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1
Topología (general) / Topología de Wijsman
« en: 01 Mayo, 2021, 09:28 pm »
Hola a todos, estoy leyendo un artículo y tengo una duda sobre cierta afirmación, la cual igual alguno de ustedes sabe resolver.

En el artículo se trabaja con \( X \) un espacio polaco y se dota a \( \mathcal{F}(X) \) el conjunto de sus subconjuntos cerrados de cierta topología denominada topología de Wijsman, que se define como sigue.

Sea \( \{\alpha_j\}_{j=1}^\infty \) una sucesión densa en \( X \), \( \rho \) una métrica completa combatible con la topología de \( X \),  y definamos \( T: \mathcal{F}(X) \longrightarrow \mathbb{R}^\mathbb{N} \) tal que
\( T(F)=\left\{\rho(\alpha_j, F) \right\}_{j=1}^\infty \)
Se define entonces la topología de Wijsman sobre \( \mathcal{F}(X) \) como la topología inicial inducida por \( T \) al considerar en \(  \mathbb{R}^\mathbb{N} \) la topología producto.

Tras esta definición, se prueba que \( \mathcal{F}(X) \) con esta topología es polaco y que el conjunto
\( \left\{ (x,F) \in X \times \mathcal{F}(X): x \in F \right\} \)
es cerrado en \( X \times \mathcal{F}(X) \).

Ahora, mi duda es que a partir de lo último parece concluir que la topología de Wijsman no depende de la sucesión densa tomada al principio pero no consigo ver la razón.

Dejo por aquí una captura del párrafo donde se explica todo esto en el artículo por si fuera más explicativo que lo que yo he dicho y me estoy perdiendo algo (cuando habla de la condición (iii) se refiere precisamente a que el conjunto \( \left\{ (x,F) \in X \times \mathcal{F}(X): x \in F \right\} \) es cerrado).



¿Alguna idea?

Un saludo y muchas gracias por su tiempo.


2
Álgebra / Proposición sobre dimensión de una variedad afín
« en: 22 Abril, 2021, 03:31 pm »
Hola a todos, estoy leyendo una demostración en el libro Algebraic Geometry de Daniel Perrin, y no entiendo bien el último paso que hace.



El paso en concreto es el paso inductivo, no entiendo a que se refiere a aplicar la hipótesis de inducción sobre una componente irreducible de \( V(f_1) \) (llamémosla  \( W' \)) que contenga a \( W \), pues \( W \) no tiene porque ser una componente irreducible de este \( W' \).

¿Alguien entiende como es este paso inductivo?

Un saludo y muchas gracias por las respuestas.

3
Hola a todos, la jerarquía de Borel tal como se define por ejemplo en el libro de Carlos Ivorra (página 6), se define de forma recursiva, luego utilizando el teorema de recursión transfinita.
Llevo un tiempo dándole vueltas e intentando encajar la validez de esta definición dentro de dicho teorema pero no lo consigo.
Es decir, no consigo encontrar las funciones y los conjuntos a partir de los cuales el teorema de recursión transfinita nos devuelve cada uno de los conjuntos en la jerarquía de Borel.

¿Alguien sabe como sería esta construcción?

Un saludo y muchas gracias por las respuestas.

4
Hola, estoy leyendo un artículo en el cual se define en cierto momento de forma recursiva una familia de funciones \( \beta_k: \mathcal{B}_{(1)} \times \mathcal{B}_{(1)} \longrightarrow [0, +\infty[ \) donde \( \mathcal{B}_{(1)} \) es el conjunto de normas en \( c_{00} \) cumpliendo que \( \mu(e_k)=1 \) para cada \( k \in \mathbb{N} \), donde \( \{e_k: k \in \mathbb{N}\} \) es la base canónica de \( c_{00} \).
A este espacio se le dota de la topología inducida por la topología producto en \( \mathbb{R}^{c_{00}} \).

Ahora, la definición de la familia es como sigue, se define \( \beta_1(\mu, \lambda)=0 \) para cada \( \mu,  \lambda \in \mathcal{B}_{(1)} \) y

\( \displaystyle \beta_{k+1}(\mu, \lambda)=\sup \left\{ \left |{\mu\left( e_{k+1}+\sum_{i=1}^k a_i e_i \right) - \lambda\left( e_{k+1}+\sum_{i=1}^k a_i e_i \right)}\right | +  \sum_{i=1}^k |a_i| \beta_i (\mu, \lambda): a_1, \cdots, a_k \in \mathbb{R}, \min\left\{ \mu\left(\sum_{i=1}^k a_i e_i \right), \lambda\left( \sum_{i=1}^k a_i e_i \right) \right\} < C_{k+1}\right\} \)

siendo \( C_k >0 \) una sucesión de valores reales positivos.

Se establece entonces que los \( \beta_k \) son aplicaciones continuas, y para ello se define

\( U_\delta^{k+1}(\mu)=\left\{ \nu \in \mathcal{B}_{(1)}: \forall x \in \operatorname{span}\{e_1, \cdots, e_{k+1}\} \setminus \{0\}, (1+\delta)^{-1} \leq \dfrac{\nu(x)}{\mu(x)} \leq 1+\delta \right\} \)

y se ve que es un entorno abierto de \( \mu \).

