Mostrar Mensajes

Esta sección te permite ver todos los posts escritos por este usuario. Ten en cuenta que sólo puedes ver los posts escritos en zonas a las que tienes acceso en este momento.

Temas - Gray

Páginas: [1]
1
Teoría de la Medida - Fractales / Dos integrales
« en: 13 Septiembre, 2020, 10:10 pm »
\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\int_{0}^{\infty}}\frac{nsin\frac{x}{n}}{x(1+x^2)}dx \)

\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\int_{\mathbb{R^2}}}\frac{arctan(n\left\|{x}\right\|)}{(1+\left\|{x}\right\|^2)^2}dx \)

Hola buenas, estoy empezando en la teoría de la medida y me he encontrado con estas dos integrales, que no tengo idea, ¿alguien me podría ayudar? Muchas gracias.

2
Topología (general) / Problema de pendiente hawaiano
« en: 13 Septiembre, 2020, 09:19 pm »
Hola, he continuado y me he encontrado con este problema, me podría dar algunas pautas o indicaciones para este problema? muchas gracias

Sea \( X \) el subespacio de \( (R^2,τ_u) \) formado por la unión de las circunferencias de centro \( (\frac{1}{n}) \), para cada \( n\in{\mathbb{N}} \)

\( X \)=\( \cup_{n=1}^∞\left\{{(x,y):(x-\frac{1}{n})^2+y^2= (\frac{1}{n})^2}\right\} \)

a) Probar que \( X \) es compacto y conexo

b) Demostrar que \( X \) no puede ser homeomorfo a ningún subespacio de \( (R,τ_u) \)

c) Probar que \( X-\left\{{(0,0)}\right\} \) no es compacto ni conexo

d)Explicar cómo definir un homeomorfismo entre \( X-\left\{{(0,0)}\right\} \) y el subespacio A de  \( (R,τ_u) \) formado por la unión de los intervalos \( (2n,2n+1) n=0,1,.... \), es decir,

\( A \)=\( \cup_{n=1}^∞(2n,2n+1) \)

3
Topología (general) / Uso del Teorema de Sierpinski
« en: 11 Septiembre, 2020, 11:03 pm »
Hola, me he encontrado con este problema, pero no tengo ni idea de cómo se demuestra, ¿alguna idea?

Teorema de Sierpinski
Todo espacio métrico numerable sin puntos aislados es homeomorfo a \( \mathbb{Q}  \)

a) Todo subespacio denso y numerable de \( (\mathbb{R}, τ_u) \) es homeomorfo a \( \mathbb{Q}  \)

b) Dotados de la topología usual, probar que son homeomorfos \( \mathbb{Q}  \) y \( \mathbb{Q^2}  \)

4
Topología (general) / problema de topología
« en: 11 Septiembre, 2020, 06:11 pm »
Hola buenas, soy nuevo en este rama y pues no tengo mucha idea de cómo se podría hacer este ejercicio.
¿Alguien podría echar una mano? ¡Muchas gracias!

Para \( (a,b)\in{\mathbb{R^2}} \) y \( r>0 \), se define el conjunto \( G_{a,b,r} \) como

\( G_{a,b,r} \) =\( \left\{{{(a,b)}\cup{((a-r,a+r)\mathbb{x}(b-r,b+r)\cap{\mathbb{Q x Q}})}}\right\} \)

Se considera en \( \mathbb{R^2} \) la familia \( B=\left\{{G_{a,b,r}:(a,b)\in{\mathbb{R^2}}, r>0}\right\} \)

a) Probar que \( B \) genera una topología \( τ_B \) en \( \mathbb{R^2} \), más fina que la topología usual

b) Calcular la clausura de cada conjunto \( G_{a,b,r} \)

c) Determinar la topología inducida sobre los conjuntos:
   \( A=\left\{{(x,y): x=\sqrt{2}}\right\} \)    \( B= \left\{{(x,y): x=2}\right\} \)

d) ¿Es \( τ_B \) una topología producto?

e) Estudiar los axiomas de numerabilidad de este espacio topológico

5
Geometría Diferencial - Variedades / Grupo de Lie
« en: 18 Junio, 2020, 01:12 am »
Sea \( G=\left\{\begin{bmatrix}{1}&{0}&{0}\\{0}&{Y}&{0}\\{0}&{xy}&{y^2}\end{bmatrix} x,y\in{\mathbb{R}},y>0\right\} \)

Consideramos el abierto del plano euclideo \( R^2_+ = {(x, y)/y > 0} \) y la aplicación \( ϕ : R^2_+\longrightarrow{G} \) definida por \( ϕ(x, y) = \begin{bmatrix}{1}&{0}&{0}\\{0}&{Y}&{0}\\{0}&{xy}&{y^2}\end{bmatrix} \)

1. Demostrar que el par \( (R^2_+, ϕ) \) dota a \( G \) de una estructura de variedad \( C^∞ \), de dimensión 2, en el sentido de que \( (R^2_+, ϕ) \) es una parametrización global.

