriz (homografia) dada, se debe proceder uno por uno (es decir, aplicar el producto matricial de matriz y punto, en forma individual en cada uno de los 3 puntos de la referencia)?

saludos y gracias

6
Geometría y Topología / Referencia proyectiva
« en: 25 Enero, 2021, 02:22 am »
Hola; tengo la siguiente duda; dada una referencia proyectiva en un espacio proyectivo \( P^{n} \) por \( n+2 \) puntos; todo punto del espacio en cuestión se puede expresar a partir de los mismos (como.combinación lineal de ellos, salvo  múltiplos escalares  \( \lambda \))?

Por ejemplo, en una recta proyectiva los puntos se pueden expresar (salvo múltiplos escalares) como combinaciones de 3 puntos (incluído el punto unidad): si llamamos \( u_{0}, u_{1} \) y \( u \) a 2 puntos independientes y al punto unidad, respectivamente, entonces los elementos de la recta se pueden expresar como: \( x_{0}u_{0}+x_{1}u_{1}+x_{2}u \)?

Ó en un plano proyectivo, como \( x_{0}u_{0}+x_{1}u_{1}+x_{2}u_{2}+x_{3}u \); o sea, combinaciones de 4 puntos, incluído el punto unidad \( u \) definido en el mismo?

Gracias y saludos.

7
Geometría y Topología / Espacio afin (2 preguntas)
« en: 19 Enero, 2021, 01:18 am »
Hola; tengo dudas sobre 2 aspectos del espacio afín: las 2 son conceptuales; en todo caso las dejo por si hubiera una respuesta mas o menos directa.

1-El concepto de espacio afín como espacio sin origen, se podría interpretar en el caso de un plano afín \( A_{n} \) del siguiente modo: un plano afín \( A_{n} \) es un espacio al que le falta el punto \( (0, 0, 0) \) (es decir, un punto del infinito)? O dicho de otro modo, el origen que falta en un espacio afín es un punto del infinito (de un espacio proyectivo)?

2-tomando como plano afín al plano z=1, en el mismo se cumple la cuestión de las combinaciones afines: a saber, que los puntos del plano se pueden expresar como combinaciones a partir de coeficientes cuya suma es 1(es decir \( a_{0}x_{0}+...+a_{n}x_{n} \) con
\( \Sigma_{i}a_{i} \)=1)?

Gracias y saludos.

8
Geometría y Topología / Transformaciones afines y matrices
« en: 18 Enero, 2021, 06:15 pm »
Hola, tengo la siguiente duda:

teniendo que la matriz \( \begin{bmatrix}a&c&0\\b&d&0\\k_{1}&k_{2}&1\end{bmatrix} \) corresponde a una transformación afín de \( K^{2} \) (para un vector fila \( \begin {bmatrix}x_{0}&x_{1}&1\end{bmatrix} \)), entonces las siguientes matrices:

\( \begin{bmatrix}a&0&c\\k_{1}&1&k_{2}\\b&0&d\end{bmatrix} \),
y
\( \begin{bmatrix}1&k_{1}&k_{2}\\0&a&c\\0&b&d\end{bmatrix} \),
para vectores \( \begin{bmatrix}x_{0}&1&x_{2}\end{bmatrix} \) y \( \begin{bmatrix}1&x_{1}&x_{2}\end{bmatrix} \), respectivamente;

tambíén corresponden a transformaciones afines de \( K^{2} \) ?

Gracias de antemano y saludos.

9
Hola, tengo la siguiente duda sobre funciones inversas: en particular, sobre inversas a la izquierda e inversas a la derecha, asociadas a funciones (homomorfismos) "sobre" y "uno-a-uno" (sobreyectivas-epimorfismos e inyectivas-monomorfismos, respectivamente).

Expresaré mi duda en lenguaje ordinario, si es que puede ser de utilidad:

-Las funciones (homomorfismos)\( f:X\longrightarrow{Y} \) inyectivas tienen inversa a la derecha; puesto que estas funciones son "uno-a-uno", es decir, aplican elementos distintos del conjunto preimagen \( X \) a elementos distintos del conjunto imagen \( Y \), entonces, la existencia de inversa \( f^{-1} \) a la derecha \( f\circ{f^{-1}} \) se puede "explicar" del siguiente modo: si se invierte la relación funcional que llevara un elemento \( x_{i} \) al elemento \( x_{i}´ \) y se aplica la misma a la imagen \( x_{i}´ \), se obtendría la preimagen \( x_{i} \). Es decir, la inversa a la derecha de una función dada, se aplica a la imagen de la función inicial dada, es decir, a posteriori, y así se consigue la función idéntica.