Se procede entonces por inducción y se dice que, suponiendo que \( \beta_1, \cdots, \beta_k \) son continuas, dado \( \varepsilon >0 \), existe cierto \( \delta >0 \) tal que para cada \( (\mu', \lambda') \in U_\delta^{k+1}(\mu) \times U_\delta^{k+1}(\lambda) \) se cumple que

\( \left |{\beta_{k+1}(\mu', \lambda') - \beta_{k+1}(\mu, \lambda)}\right | < \varepsilon \)

Ahora, dejan los detalles de como obtener esta última afirmación a cargo del lector y no consigo demostrarlo.

Mi idea ha sido la siguiente:

Sean \( (\mu', \lambda') \in U_\delta^{k+1}(\mu) \times U_\delta^{k+1}(\lambda) \) para cierto \( \delta >0 \) por determinar y \( a_1, \cdots, a_k \in \mathbb{R} \) tales que

\( \min\left\{ \mu\left(\sum_{i=1}^k a_i e_i \right), \lambda\left( \sum_{i=1}^k a_i e_i \right) \right\} < C_{k+1} \)

entonces

\( \displaystyle\left |{\left |{\mu'\left( e_{k+1}+\sum_{i=1}^k a_i e_i \right) - \lambda'\left( e_{k+1}+\sum_{i=1}^k a_i e_i \right)}\right | - \left |{\mu\left( e_{k+1}+\sum_{i=1}^k a_i e_i \right) - \lambda\left( e_{k+1}+\sum_{i=1}^k a_i e_i \right)}\right | + \sum_{i=1}^k |a_i| \beta_i (\mu', \lambda') - \sum_{i=1}^k |a_i| \beta_i (\mu, \lambda)}\right | \leq \)
\( \displaystyle\leq \left |{\mu'\left( e_{k+1}+\sum_{i=1}^k a_i e_i \right) - \mu\left( e_{k+1}+\sum_{i=1}^k a_i e_i \right)}\right | + \left |{\lambda\left( e_{k+1}+\sum_{i=1}^k a_i e_i \right) - \lambda'\left( e_{k+1}+\sum_{i=1}^k a_i e_i \right)}\right | + \left |{ \sum_{i=1}^k |a_i| (\beta_i(\mu', \lambda') - \beta_i(\mu, \lambda))}\right | \leq \)
\( \displaystyle\leq \delta \left( \mu\left( e_{k+1}+\sum_{i=1}^k a_i e_i \right)  + \lambda\left( e_{k+1}+\sum_{i=1}^k a_i e_i \right)\right) + \sum_{i=1}^k |a_i| |\beta_i(\mu', \lambda') - \beta_i(\mu, \lambda)| \leq  \)
\( \displaystyle \leq \delta \left( 2 + \mu\left(\sum_{i=1}^k a_i e_i \right) + \lambda\left(\sum_{i=1}^k a_i e_i \right) \right) + \sum_{i=1}^k |a_i| |\beta_i(\mu', \lambda') - \beta_i(\mu, \lambda)| \)

Ahora, por la elección de los \( a_1, \cdots, a_k \), y teniendo en cuenta que para \( \operatorname{span}\{e_1, \cdots, e_k\} \) las normas \( \mu \) y \( \lambda \) son equivalentes, el primer sumando en la última línea de lo anterior es de la forma \( \delta C \) donde \( C>0 \) no depende de los \( a_1, \cdots, a_k \) ni de \( \mu', \lambda' \), luego podemos hacerlo tan pequeño como deseemos sin más que tomar un \( \delta \) adecuado. Para el segundo sumando, teniendo también en cuenta que el máximo de los \( |a_i| \) estará acotado por una constante que no depende de los \( a_i \) (de nuevo por equivalencia de normas en \( \operatorname{span}\{e_1, \cdots, e_k\} \), esta vez para la norma infinito), y por la hipótesis de continuidad de los \( \beta_i \), también podremos hacerlo tan pequeño como deseemos.

Me gustaría ver que

\(  \displaystyle \left |{\beta_{k+1}(\mu', \lambda') - \beta_{k+1}(\mu, \lambda)}\right | \leq\sup \left\{ \left |{\left |{\mu'\left( e_{k+1}+\sum_{i=1}^k a_i e_i \right) - \lambda'\left( e_{k+1}+\sum_{i=1}^k a_i e_i \right)}\right | - \left |{\mu\left( e_{k+1}+\sum_{i=1}^k a_i e_i \right) - \lambda\left( e_{k+1}+\sum_{i=1}^k a_i e_i \right)}\right | + \sum_{i=1}^k |a_i| \beta_i (\mu', \lambda') - \sum_{i=1}^k |a_i| \beta_i (\mu, \lambda)}\right |\right\} \)

donde el supremo se toma sobre los \( a_1, \cdots, a_k \in \mathbb{R} \) tales que \( \min\left\{ \mu\left(\sum_{i=1}^k a_i e_i \right), \lambda\left( \sum_{i=1}^k a_i e_i \right) \right\} < C_{k+1} \)

Pues, si esto es cierto, ya tendría demostrada la continuidad por lo anterior, pero no consigo ver si esto es verdad pues tengo ciertos problemas con el \( \beta_{k+1}(\mu', \lambda') \) al no poder tomar los \( a_1, \cdots, a_k \) de modo que sirvan para ambos supremos.

¿Alguna idea de como concluir esta demostración?
O bueno, si fuera incorrecto o alguien conoce otro camino para demostrarlo, también agradecería mucho los comentarios puesto que llevo atascado ya un tiempo con esto :/

Un saludo y muchas gracias por las respuestas.

