Hola a todos, quisiera por favor me den una idea para el siguiente ejercicio. Gracias.

Dada la transformación lineal \( T:{ \mathbb R }^{ 3 }\longrightarrow { \mathbb R }^{ 3 } \) definida por \( T\left( \left( \begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \right)  \right) =\left( \begin{matrix} x-y \\ x \\ z \end{matrix} \right)  \) calcular si es posible la imagen del plano que pasa por el origen y tiene vectores directores \( \left( \begin{matrix} 2 \\ 0 \\ -1 \end{matrix} \right)  \), \( \left( \begin{matrix} 0 \\ -1 \\ -3 \end{matrix} \right)  \).

Hola a todos, les pido una ayuda con el siguiente ejercicio. Gracias.

Dada una matriz \( A \) de orden \( n \times{} n \),
demuestre que si existe una matriz \( B \)  tal que \( AB=I \), entonces existe una matriz \( C \) tal que \( CA=I \). (\( I \) es la identidad)

Hola a todos, quisiera me colaboren acerca del valor de verdad de las siguientes afirmaciones:

- Si un sistema de ecuaciones lineales homogéneo tiene única solución, entonces cualquier otro sistema de ecuaciones que tiene la misma matriz de coeficientes del anterior sistema homogéneo también tiene única solución.

 Lo había considerado falso, pero no estoy seguro, he considerado el caso en que

\( \begin{pmatrix} 1 & 2 & \vdots  & 0 \\ 0 & -3 & \vdots  & 0 \\ 0 & 0 & \vdots  & 0 \end{pmatrix}\quad \quad \quad \begin{pmatrix} 1 & 2 & \vdots  & 0 \\ 0 & -3 & \vdots  & 0 \\ 0 & 0 & \vdots  & 5 \end{pmatrix} \)


-  Si un sistema de ecuaciones lineales homogéneo tiene infinitas soluciones, entonces cualquier otro sistema de ecuaciones que tiene la misma matriz de coeficientes del anterior sistema homogéneo también tiene infinitas soluciones.

Lo considere falso, pero no estoy seguro. Al considerar por ejemplo

\( \begin{pmatrix} 4 & -5 & 6 & \vdots  & 0 \\ 0 & 3 & 7 & \vdots  & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \vdots  & 0 \end{pmatrix}\quad \quad \quad \quad \begin{pmatrix} 4 & -5 & 6 & \vdots  & 0 \\ 0 & 3 & 7 & \vdots  & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \vdots  & 1 \end{pmatrix} \)

Gracias por sus aportes.

Hola a todos,  para solicitarles ideas sobre el proceso analítico que se debe realizar en el siguiente ejercicio, gracias. Demostrar que el conjunto de todos los triángulos equiláteros abiertos en \( \mathbb R^2  \) con base paralela al eje \(  x \) es una base de la topología euclidiana sobre \( \mathbb R^2 \).


Se, que la idea es tomar un conjunto abierto \( A \) en \( \mathbb R^2 \), el cual por ser abierto entonces contiene una bola abierta \( B \), ahora bien se toma un punto en \( B \) y entonces debo construir un triángulo equilátero completamente contenido en \( B \), con lo cual se probaría que los triángulos de esta forma son una base para  \( \mathbb R^2 \), en esta ultima parte no se como proceder  mediante un proceso analítico. 

Hola a todos. Les pido el favor me den ideas para realizar los siguientes dos ejercicios. Gracias.

1) Si \( G \) es un grupo que contiene un subgrupo no trivial \( H \) de indice \(  3 \), demostrar que G no es un grupo simple.

2) Sea \( \mathbb Z\left[ a \right] =\left\{ \sum _{ i=0 }^{ n }{ { k }_{ i }{ a }^{ i }: } { k }_{ i }\in \mathbb Z,\quad n\ge 1 \right\} \). Demostrar que es un subanillo de un anillo \( R \) y coincide con la intersección de todos los subanillos que contienen a \( a \).

Gracias amigo Fernando. Puedes por favor darme una idea sobre lo siguiente. Sea \( \mathbb { Q }^{ \ast  } \)  el grupo multiplicativo \( \mathbb Q-\left\{ 0 \right\}  \) y \( \mathbb { Q }_{ + }^{ \ast  }\subseteq \mathbb{ Q }^{ + } \), probar que \( \mathbb{ Q }^{ \ast  }\cong \mathbb { Q }_{ + }^{ \ast  }\times \left\{ -1,1 \right\}  \). Gracias.

Hola a todos, quería solicitarles su ayuda para resolver el siguiente ejercicio. Gracias.

Suponga que \( h \) es una función continua e integrable en \( \mathbb R \) tal que \( h\left( 0 \right) =0 \) y \( \int _{ 0 }^{ 1 }{ h\left( t \right) dt=0 }  \). Sea \( g \) una función con derivadas parciales continuas tal que \( g\left( \left( 0,1 \right)  \right)  \) y \( { \partial  }_{ x }g\left( \left( 0,1 \right)  \right) =1 \). Si \( F \left( x,y \right) ={ e  }^{ \int _{ x }^{ y }{ h\left( t \right) dt }  }-g\left( x,y \right)  \), demostrar que existe una función diferenciable \( \varphi  \) definida en un abierto alrededor de \( U\left( 1 \right)  \) en un abierto alrededor de \( V\left( 0 \right)  \) tal que \( F\left( \varphi \left( y \right) ,y \right) =0 \), \( y\in U\left( 1 \right) \) .  Calcular \( { \varphi \prime \left( 1 \right)  } \).

Hola a todos, quisiera me colaboren con ideas para realizar el siguiente ejercicio. Gracias.

Dada la función \( f\left( x \right) =\begin{cases} x-n,\quad donde\quad n\quad es\quad el\quad entero\quad mas\quad cercano\quad a\quad x \\ 0,\quad x=\pm \frac { 1 }{ 2 } ,\pm \frac { 3 }{ 2 } \pm ,\dots  \end{cases} \), con \( { f }_{ n }\left( x \right) =f\left( nx \right)  \) y \( g\left( x \right) =\sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ \frac { { f }_{ n }\left( x \right)  }{ { n }^{ 2 } }  }  \). Demostrar:

a) La función \( g(x) \) es discontinua en los puntos de la forma \( x=\frac { p }{ 2q } ,\quad p\quad impar,\quad \left( p,q \right) =1
 \).

b) El conjunto de discontinuidades es denso en \( \left( -1,1 \right)  \).

Hola a todos, quisiera que por favor me colaboren con el siguiente ejercicio:

Construir un subconjunto A de \( \mathbb{R}  \) tal que el n-ésimo derivado (conjunto de puntos de acumulación) \( A^n\neq{\phi } \)   para todo \( n\in{\mathbb{N}} \), y además satisfaga que   \( A^n\neq A^m \) con \( n\neq m \).

Gracias.

Hola amigos quisiera por favor me den una idea para demostrar lo siguiente acerca de la factorización prima de ideales:

Si \( { p }_{ 1 }=\left( 2,1+\sqrt { -5 }  \right) \quad ,{ p }_{ 2 }=\left( 2,1-\sqrt { -5 }  \right), { p }_{ 3}=\left( 3,1+\sqrt { -5 }  \right)  \), demostrar que,  \( \left( 2 \right) ={ p }_{ 1 }{ p }_{ 2 },\quad \left( 1+\sqrt { -5 }  \right) ={ p }_{ 1 }{ p }_{ 3 }
 \).

Gracias.