-Las funciones (homomorfismos) sobreyectivas tienen inversa a la izquierda; puesto que estas funciones son "sobre", es decir, tales que todos y cada uno de los elementos en los conjuntos-imagen de las mismas tienen algún antecedente en el conjunto-preimagen (es decir, cada imagen tiene por lo menos un antecedente en \( X \): número de preimagenes \( f^{-1}(x_i´) \) de la imagen \( x_{i}´ \) es \( \geq{1} \), entonces la inversa a la izquierda (esto es: \( f^{-1}\circ{f} \)) puede definirse como función que elige a uno de entre un subconjunto de antecedentes (preimágenes) posibles de cada imagen (con antelación a la operación de la función inicial \( f \); la cual, aplicada en forma sucesiva, es decir, a la derecha de la anterior, resultaría en la identidad...\( f^{-1}\circ{f}=Id \)).

No se si esto se puede expresar de forma más rigurosa; me da la impresión que involucra algunas cuestiones de una teoría de conjuntos, pero no estoy seguro. Cualquier observacion es bienvenida. Gracias; saludos.

10
Estructuras algebraicas / Núcleo y cogrupos
« en: 29 Noviembre, 2020, 06:15 pm »
Hola; tengo la siguiente duda;

Dado que los elementos de un núcleo (por ej. el núcleo N de un Homomorfismo de grupo \( G\rightarrow{H} \)) son aplicados en un mismo elemento (la identidad \( e' \) de H), los elementos de un cogrupo de G-por N son aplicados en un mismo elemento de H?

Por ej.: si el homomorfismo es una aplicación "n a 1" del grupo G en el grupo H, entonces la relación "n a 1" se cumple tanto para el Núcleo N, como para los cogrupos de N?

Gracias; saludos.

11
Hola; tengo la.siguiente duda:

Si se toma la función ó correspondencia \( \mathbb{Z}\rightarrow{\mathbb{Z_n}} \), la misma implica que se lleva o aplica cada entero de \( \mathbb{Z} \), en un residuo módulo-n. Por ejemplo, si se toma \( \mathbb{Z}\rightarrow{\mathbb{Z_4}} \), se tiene una correspondencia que lleva (de manera pluriunívoca) el conjunto de los números enteros \( \mathbb{Z} \) sobre el conjunto (de residuos ó restos): {\( {{0, 1, 2, 3}} \)}; llevándolos según la.relación de congruencia módulo-4.

Ahora bien; si ahora se tomara \( \mathbb{Z}\rightarrow{\mathbb{Z_8}} \) en vez de la aplicación anterior, existe una relación con el conjunto \( 4\mathbb{Z} \).

Para poner un poco en contexto la pregunta; la misma se originó en relación a la cuestión de si el conjunto de múltiplos del módulo \( n \) constituían el núcleo del homomorfismo \( \mathbb{Z}\rightarrow{\mathbb{Z_n}} \)(pues los mismos se aplican en el.cero de \( \mathbb{Z_n} \); que sería el neutro o identidad del grupo aditivo de \( \mathbb{Z_n} \)); respecto de la cual me indicaron la relación con un subconjunto definido por un orden \( m \) tal que divida al módulo-n, etc. Así, en el caso anterior, se tendría el subconjunto \( 4\mathbb{Z} \); tal que \( 4 \) divide al módulo \( 8 \); etc.

Gracias; saludos.


12
Álgebra / Base y Notación matricial
« en: 04 Julio, 2020, 07:38 pm »
Hola; tengo la siguiente dudas (sobre notación, etc.):

1-Dada una base en un espacio vectorial, por ejemplo: (2, 2) y (1, 4) en \( \mathbb{R^2} \) la matriz formada por los mismos, se escribe en la forma \( \begin{pmatrix}{2}&{2}\\{1}&{4}\end{pmatrix} \) ó en la forma  \( \begin{pmatrix}{2}&{1}\\{2}&{4}\end{pmatrix} \)?

2-los vectores en el contexto anterior se escriben.como.vectores fila y, en cuyo caso, la multiplicacion de un vector (fila) por una matriz se hace con la.matriz en la derecha (multiplicación por derecha)?

3-también se puede representar cada vector como vector columna y, en ese caso, la multiplicacion por una matriz se hace con la matriz a izquierda?

4-si ambas opciones anteriores fueran posibles, de qué depende la elección de una u otra opción?

5-una forma de representación de una base (en un espacio vectorial) es por medio de la matriz que se puede formar con los vectores de la misma?

6-(si la anterior fuera correcta) un cambio de base se puede expresar como producto de dos matrices (cada una representando una base: ej. la matriz de la derecha sería la nueva.base)?