5
Hola a todos, quiero saber si es cierto el siguiente resultado:

Sea \( K \) un cuerpo infinito, y \( \{(x_i, y_i)\}_{i=1}^n \) un conjunto finito de puntos en \( K^2 \), entonces existe una matriz invertible \( A \in K^{n \times n}  \) tal que el conjunto de puntos \(
\{A(x_i, y_i)^t\}_{i=1}^n  \) de \( K^2 \) es tal que la primera coordenada de todos los puntos son distintas entre sí.

Se que si \( K=\mathbb{R}  \), entonces sería cierto pues de algún modo podemos tomar una matriz de rotación para un cierto ángulo bien escogido, y al ser el conjunto finito nos daría el resultado pero, ¿cómo podría probarse para cualquier cuerpo infinito en general?

Un saludo y muchas gracias por las respuestas.

6
Hola a todos, estoy intentando ver lo siguiente.

Sean \( f, g \) dos polinomios en \( K[X,Y] \) con \( K \) un cuerpo y consideremoslos como polinomios en una variable con coeficientes en \( K[X] \), es decir, como elementos de \( K[X][Y] \), entonces la resultante de estos polinomios será un polinomio \( d \in K[X] \) y lo que quiero demostrar es que \( \operatorname{deg}(d) \leq \operatorname{deg}(f)\operatorname{deg}(g) \).

¿Alguna idea?

Un saludo y muchas gracias.

EDITADO: Había puesto "el discrimante" donde está en rojo, y me refería a la resultante de los polinomios.

7
Hola a todos, en el libro Teoría descriptiva de conjuntos de Carlos Ivorra aparece el siguiente teorema:



No entiendo del todo la demostración.
Por lo que entiendo queremos demostrar que si para cada abierto \( A \) de \( Y \) se cumple que \( f^{-1}(A) \in \Sigma_\alpha^0(X) \), entonces es cierto el siguiente resultado:

Para cada \( 1 \leq \delta \leq \alpha \), si \( A \in \Sigma_\delta^0(Y) \) entonces \( f^{-1}(A) \in \Sigma_\alpha^0(X) \).

Ahora, para ver esto se procede por inducción  transfinita sobre \( \delta \).
El caso \( \delta =1 \) es simplemente nuestra hipótesis inicial sobre los abiertos de \( Y \), luego se pasa a probar que si es cierto para \( \delta < \alpha \) entonces es cierto para \( \delta +1 \). Aquí es donde tengo la duda, pues lo que estamos suponiendo es que si \( A \in \Sigma_\delta^0(Y) \) entonces \( f^{-1}(A) \in \Sigma_\alpha^0(X) \), luego lo que he marcado en amarillo en la imagen, ¿no debería ser realmente

\( f^{-1}(A)= X \setminus f^{-1}(Y \setminus A) \in \Pi_\alpha^0(X) \)

puesto que \( Y \setminus A \in \Sigma_\delta^0(Y) \)?

Si este fuera el caso, entonces lo siguiente no es correcto pues como cada \( A_n \in \Pi_\delta^0 (Y) \), sería \( f^{-1}(A_n) \in \Pi_\alpha^0(X) \) y así, \( f^{-1}(A) \in \Sigma_{\alpha+1}^0(X) \) que no es lo que queremos demostrar.

¿Estoy entendiendo algo mal o hay realmente un error en la demostración?

Un saludo y muchas gracias por las respuestas.

8
Hola a todos, tengo algunas dudas relativas a la sección 1.5 del libro Teoría descriptiva de conjuntos, las cuales intentaré exponer a continuación de la mejor forma posible.

La primera duda es respecto a la definición 1.35, donde no entiendo a que se refiere la última parte de la definición, cuando se dice que de igual forma se define \( S(\Gamma) \) para \( \Gamma \) una clase de conjuntos definida sobre una familia de espacios topológicos.

¿Querría decir que \( A \in S(\Gamma) \) si, y solo si, existe un esquema de Suslin \( F: \omega^{<\omega} \longrightarrow \Gamma \) tal que \( S(F)=A \)?

Pero, si esto es así entonces ¿estamos entendiendo los esquemas de Suslin definidos ahora sobre clases en lugar de conjuntos?

Ahora, el resto de mis dudas son respecto al teorema 1.37.

La primera duda que me surge es si la condición de los diámetros es independiente de la métrica completa que se considere en el espacio polaco. Me explico.

Al probar que a) implica b), la condición de los diámetros se demuestra a partir de la continuidad de \( f \) y como la continuidad es una propiedad topológica, obtenemos el mismo resultado independientemente de la métrica que consideremos en \( X \). Por tanto entiendo que hemos probado que si \( A \) es analítico, entonces existe un esquema de Suslin que cumple todas las condiciones de b), donde al hacer referencia a la condición de los diámetros, se entiende que es independiente de la métrica que se considere en \( X \).

Ahora bien, al probar b) implica c), se fija previamente una métrica en \( X \) con la que se define \( F' \) el esquema de Suslin buscado. Entonces, la demostración de que \( F' \) cumple la condición de los diámetros la he desarrollado de esta forma:

Dado \( s \in \omega^n \) y dos puntos \( x, y \in F'(s) \), se tiene que \( d(x, F(x)), d(y,F(s)) < 1/n \) luego existen \( z_1, z_2 \in F(s) \) tales que \( d(x,z_1), d(y,z_2) < 1/n \) y así

\( d(x,y) \leq d(x,z_1) + d(z_1,z_2) + d(z_2, y) < \dfrac{2}{n} + d(F(s)) \)

Por tanto, dado \( x \in \mathcal{N} \), se tiene que de lo anterior

\( d\left(F' \left(x|_n \right)\right)=\operatorname{sup} \left\{d(x,y): x, y \in F' \left(x|_n \right) \right\} \leq \dfrac{2}{n} + d(F(x|_n)) \underset{n \to +\infty}{\longrightarrow} 0 \)

y efectivamente \( F' \) satisface la condición de los diámetros para la métrica \( d \).
Pero, ¿no podría haber otra métrica completa equivalente a \( d \) en \( X \) para la cual \( F' \) no satisficiera la condición de los diámetros?