2. Demostrar que el grupo \( G \), con la estructura anteriormente definida, es un Grupo de Lie.

¿Podrían darme alguna pista? ¡Muchas gracias!

6
Buenas, tengo una demostración teórica de Geometría riemanniana que no sé por donde pillarla, si alguien podría echarme una mano, le agradecería muchísimo.

Consideremos el plano de Lobatchevski definido como

\( \mathbb{R^2_+} = \left\{{(x,y)\in{\mathbb{R^2}};y>0}\right\} \)
con la métrica dada por \( g_{11} = g_{22} = \frac{1}{y^2}, g_{12} = 0 \)

Demostrar que es Geodésicamente completo y calcular la curvatura en cada uno de sus puntos.

Muchas gracias de antemano!

7
Geometría Diferencial - Variedades / Cúpula geodésica
« en: 07 Mayo, 2020, 08:58 pm »
Ya está resuelta la duda. Muchas gracias!

\( a) \) Sea \( M \) una variedad riemanniana. Sea \( X\in{X(M)} \) (el conjunto de todos los vectores campo de clase infinito en \( M \)) y \( f\in{D(M)} \)(el anillo de las funciones de valores reales de clase infinito). Definimos la divergencia de \( X \) como una función \( divX : M\longrightarrow{\mathbb{R}} \) dada por \(  divX(p) = \) trazo del mapeo lineal \( Y(p)\longrightarrow{∇_YX(p)}, p\in{M} \) y el gradiente de \( f \) como el vector campo \( gradf \) en \( M \) definida por :

\( \left<{gradf(p),v}\right> = df_p(v), p\in{M}, v\in{T_pM} \)

Sea \( E_i, i =1,...., n = dim M \), una cúpula geodésica en \( p\in{M} \). Mostrar que
\( gradf(p) = \displaystyle\sum_{i=1}^n{(E_i(f))E_i(p)} \),
\( divX(p) =\displaystyle\sum_{i=1}^n{E_i(f_i)(p)} \) donde \( X = \displaystyle\sum_{i=1}{f_iE_i}
 \)

8
¿Alguien me puede ayudar con este problema?

Let be f  holomorphic and  bijective  between \( D(0,1) \) and

\( Q = {z = x + iy: \left |{x}\right |< 1, \left |{y}\right |<1} \) and \( f(0) = 0 \)

a) show that \( f(iz)= if(z) \forall{z}\in{D(0,1)} \)

B) show that  \( f^n(0) = 0 \) if \( n-1 \) is not \( 0 \) or multiple of\(  4 \)

(hint: prove that \( g(z) = \displaystyle\frac{f(iz)}{i} \) is the same than \( f \))


9
Variable compleja y Análisis de Fourier / Análisis complejo
« en: 05 Mayo, 2020, 09:15 am »
¿Alguien puede darme ejemplos de estos casos? muchas gracias!

Sean \( U \) un abierto de \( \mathbb{C} \) que contenga a \( \overline{D(0,1)} \)

a) dar un ejemplo de una función holomorfa en \( U \) que tenga módulo constante en la frontera de \( D(0,1) \) pero no es constante en \( D(0,1) \)

b) Justifica que no existen funciones holomorfas en \( U \) que sean constantes en el borde de \( D(0,1) \) pero que no sean constantes en \( D(0,1) \)

C) Mostrar si una función holomorfa en  \( U \) tiene módulo constante en la frontera de \( D(0,1) \) y no es constante, tiene que tener un cero en \( D(0,1) \)

Para el \( a \), tengo la función \( z \)

alguien me puede echar una mano con el b y el c?

10
Análisis Funcional - Operadores / Espacio de Hilbert
« en: 03 Mayo, 2020, 11:43 pm »
Buenas, tengo una duda en este ejercicio si alguien me puede echar una mano.