Gracias


13
Hola; tengo la duda sobre si el siguiente argumento es correcto.

Suponiendo en \( \mathbb{R^3} \) un plano por el origen de ecuación \( ax+by+cz=0 \), y dados los elementos del mismo como conjunto de combinaciones lineales de los vectores \( (c, 0, -a) \) y \( (0, -c, b) \); es decir \( x(c, 0, -a)+y(0, -c, b) \); entonces interpretando dicho plano como recta proyectiva \( \mathbb{P^1} \); la pregunta es si el punto del infinito de la recta podría tomarse como el punto \( (-c/a, c/b, 0) \) (ó, escribiendolo como clase de equivalencia: \( \lambda(-c/a, c/b, 0) \), perteneciente al plano \( z=0 \) (establecido como Recta del infinito de \( \mathbb{P^2} \), para el plano afín \( z=1 \)).

Gracias de antemano. Saludos

14
Álgebra / Ecuaciones de hiperplano y cambio de base en el espacio
« en: 08 Junio, 2020, 05:05 pm »
Hola; tengo algunas dudas sobre una relacion entre cambio de base y ecuacion de un hiperplano.

Dadas, por ejemplo, una base {\( e_0; e_1 \)} y una nueva base {\( \alpha_0=e_0;\alpha_1=e_0+2e_1 \)} se tiene, entre otras cosas, que un vector como \( (1, 2) \) se representa como \( (1, 2) \) con respecto a la primera base y como \( (0, 1) \) con respecto a la segunda base.

Cambiando la base, entonces, se puede reexpresar en forma mas compacta o simplificada la ecuacion de un hiperplano. Por ejemplo, un hiperplano de \( \mathbb{R^2} \) tal como \( ax+by=0 \) se puede reexpresar como \( y=0 \) (ó \( y'=0 \)).

La pregunta es si para un hiperplano en \( \mathbb{R^3} \) con ecuacion de la forma \( ax+by+cz=0 \), la ecuacion se puede simplificar análogamente, tomando una nueva base que incluya al vector normal \( (a, b, c) \) como vector componente de la base.

Gracias

15
Álgebra / Ecuaciones de espacio e hiperplano y suma lineal
« en: 07 Junio, 2020, 05:12 pm »
Hola; tengo la siguiente duda teórica.

Dado un hiperplano en \( \mathbb{R^3} \) de ecuación \( ax+by+cz=0 \), a partir de las coordenadas homogeneas del mismo se puede expresar la ecuación del espacio que lo contiene (en este.caso \( \mathbb{R^3} \)) como suma lineal del hiperplano más el subespacio unidimensional dado por los múltiplos del vector normal al hiperplano (\( \lambda*(a, b, c) \) ó \( z*(a, b, c) \)?

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En particular, tambíén tengo.la duda respecto.de.qué ocurre con lo.anterior en el.caso de una traslación de un hiperplano por el.origen, pero.en todo caso la dejo para otra pregunta por separado.
Para desobstaculizar la lectura, todos los signos espurios han sido eliminados desde la administración.
[cerrar]
En particular, tambíén tengo la duda respecto de qué ocurre con lo anterior en el caso de una traslación de un hiperplano por el origen, pero en todo caso la dejo para otra pregunta por separado.
Gracias de antemano.
Saludos.

16
Hola; tengo unas dudas sobre el.concepto de recta proyectiva; habida.cuenta de que la.misma.se.puede definir.como.espacio.cociente (el.que se.define.como.conjunto de los.cogrupos de.un.subespacio en un espacio dado), por un lado, y.de que una recta afín se puede.definir como.cogrupo de un subespacio de dim=1 (a saber, para.dados.2.puntos v1 y v2; la misma.se puede definir como traslacion del.subespacio dado por x*(v2-v1)), por otro, resultaria que la recta proyectiva consta del conjunto de todos.los.cogrupos del tipo anterior; es decir, de todas las rectas (afines) paralelas entre sí definidas por 2.puntos de un espacio y sus correspondientes proporcionales (los que definirian vectores diferencia.tbien proporcionales y de ahi, rectas afines paralelas.a una inicial). De ahí, .que el conjunto de tales.rectas (afines) paralelas entre sí (que constituyen el.espacio.cociente) coincida  con un plano por el origen. (en R3, por ej.).

La.pregunta, si lo.anterior es.correcto, es acerca del.establecimiento.de una referencia.proyectiva en o.para una recta.proyectiva dada. La.posibilidad de una.especificación de.una tal.referencia.(a partir de.3.puntos.no alineados.del.espacio) implica el movimiento eventual entre puntos de una recta afín dada o el movimiento entre puntos de rectas afines paralelas entre sí? O tal vez ambos?