En general, he visto que si las dos métricas \( d, d' \) definidas en \( X \) son Lipschitz-equivalentes  (es decir, existen \( \alpha, \beta >0 \) tales que para cada par de puntos \( x, y \in X \), \( \alpha d'(x,y) \leq d(x,y) \leq \beta d'(x,y) \)) entonces si un esquema de Suslin \( A \) satisface la condición de los diámetros para \( d \), lo satisface también para \( d' \) y viceversa. Sin embargo, no lo he podido ver en general y me queda esa duda de la dependencia con la métrica en el teorema 1.37.

Mi segunda duda es respecto a que d) implica a), pues no veo porque es consecuencia directa del teorema 1.36.

Por último, esto no es en si una duda pero si me gustaría saber si he entendido más o menos bien la definición 1.35 y el comentario después de está.
Según entiendo, dado \( X \) un espacio polaco, hemos probado que

\( \Sigma_1^1 (X) = S(\Pi_1^0(X))=S(\Sigma_1^0(X))=S(\mathcal{B}(X)) \)

pues, si \( A \subset X \) es analítico, entonces por b) y c) del teorema 1.37 se tiene que \( A \in S(\Pi_1^0(X)) \), \( A \in S(\Sigma_1^0(X)) \) y \( A \in S(\mathcal{B}(X)) \); y recíprocamente, si \( A \) estuviera en cualquiera de estos tres conjuntos, en particular será \( A=S(F) \) con \( F \) un esquema de Suslin analítico, y por d) del teorema 1.37, será \( A \) analítico.

¿Es esto correcto?

Ps. En la demostración del teorema 1.37 al probar a) implica b), en la parte de ver la condición de los diámetros, ¿no habría que tomar \( B_{\epsilon/2} (f(x)) \) para que el diámetro fuera efectivamente al final menor o igual que \( \epsilon \)? Quiero decir, si no, el diámetro de la bola \( B_{\epsilon} (f(x)) \) es \( 2 \epsilon \) y con todo tendrías que el diámetro de \( F_{x|_n} \) es \( \leq 2 \epsilon \). De cualquier forma, se que la prueba es correcta aunque obtengas un \( 2 \epsilon \) al final, solamente quiero saber si es realmente una errata o estoy confundido en algo.

Un saludo y muchas gracias por las respuestas.

9
Hola, tengo una duda relativa al capítulo 6 del libro Topología de Carlos Ivorra, concretamente de la sección 6.2

La duda me surge cuando en la página 178 se demuestra que la aplicación \( \phi: Z(A) \longrightarrow X \) es continua.
Creo que mi duda principal es sobre la notación pues no se que es exactamente \( B_{x|_n} \) y no entiendo exactamente lo que se hace después de ver que \( A(X|_n) \subset B_\epsilon (\phi(x)) \subset U \).

Nuevamente, supongo que por la misma falta de entender bien que objeto es \( B_{x|_n} \) no entiendo el final de la demostración del teorema 6.9, la parte en la que se demuestra que \( Z(A) \) es cerrado en el espacio de Baire.

Ps: Creo que hay una pequeña errata al comienzo del teorema, en el primer párrafo, donde faltaría decir que buscamos también los \( F_n \) de modo que su diámetro sea menor que \( \epsilon \).

Un saludo y gracias por las respuestas.

10
Hola a todos, estoy estudiando el capítulo 6 sobre espacios polacos del libro Topología de Carlos Ivorra y tengo un par de dudas sobre dos proposiciones en la sección 6.1

La primera es relativa al teorema 6.4 y es sobre la parte en la que se establece que

\( B=\displaystyle{\bigcup_{V \in \mathcal{F}_B'} V} \)

No se como ver esta igualdad, pues me está liando un poco la arbitrariedad en la elección de los \( V \).

La segunda duda es respecto al teorema 6.6, donde no veo del todo claro que la compactificación por un punto \( X^\infty \) tenga también una base numerable.
Mi intuición me dice que si es \( \mathcal{B} \) una base numerable de \( X \) formada por abiertos con clausura compacta, la cual existe por lo establecido anteriormente en el teorema, entonces

\( \mathcal{B}^\infty = \mathcal{B} \cup \left\{\left(X \setminus \bar U \right) \cup \{\infty\}: U \in \mathcal{B}  \right\} \)

podría ser un candidato a dicha base buscada, sin embargo no consigo ver que sea realmente una base de \( X^\infty \).
¿Es este camino correcto o existe otra forma de ver este hecho?

Un saludo y gracias por las respuestas.

11
Dado un grafo orientado con \( Q_0 \) y \( Q_1 \) sus conjuntos de vértices y aristas respectivamente y \( K \) un anillo conmutativo, se define una \( K \)-representación de \( Q \) como un par

\( V=\left[ \{V_i\}_{i \in Q_0}, \{V(\alpha)\}_{i \in Q_1} \right] \)

donde \( V_i \) es un \( K \)-módulo para cada \( i \in Q_0 \) y \( V(\alpha): V_{s(\alpha)} \longrightarrow V_{t(\alpha)} \) es un homomorfismo de \( K \)-módulos.
 