Sean \( H_1 \) y \( H_2 \) espacios de Hilbert, sea \( x\in{H_1} \), \( x\neq{0} \) y sea \( y\in{H_2} \)

a) Mostrar un funcional lineal y acotado \( f\in{H_1} \) tal que  \( \left\|{f}\right\| = 1 \) y \( f(x)= \left\|{x}\right\| \)

b) Construir un operador \( T \in{L(H_1,H_2)} \) tal que \( Tx = y \)

Para el a), consideramos el funcional \( f(y) =\displaystyle\frac{1}{ \left\|{x}\right\|}\left<{y,x}\right> \) que es lineal por ser producto interior y tomando \( y \) tales que \(  \left\|{y}\right\| = 1 \), tenemos:

\( \left |{f(y)}\right | = \left |{\displaystyle\frac{1}{ \left\|{x}\right\|}\left<{y,x}\right>}\right |\leq{\displaystyle\frac{1}{ \left\|{x}\right\|}} \left\|{y}\right\| \left\|{x}\right\| = \left\|{y}\right\| = 1 \)

Luego es acotado.

\( 1 = \left |{\left<{\displaystyle\frac{x}{ \left\|{x}\right\|},\displaystyle\frac{x}{ \left\|{x}\right\|}}\right> }\right |=\left |{f(\displaystyle\frac{x}{ \left\|{x}\right\|})}\right | \leq{ \left\|{f}\right\| \left\|{\displaystyle\frac{x}{ \left\|{x}\right\|}}\right\|} =  \left\|{f}\right\| \)


Ahora \( f(x) = \displaystyle\frac{1}{ \left\|{x}\right\|}\left<{x,x}\right> = \displaystyle\frac{ \left\|{x^2}\right\|}{ \left\|{x}\right\|} =  \left\|{x}\right\| \)



11
Geometría Diferencial - Variedades / Geodésica en Lobachevski
« en: 01 Mayo, 2020, 11:05 pm »
Buenas, tengo una duda en un problema y agradecería mucho si alguien me podría echar una mano. ¡Muchas gracias de antemano!

Dado \( a\in{\mathbb{R}} \) cualquiera y \( r\in{\mathbb{R^+}} \). Consideramos la curva \( γ(t) \) en el plano de Lobatchevski cuyo dominio es el intervalo abierto \( (0,π) \) dada por  \( γ(t)= (a +rcost,  rsent) \).
Reparametrizar \( γ(t) \) por longitud de arco medida desde \( t=\displaystyle\frac{π}{2} \) y ver si la correspondiente reparametrización es o no una geodésica en el plano de Lovatchevski.

La duda es, tras hacer un cambio de variable de la métrica de Lobachevski a polares (con notación \( (r,t) \)) y tomamos ahora la curva  \( γ(t)= (r, t) \). Tras reparametrizar, la curva quedaría:

\( γ(s)= (r, 2arctg(e^s)) \)

Calculamos los símbolos de Christoffel (que salen expresiones sencillas), lo ponemos en las ecuaciones de la geodésica:

\( \frac{d^2x^k}{d^2t} +\displaystyle\sum_{i,j}{Γ^k_{ij}}\frac{dx^i}{dt}\frac{dx^j}{dt} = 0 \)

Pero me sale que no cumplen las ecuaciones de la geodésica, concretamente en la variable t:

Pues sale que \( \displaystyle\frac{2e^s(e^{2s}-1)}{(e^{2s}+1)^2} -cotg(2arctg(e^s))(\displaystyle\frac{2e^s}{e^{2s}+1})^2 = 0 \)

Pues no parece ser que se anula. Y pues tengo mis dudas de que está bien o no.

Si alguien me puede echar una mano a ver.

¡Muchas gracias!

12
Geometría Diferencial - Variedades / Ejercicios sobre geodésicas
« en: 25 Abril, 2020, 01:06 pm »
¿Buenas, alguien me podría echar una mano con este ejercicio?

¡Muchas gracias!

\( I) \) Sea \( U \) un abierto cualquiera del plano con la estructura riemanniana  heredada del plano euclídeo. Demostrar que cualquier segmento de recta contenido en \( U \) y parametrizado proporcionalmente a la longitud de arco es una geodésica.

\( II) \) Consideremos ahora el plano hiperbólico, como aparece en el ejercicio 8 de Do Carmo página 58:

\( \mathbb{R^2_+} \) con la métrica dada por \( g_{11}=g_{22} \)=\( 1/y^2 \), \( g_{12}=0 \) métrica en la geometría no euclideana de Lobatchevski.

Consideremos ahora las siguientes curvas:

\( h(t)=(t,a) \) variando \( t \) en los reales y \( a \) un número positivo fijo

\( v(t)=(b,1+t) \) variando \( t \) en los números reales que son estrictamente mayores que \( -1 \) y \( b \) un número real fijo.