En el libro señala que el grupo proyectivo es isomorfo al grupo cociente del grupo lineal en dim=n+1 por el subgrupo dado por los múltiplos de la identidad (homotecias); en todo caso, si es que no estoy totalmente desorientado, no alcanzo a distinguir entre el hecho de moverse entre rectas afines paralelas (lo que se podria lograr multiplicando los puntos por un valor comun) y el hecho de moverse entre puntos de una recta afín dada (lo que implicaria combinaciones de los vectores o puntos iniciales a partir de los  cuales se establece el sistema.de coordenadas).

Espero se entienda la pregunta; cualquier observacion es bienvenida. Gracias de antemano. Saludos

17
Tengo algunas dudas sobre el tema del título.

Dado un subespacio lineal se define subespacio afín como el conjunto de las sumas de los elementos del subespacio lineal y un vector fijo \( \vec{k} \); es decir, las traslaciones de los elementos del subespacio por un vector fijo.

El subespacio afín se puede describir como cogrupo del subespacio vectorial dado, en el grupo aditivo de vectores.

Por otro lado, en la definición de recta afín en la forma \( (1-t)\vec{v_1}+t\vec{v_2} \) la misma se construye con el vector trasladado \( \vec{v_2}=\vec{v_1}+\vec{k} \).

Una pregunta es si resulta correcto expresar que la recta afín se compone de un elemento del grupo aditivo de vectores en el subespacio lineal dado, por un lado, y de un elemento del cogrupo, por otro.

Otra pregunta es si, dado que las rectas entre cualquiera de los elementos del subespacio lineal y su trasladado son todas paralelas entre sí, la recta afín se identifica con todas ellas; en cuyo caso se tendría que por cada cogrupo hay una única recta afín (o si, por el contrario, cada una de ellas es una recta afín en sí misma, por así decir).

Saludos y gracias.

18
Álgebra / Ecuación de un Plano en R3
« en: 25 Mayo, 2020, 06:24 pm »
Hola, no se si la pregunta esta en la.sección adecuada o tal.vez debiera ir en la de Geometría (y topología). En todo caso, la formulo.

Dada la ecuación de un plano en \( \Bbb R^3 \) en la forma (de ecuación lineal homogénea): \( ax+by+cz=0 \); el plano en cuestión podría expresarse como (suma lineal) a partir de los vectores \( (c, 0, -a) \) y \( (0, c, -a) \) (pertenecientes a los planos \( y=0 \) y \( x=0 \), respectivamente)? Gracias de antemano. Saludos

19
Álgebra / Transformación lineal de V3 a V2
« en: 05 Mayo, 2020, 09:47 pm »
Hola, tengo varias dudas pero, para no hacer una mezcla ininteligible, me limito a la siguiente:

El producto de un vector \begin{bmatrix}{x}&{y}&{z}\end{bmatrix}, perteneciente a un Espacio de Dim=3 (ej V3) y una matrix 3x2 como \begin{bmatrix}{a}&{b}\\{c}&{d}\\{f}&{
g}\end{bmatrix}, que representa un conjunto de 3 vectores en un Espacio de Dim=2 (ej V2) y cuyo resultado sería un vector \begin{bmatrix}{s}&{t}\end{bmatrix}, implica una aplicación de un espacio V3 a un espacio V2?

Gracias de antemano.
Saludos

20
Álgebra / Interpretación de Transformación Lineal
« en: 03 Mayo, 2020, 04:23 pm »
Hola; tengo unas dudas respecto de las matrices rectangulares y la interpretación de una transformación lineal.

Si se toma considera el producto de un vector (fila) por una
Matriz rectangular; por ej:

(x y) (1 1 2)= (x+y x-y 2x)
         (1 -1 0)
se puede considerar que la matriz 2x3 lleva o aplica el vector de 2 componentes en un vector de 3 componentes (de manera tal que lleva un conjunto de un único elemento...el.vector inicial...a otro conjunto de un único elemento...el vector final).

Pero si se considera el aspecto de la transformación de las coordenadas individuales implícita en aquella multiplicación se tendría que en el vector final hay una coordenada que no es imagen de ninguna coordenada en el vector inicial.

Por ello, me he preguntado si acaso no se podría considerar la interpretación alternativa de una tal multiplicación:  a saber, la de que la misma comporta en cada una de las coordenadas del vector final de 3 componentes, las imágenes de las columnas de la matriz de 2x3: ej. a cada columna le correspondería una coordenada resultante de una suma. De tal forma que, ahora sí, habría una correspondencia entre 2 conjuntos con igual número de elementos (3, en este caso).

No sé si esto tiene sentido. Cualquier sugerencia al respecto es más que bienvenida. Saludos

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