Ahora, podemos definir una categoría \( \operatorname{Rep}_K(Q) \) con las \( K \)-representaciones de \( Q \) como objetos y los morfismos \( f:V \longrightarrow W \) siendo una familia \( f=\{f_i\}_{i \in Q_0} \) tal que cada \( f_i \) es un homomorfismo de \( K \)-módulos entre \( V_i \) y \( W_i \) satisfaciendo

\( f_{t(\alpha)} \circ V(\alpha) = W(\alpha) \circ f_{s(\alpha)} \)

para cada \( \alpha \in Q_1 \).

Ahora, lo que intento probar es lo siguiente:

Citar
Dado \( f:V \longrightarrow W \) un morfismo en la categoría \( \operatorname{Rep}_K(Q) \) son equivalentes:
  • \( f \) es una sección
  • \( f_i:V_i \longrightarrow W_i \) es un monomorfismo en \( K-\operatorname{Mod} \) para cada \( i \in Q_0 \) y existe un \( K \)-submódulo \( W_i' \) de \( W_i \) tal que \( W_i= \operatorname{Im}(f_i) \oplus W_i' \) y para cada \( \alpha \in Q_1 \),  \( W(\alpha)\left(W_{s(\alpha)}'\right) \subset W_{t(\alpha)}' \)
  • Existe una \( K \)-representación \( U \) de \( Q \) y un morfismo \( g: U \longrightarrow W \) en \( \operatorname{Rep}_K(Q) \) tal que el morfismo inducido en el coproducto \( V \sqcup U \longrightarrow W \) es un isomorfismo.

He conseguido demostrar que \( 1 \) implica \( 2 \) pero estoy teniendo problemas con el resto de implicaciones.

Respecto a \( 2 \) implica \( 3 \) he definido

\( U=\left[ \{W_i'\}_{i \in Q_0}, \{U(\alpha)\}_{i \in Q_1} \right] \)

con \( U(\alpha): W_{s(\alpha)}' \longrightarrow W_{t(\alpha)}' \) tal que \( U(\alpha)(x)=W(\alpha)(x) \).
Por \( 2 \) entonces \( U \) está bien definida y es una \( K \)-representación de \( Q \).

Por otra parte, he definido \( g: U \longrightarrow W \) tal que \( g_i \) es la inclusión de \( U_i=W_i' \) en \( W_i \) para cada \( i \in Q_0 \) el cual es un morfismo en \( \operatorname{Rep}_K(Q) \).

La razón de estas definiciones es que de manera intuitiva creo que son las que pueden satisfacer \( 3 \), pero no consigo demostrarlo completamente.

Lo que he intentado es considerar \( h: V \sqcup U \longrightarrow W \) como el único morfismo en \( \operatorname{Rep}_K(Q) \) tal que

\( f=h \circ q_1 \)
\( g=h \circ q_2 \)

donde \( q_1: V  \longrightarrow V \sqcup U \) y \( q_2: U  \longrightarrow V \sqcup U \) son las inyecciones del coproducto, y lo que se pide en \( 3 \) es probar que es un isomorfismo.

Para ello he definido \( \bar h: W \longrightarrow V \sqcup U \) tal que \( \bar h_i: W_i \longrightarrow (V \sqcup U)_i \) viene dado por

\( \bar h_i (x)= \left\{ \begin{array}{lcc}
             (q_1)_i\left( f_i^{-1}(x) \right) &   \mathrm{if}  & x \in \operatorname{Im}(f_i) \\
             (q_2)_i\left( g_i^{-1}(x) \right) &   \mathrm{if}  & x \in W_i'
             \end{array}
   \right. \)

pues nuevamente creo de forma intuitiva que es la inversa de \( h \) en \( \operatorname{Rep}_K(Q) \), pero no he sido capaz de probar esto y ni si quiera de ver que \( \bar h \) realmente sea un morfismo en dicha categoría.

Si piensan que este camino es el correcto para esta implicación, ¿alguien sabe como completar la prueba? Y en caso de que lo que he descrito no sea correcto, ¿cómo podría demostrarse esta implicación?

Por último, para la implicación de \( 3 \) a \( 1 \) ni si quiera he sido capaz de hallar un candidato a inversa por la izquierda de \( f \) con lo que también cualquier ayuda será muy apreciada.

Un saludo y muchas gracias por las respuestas.

12
Hola a todos, el siguiente problema se conoce como problema de Wetzel:

Citar
Sea \( \mathcal{F}=\{f_i : \mathbb{C} \longrightarrow \mathbb{C}: i \in I\} \) una familia de funciones holomorfas indexadas por un cierto conjunto \( I \), y tales que para cada \( z \in \mathbb{C} \) el conjunto \( \{f_i(z): i \in I\} \) es numerble. ¿Es entonces \( \mathcal{F} \) numerable?

Sorprendentemente, esta proposición es equivalente a la negación de la hipótesis del continuo como demostró Paul Erdös en este artículo, y mi pregunta es concretamente sobre dicha demostración (la cual realmente estoy consultando en el libro Proofs from THE BOOK de Martin Aigner y Günter M. Ziegler.