Reparametrizar las curvas \( h \) y \( v \) por la longitud de arco ( en el plano hipérbólico) y determinar cuales de estas reparametrizaciones son geodésicas en la geometría de  Lobatchevski.

¡De nuevo muchas gracias!

13
Análisis Funcional - Operadores / Problema de espacios de Banach
« en: 08 Abril, 2020, 11:24 pm »
Hola, ¿me pueden ayudar con este problema de espacios de Banach? ¡Muchas gracias!


Sea \( (E,  \left\|{}\right\|) \) un espacio de Banach. Demostrar que si \( (x_n) \) converge débilmente a \( x \) en \( E \), entonces la sucesión \( ( \left\|{x_n}\right\|) \) es acotada.

Definición de convergencia débil:

Sea \( (E,  \left\|{}\right\|) \) un espacio normado, sea \( (x_n) \subset{E} \) y sea \( x\in{E} \). La sucesión \( (x_n) \) se dice débilmente convergente a \( x \) en \( E \) si para cada \( f\in{E`} \)se tiene que \( f(x_n)\longrightarrow{f(x)} \) en \( \mathbb{K} \)
 

14
Buenas, ¿alguien me podría echar una mano con este ejercicio de geometría riemanniana?
Adjunto una foto con la pregunta original en inglés por si no se entiende.
¡Muchas gracias!


Denotamos con \( (u,v) \) las coordenadas cartesianas de \( R^2 \). Muestra que la función \( φ:U\subset{R^2}\longrightarrow{R^3} \) dada por \( φ(u,v) = (f(v)cos(u),f(v)sen(u), g(v)) \) con

\( U=\left\{{(u,v)\in{R^2}:u_0 < u < u_1; v_0 <v < v_1}\right\} \)

donde \( f \) y \( g \) son funciones diferenciables con \( f`(v)^2 + g`(v)^2\neq{0} \) y \( f(v)\neq{0} \) es una inmesión (\( φ \)).

La imagen \( φ(U) \) es el superficie generado por la rotación de la curva \( (f(v), g(v)) \) sobre el eje z y se llama superficie de revolución \( S \). La imagen por \( φ \) de la curva \( u = constante \) y \( v = constante \) se llaman respectivamente, meridianos y paralelos de \( S \).


\( a) \) muestra que la métrica inducida en las coordenadas \( (u,v) \) está dada por
\( g11 = f^2 \), \( g12 = 0 \), \( g22 =f`^2 + g`^2 \).


\( b) \) Muestra que la ecuación local de una geodésica \( ɣ \) es:

\( \frac{d^2u}{dt^2} + \frac{2f\cdot{f´}}{f^2}\frac{du}{dt}\frac{dv}{dt} = 0 \)

\( \frac{d^2v}{dt^2} - \frac{f\cdot{f´}}{(f´)^2 + (g´)^2}(\displaystyle\frac{du}{dt})^2 + \frac{f´\cdot{f´´} + g´\cdot{g´´}}{(f´)^2 + (g´)^2}(\displaystyle\frac{dv}{dt})^2 = 0 \)


\( c) \) Obtenga el significado geométrico de las ecuaciones anteriores: la segunda ecuación es, excepto para meridianos y paralelos, equivalente al hecho de que la "energía" \( (\left |{ɣ´(t)}\right |)^2 \) de una geodésica es constante a lo largo de \( ɣ \); la primera ecuación significa que si \( β(t) \) es el ángulo orientado, \( β(t)<π \), de \( ɣ \) con un paralelo intersecando \( ɣ \) en \( ɣ(t) \), entonces:

\( r\cdot{cosβ} = constante \)

donde \( r \) es el radio del paralelo \( P \) (La ecuación anterior se llama Relación de Clairaut).


\( d) \) Usa la Relación de Clairaut para mostrar que una geodésica del paraboloide:
\( (f(v) = v, g(v) = v^2, 0 < v < ∞, -ε < u < 2π + ε) \)
no es un meridiano e interseca con él mismo un número infinito de veces.

Muchísimas gracias de nuevo.

15
Si alguien me pudiera echar una ayuda aquí, le agradecería un montón. Adjunto una foto del problema original, que está en inglés por si no se entiende bien algo. ¡Muchas gracias!