En la segunda parte, cuando se supone que la hipótesis del continuo es cierta, se puede dotar a los complejos de un buen orden de la forma

\( \mathbb{C}=\{z_\alpha: 0 \leq \alpha < \omega_1\} \)

(donde \( z_\alpha < z_\beta \) si, y solo si, \( \alpha < \beta \)) y se busca demostrar que existe una familia de funciones enteras distintas

\( \mathcal{F}=\{f_\beta: 0 \leq \beta < \omega_1\} \)

que cumplen que para cada \( \alpha < \beta \)

\( f_\beta(z_\alpha) \in D \hspace{5mm} (1) \)

siendo \( D=\{p+qi \in \mathbb{C}: p,q \in \mathbb{Q}\} \)

Así, si existe una familia de funciones con estas condiciones, tendremos que para cada \( z_\alpha \in \mathbb{C} \) el conjunto \( \{f_\beta(z_\alpha): 0 \leq \beta < \omega_1\} \) es numerable y por tanto como el cardinal de \( \mathcal{F} \) es el del continuo, concluimos que la respuesta a la pregunta es negativa.

Ahora, para demostrar la existencia de dicha familia se emplea inducción transfinita y hasta donde yo entiendo lo que se hace es lo siguiente:

Sea \( P(\gamma) \) la propiedad que nos dice que existe una familia de funciones enteras \( \mathcal{F}_{\gamma}=\{f_\beta: 0 \leq \beta < \gamma\} \) cumpliendo (1), y se prueba que, si \( P(x) \) es cierta para cada ordinal \( x < \gamma < \omega_1 \), entonces \( P(\gamma) \) es cierta. Por tanto, por inducción transfinita tendríamos que \( P(\gamma) \) es efectivamente cierta para cada ordinal \( 0 \leq \gamma < \omega_1 \) pero lo que queremos es demostrarlo concretamente para el ordinal \( \omega_1 \) y no veo como esto lo demuestra.

Quiero decir, por ejemplo si suponemos en los números naturales una cierta propiedad \( P \) y demostramos que si de suponer que \( P(m) \) es cierto para cada \( 0 \leq m < n < 10 \)entonces se concluye que \( P(n) \) es cierto, tenemos por inducción que \( P(m) \) es cierto para cada natural entre \( 0 \) y \( 9 \), pero no por ello la propiedad es cierta para \( 10 \).

No tengo un gran conocimiento sobre números ordinales y tal vez esto me esté jugando una mala pasada, ¿alguien sabe en que estoy equivocándome con lo anterior?

Un saludo y muchas gracias por las respuestas.

13
Hola a todos, estoy intentando entender la siguiente demostración del libro de Rudin, "Real and Complex Analysis"

Spoiler
[cerrar]

Lo que no entiendo bien es lo que he marcado en amarillo.
En primer lugar, no se a que se refiere con ese cambio, ¿ese cambio es solo para probar la convergencia de las imágenes de sucesiones que convergen a puntos de la frontera del anillo o esa sustitución se debería ya mantener durante el resto de la prueba?

Ahora, en lo que demuestra a continuación no se porque se pide que \( 1< |z_n| < 1+ \varepsilon \), puesto que en lo siguiente no veo necesidad de utilizar que \( f(z_n) \in V \). ¿Por qué se hace esto?

Por otra parte, creo que si entiendo porque \( \{f(z_n)\} \) no tiene puntos de acumulación en \( A_2 \), porque de ser así, si existiera una subsucesión \( \{f(z_{n_k})\} \)  convergente a algún punto \( w \in A_2 \), entonces

\( z_{n_k}=f^{-1}(f(z_{n_k})) \longrightarrow f^{-1}(w) \in A_1 \)

pero como \( |z_{n_k}| \) converge a \( 1 \), tendríamos que \( |f^{-1}(w)|=1 \) lo que contradice que \( f^{-1}(w) \) está en \( A_1 \).

¿Es esto correcto?

Por último, tampoco entiendo exactamente porque de lo anterior se deduce que \( |f(z_n)| \) converge a \( 1 \).

Si alguien pudiera resolverme estas dudas estaría muy agradecido.

Un saludo y como siempre, muchas gracias por su tiempo.

14
Hola a todos, la verdad es que no estaba muy seguro de donde situar esta pregunta pues me ha surgido estudiando Teoría Algebraica de Números, pero también está relacionada con combinatoria y geometría, así que si consideran que está mal situada, pido disculpas.

La cuestión es la siguiente:

Sea \( L \) un retículo de \( \mathbb{R}^2 \) con base \( u, v \in \mathbb{Z}^2 \), entonces si es

\( P=\{xu+yv: 0 \leq x,y < 1\} \)

su poliedro fundamental y \( n \) el número de puntos de \( \mathbb{Z}^2 \) contenidos en \( P \), se cumple que \( \operatorname{vol}(P)=n \)

Conozco el teorema de Pick, pero aún así no veo como relacionar en este caso \( n \) con el volumen de \( P \), ¿alguna idea?

Un saludo y muchas gracias por las respuestas.

15
Hola a todos, tengo una duda que probablemente sea una tontería, pero que aún así me está dando dolores de cabeza y quizá alguno pueda resolvermela.

Se dice que una función \( f: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R} \) es diferenciable en \( x \in \mathbb{R}^n \) si existe una aplicación lineal \( df_x: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R} \) tal que

\( \displaystyle \lim_{h \to 0_3} \dfrac{f(x+h) - f(x) - df_x(h)}{\left\|{h}\right\|}=0 \)

Ahora, para cierta aplicación necesito saber que teniendo una función \( f \in \mathcal{C}^1(\mathbb{R}^n) \) para cierto punto fijo \( x \in  \mathbb{R}^n \) se cumple que

\( \displaystyle \lim_{h \to 0_3} \dfrac{f(x-h) - f(x) - df_x(h)}{\left\|{h}\right\|}=0 \)

Intuitivamente se que el límite anterior debe ser cierto dada la definición de diferencial y sin embargo, igual es una tontería, pero no consigo demostrarlo.
Seguramente sea una tontería, pero no consigo verlo con lo que si alguien con mejor vista que yo pudiera decirme como verlo, estaría muy agradecido  ;D

Un saludo y muchas gracias por las respuestas.

16
Cálculo 1 variable / Caracterización de función turbulenta
« en: 14 Diciembre, 2020, 11:17 am »
Hola a todos, tengo la siguiente definición:

Sea \( I \) un intervalo en \( \mathbb{R} \), decimos que \( f \in \mathcal{C}(I) \) es turbulenta si existen \( J, K \subset I \) intervalos cerrados tales que \( J \cap \operatorname{int}(K) = \emptyset \) y \( J \cup K \subset f(J) \cap f(K) \).

Y, estoy intentando probar la siguiente caracterización:

Si  \( I \) es un intervalo en \( \mathbb{R} \) y \( f \in \mathcal{C}(I) \), \( f \) es turbulenta si, y solo si, existen \( a,b,c \in I \) tales que \( f(a)=f(b)=a \), \( f(c)=b \) y \( a<c<b \) o \( b<c<a \).

Demostrar la implicación de derecha a izquierda es fácil pero para la de izquierda a derecha estoy teniendo problemas.

Como \( J \cup K \in f(J) \cap f(K) \) y los interiores de \( J \) y \( K \) son disjuntos, se que puedo encontrar puntos \( a \) y \( b \) satisfaciendo que \( f(a)=f(b)=a \) y \( a<b \) o \( b<a \) pero no consigo demostrar que exista un punto \( c \) entre esots dos puntos tal que \( f(c)=b \). Quiero decir, se que existe al menos un punto \( c \) con \( f(c)=b \) pero no soy capaz de ver que alguno de éstos está entre \( a \) y \( b \).

He intentado tomar \( a \) y \( b \) de modo que fueran máximo o mínimo en \( K \) o \( J \) satifaciendo las condiciones que necesitamos, pero aun así no consigo encontrar la existencia de dicho \( c \).

¿Alguna idea de como demostrar esta implicación?

Un saludo y muchas gracias por las respuestas.

17
Hola a todos, estoy intentando demostrar que si \( f \in \mathcal{C}^1(\mathbb{R}^3) \) y \( g \in \mathcal{C}(\mathbb{R}^3) \) son las condiciones iniciales para la posición y velocidad respectivamente de la ecuación de ondas, y ambas tienen soporte contenido en la bola unidad de \( \mathbb{R}^3 \), entonces para la solución de la EDP en \( \mathbb{R}^3 \) dada por

\( \displaystyle u(t,x)=\dfrac{1}{\left |{\mathbb{S}^2_t(x)}\right |} \int_{\mathbb{S}^2_t(x)} \left[f(y)+ \nabla f(y) \cdot (y-x) + tg(y) \right] \operatorname{d}\hspace{-0.5mm}\sigma_t(y) \)

(donde \( \sigma_t \) es la medida de la superficie de la esfera de radio \( t \) en \( \mathbb{R}^3 \)) se cumple que si \( t \) es suficientemente grande, entonces existe una constante positiva \( C \) tal que

\( \sup_{x \in \mathbb{R}^3} \left |{u(t,x)}\right | \leq \dfrac{C}{t} \)

La verdad, no se me ocurre ni por donde empezar a abordar el problema, y tan solo he conseguido manipular un poco la forma de la solución para quitar la dependencia de \( x \) y \( t \) en la región de integración, pero nada más allá de eso, luego cualquier ayuda será enormemente agradecida  :)

Un saludo y gracias por las respuestas.

18
Hola a todos, estoy intentando demostrar el siguiente resultado:

Sea \( K \subset \mathbb{R}^n \) un cuerpo convexo centralmente simétrico (compacto, convexo y tal que \( K=-K \)) y \( H_c=\{x \in \mathbb{R}^n: \langle x, u \rangle =c\} \) con \( u \in \mathbb{R}^n \), entonces \( \operatorname{vol}_{n-1}(K \cap H_c) \) es máximo cuando \( c=0 \).

Para intentar demostrarlo he definido \( h(c)=\operatorname{vol}_{n-1}(K \cap H_c) \) y si fuera

\( h(c_1 + c_2)=\operatorname{vol}_{n-1}((K \cap H_{c_1}) + (K \cap H_{c_2})) \hspace{3mm} (1) \)

entonces por la desigualdad de Brunn-Minkowski

\( h(c_1 + c_2)^\frac{1}{n-1} \geq \operatorname{vol}_{n-1}(K \cap H_{c_1})^\frac{1}{n-1} +  \operatorname{vol}_{n-1}(K \cap H_{c_2})^\frac{1}{n-1}=h(c_1)^\frac{1}{n-1} +  h(c_2)^\frac{1}{n-1} \)