Consideramos el semiplano superior \( \mathbb{R^2_+} \) con la métrica dada por \( g11=g22 \)=\( 1/y^2 \), g12=0 métrica en la geometría no euclideana de Lobatchevski.

a)Mostrar que los símbolos de Christoffel de las conexiones rimannianas  son
\( Γ^111 \)= \( Γ^212 \) = \( Γ^122 \) = 0
\( Γ^211 \) = 1/y  \( Γ^112 \) = \( Γ^222 \) =\( -1/y \)

b)Sea \( ν_0 \) = \( (0,1) \) un vector en el punto de \( \mathbb{R^2_+} \) (\( ν_0 \) es un vector unitario en el eje y con origen en \( (0,1) \)).
Sea \( v(t) \) el transporte paralelo de \( ν_0 \) a lo largo de la curva \( x = t, y = 1 \).
Mostrar que \( v(t) \) forma un ángulo \( t \) con la dirección del eje \( y \), medido en el sentido de las agujas de reloj.

Pista: el campo \( v(t) = (a(t), b(t)) \) satisface el sistema que define un campo paralelo y el cual, en este caso, se simplifica en

\( \frac{da}{dt} \) + \( Γ^112 \)x\( b \) = 0
\( \frac{db}{dt} \) + \( Γ^211 \)x\( a \) = 0

cogiendo a = \( cosθ(t) \), b = \( senθ(t) \) y notando que a lo largo de la curva dada tenemos \( y = 1 \), obtenemos de la ecuación de arriba que \( \frac{dθ}{dt} \) = -1.

v(0) = \( ν_0 \) implica que\( θ(t) \) = \( π/2 - t \)

16
Análisis Funcional - Operadores / Problema de espacio normado.
« en: 20 Marzo, 2020, 01:00 pm »
Buenas, tengo problemas con este ejercicio si alguien me puede echar una mano, muchas gracias!

Sea (E, \( \left\|{.}\right\| \)) un espacio normado, sea \( (x_n)\subset{E} \) y sea \( x\in{E} \). La sucesión \( (x_n) \) se dice débilmente convergente a \( x \) en \( E \) si para cada \( f\in{E´} \) se tiene que \( f(x_n)\longrightarrow{f(x)} \) en \( \mathbb{K} \).

a) Probar que si \( (x_n) \) converge débilmente a \( x \) y también lo hace a \( y \), entonces \( x = y \).

b) Probar que si \( x_n\longrightarrow{x} \) en \( E \) entonces \( (x_n) \) converge débilmente a \( x \) en \( E \).

c) Sea \( M=<x_n:n\in{\mathbb{N}}> \) el subespacio vectorial generado por la sucesión \( (x_n) \). Probar que si \( (x_n) \) converge débilmente a \( x \) en \( E \), entonces \( x\in{\bar{M}} \).

¡Muchas gracias de antemano!

17
Geometría y Topología / Duda sobre topología cociente
« en: 07 Marzo, 2020, 09:17 pm »
Buenas, tengo dudas sobre la demostración de una propiedad topológica, a ver si alguien me podría echar una mano:

Toda aplicación sobreyectiva, continua y abierta  (o cerrada) entre espacios topológicos es una aplicación cociente.

¡Muchas gracias de antemano!

18
Me he quedado un poco atascado en este problema y no sé como hacerlo. ¿alguna ayuda? ¡¡Muchas gracias!!

Sea C una cónica no degenerada y sean \( A,B,C,D \) cuatro puntos distintos de \( Z(C) \). Sea \( P\in Z(C) \) otro punto distinto. Demostrar que la razón doble de las rectas \( PA,PB,PC,PD \) no depende de \( P \).

19
Hola gente! estoy atascado en este problema y necesito ayuda... Muchas gracias!

Sean \( P \) y \( Q \) dos puntos distintos de \( P^1_k \) y sea \( f:P^1_k\rightarrow P^1_k \) una proyectividad.
Demostrar que si \( f(P)=Q \) y \( f(Q)=P \), entonces \( f \) es una proyectividad involutiva (es decir, \( f^2 = id \)).

20
Álgebra / Composición de simetrías
« en: 01 Noviembre, 2016, 08:12 pm »
Hola a todos, estaba haciendo un ejercicio y me he atascado en el último apartado, que me salen unas cuentas excesivamente largas, si alguien me pudiera ayudar...

Clasificar y determinar los elementos geométricos de la composición de ambas isometrias tanto en un orden como en el contrario.

x'         1/2          -(3^1/2)/2    x              -2
     =                                             +               isometría g
y'         3^1/2/2    1/2              y              1



x'         (2^1/2)/2      (2^1/2)/2     x          0
     =                                               +              isometría f
y'         (2^1/2)/2      -(2^1/2)/2    y          1

A mi me sale que f compuesto de g también es una isometría deslizante pero los elementos geométricos pues salen muy largos y no estoy seguro.
¡Muchas gracias de antemano!

Páginas: [1]