Ahora, observemos que

\( x \in K \cap H_{-c} \Leftrightarrow{} x \in K \wedge \langle x, u \rangle = -c \Leftrightarrow{} -x \in K \wedge \langle -x, u \rangle = c \Leftrightarrow{} -x \in K \cap H_c \Leftrightarrow{} x \in -(K \cap H_c) \)

luego \( K \cap H_{-c}=-(K \cap H_c) \) y con ello,

\( h(-c)=\operatorname{vol}_{n-1}(K \cap H_{-c})=\operatorname{vol}_{n-1}(-(K \cap H_c))=\operatorname{vol}_{n-1}(K \cap H_c)=h(c) \)

Finalmente, tenemos pues que dado \( c \in \mathbb{R} \) se tiene que

\( h(0)^\frac{1}{n-1}=h(c+(-c))^\frac{1}{n-1} \geq h(c)^\frac{1}{n-1} + h(-c)^\frac{1}{n-1}=2h(c)^\frac{1}{n-1} \geq h(c)^\frac{1}{n-1} \)

luego \( h(0) \geq h(c) \) y esto prueba la proposición.

El problema es que creo que no consigo demostrar (1) y de hecho creo que es falso, pero la idea de la demostración que he tenido creo que si puede ir por buen camino, ¿alguna idea de como completarla? Y, si no creen que vaya por buen camino, ¿alguna idea de como demostrar la proposición en si?

Un saludo y muchas gracias.

19
Hola a todos, estoy intentando entender el teorema del siguiente paper en la página 240, el cual en esencia establece que la sucesión de exponenciales reiteradas, \( z_0=1 \) y \( z_{n+1}=z^{z_n} \) para \( n \geq 0 \) converge si \( z \in [e^{-e}, e^{1/e}] \) y diverge para cualquier otro \( z \) positivo.

Entiendo el caso 1, y la idea del caso 2, pero no veo como emplea el teorema de la función implícita.
Para el caso 2c, lo que entiendo es que si con el parrafo justo anterior al subcaso se refiere a que para cualquier punto \( (z,x)\not = (e^{-e}, e^{-1}) \) existe una única función x(z) definida en \( e^{-e}<z< 1+\varepsilon \) tal que \( x(1)=1 \) y \( j(z,x(z))=0 \), entonces por lo dicho anteriormente en la demostración y al ser \( h_0(1)=h_e(1)=1 \), tendríamos la igualdad entre ambas funciones justo como queremos para la convergencia. ¿Es este el razonamiento que se hace en el paper aunque no sea explicito?

Mi problema con esto es que, la versión que yo conozco del teorema de la función implicita (es tal como esta) en primer lugar, nos dice que existe una única función continua que satisfaga lo que deseamos, y no sabemos que \( h_0, h_e \) lo sean; y en segundo lugar no especifica el entorno para el que es cierto que exista dicha función satisfaciendo la ecuación implícita, simplemente dice que existe un entorno para el que esto ocurre.
¿Cómo se lidia con esto en el paper que enlazo y por qué habla sobre no anularse simultáneamente los dos coeficientes del diferencial?

Respecto del caso 2d, creo que la idea general es ver que la función implicita \( x(z) \) vista anteriormente es creciente en la recta \( L \) y con ello llega a la contradicción que se desea, pero no entiendo nada más que la idea general de esto último.

¿Podría alguien explicar detalladamente que es lo que realmente se hace en estos dos casos respecto a las dudas que tengo?

Un saludo y muchas gracias

20
Cálculo 1 variable / Sucesión cuya convergencia no es conocida
« en: 26 Junio, 2020, 11:46 am »
Hola a todos, navegando por internet me encontré con la siguiente sucesión, \( x_n=\frac{1}{n^2 \sin(n)} \) la cual no es conocido si converge o no.
El punto es que esto depende de la velocidad de convergencia por racionales de \( \pi \).
Si existen una cantidad infinita de racionales \( p/q \) tal que \( \left |{p/q - \pi}\right | \leq q^{-3-\varepsilon } \) para cualquier \( \varepsilon>0 \) entonces podemos construir una sucesión de números racionales \( p_k/q_k \) con \( q_k  \) tal que cumpla lo anterior, luego tal que
\( \left |{p_k - q_k \pi}\right | \leq q_k^{-2-\varepsilon} \)
y como \( \left |{\sin{x}}\right | \leq \left |{x}\right | \),
\( \dfrac{1}{p_k^2 \left |{\sin(p_k)}\right |}=\dfrac{1}{p_k^2 \left |{\sin(p_k-q_k \pi)}\right |} \geq \dfrac{1}{p_k^2 \left |{p_k-q_k \pi}\right |} \geq \dfrac{q_k^{2+\varepsilon}}{p_k^2}=\left(\dfrac{q_k}{p_k}\right)^2 q_k^\varepsilon \rightarrow +\infty \)

Por tanto, tenemos una subsucesión de \( x_n \) que diverge, y como podemos encontrar otra subsucesión (tomando naturales de modo que \( \left |{\sin(n) }\right |\geq 1/2 \)) tal que converge a cero, la sucesión no es convergente, ni divergente a infinito. ¿Creen que este razonamiento es correcto?

Ahora, si solamente existen una cantidad finita de racionales \( p/q \) tal que \( \left |{p/q - \pi}\right | \leq q^{-3+\varepsilon } \) para cualquier \( \varepsilon>0 \), entonces se supone que \( x_n=O(n^{-\varepsilon}) \) y por tanto, converge a cero, sin embargo, esta parte no se como demostarla.

¿Podría alguien indicarme como se puede ver esta cota por \( n^{-\varepsilon} \) de la sucesión?

Un saludo, y muchas gracias por las respuestas

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