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Temas - Carlos Ivorra

Páginas: [1] 2
1
Teoría de grafos / Sobre semántica
« en: 10 Febrero, 2021, 12:35 am »
He separado estos mensajes del hilo:

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=112294.0

porque su contenido se desvía del tema planteado, así que mejor continuar el debate de forma paralela.

ya he leido en el hilo esa  frase "todo árbol de \( h+1 \) vértices puede obtenerse añadiendo un vértice a uno de \( h \) vértices" y mas la leo menos me la creo.

quizá sea mas entendible para mí si se escribiera del siguiente modo "todo árbol de \( h+1 \) vértices puede obtenerse añadiendo un vértice a al menos uno de todos los arboles posibles que contengan \( h \) vértices"

Pero es que esas dos frases significan exactamente lo mismo. Tú quieres entender la primera como si dijera

Todo árbol de \( h+1 \) vértices puede obtenerse añadiendo un vértice a uno cualquiera de \( h \) vértices, pero "uno de \( h \) vértices" no es "uno cualquiera", sino "uno adecuado".


2
Foro general / Blancas han jugado y han ganado
« en: 14 Enero, 2021, 11:37 pm »
Éste es uno de los problemas de ajedrez  de Raymond Smullyan:

Imaginaos que os encontráis una mesa con un tablero de ajedrez en esta posición:


Han jugado blancas y han ganado, pero, ¿dónde estaba sentado el jugador blanco, en la parte de arriba o en la parte de abajo del tablero?

3
Teoría de números / El problema del ganado
« en: 10 Diciembre, 2020, 02:31 pm »
La hechicera Circe hizo esta profecía a Ulises:

Cita de: Odisea, Canto XII
Llegarás más tarde á la isla de Trinacria, donde pacen las muchas vacas y pingües ovejas del Sol. Siete son las vacadas, otras tantas las hermosas greyes de ovejas, y cada una está formada por cincuenta cabezas. Dicho ganado no se reproduce ni muere, y son sus pastoras dos deidades, dos ninfas de hermosas trenzas: Faetusa y Lampetia; las cuales concibió del Sol Hiperión la divina Neera. La veneranda madre, después que las dió a luz y las hubo criado, llevólas á la isla de Trinacria, allá muy lejos, para que guardaran las ovejas de su padre y las vacas de retorcidos cuernos. Si á éstas las dejares indemnes, ocupándote tan sólo en preparar tu regreso, aún llegaríais á Ítaca, después de pasar muchos trabajos; pero, si les causares daño, desde ahora te anuncio la perdición de la nave y la de tus amigos. Y aunque tú escapes, llegarás tarde y mal á la patria, después de perder a todos los compañeros.

Y la profecía se cumplió: A pesar de las advertencias de Ulises, sus hombres saciaron su apetito sacrificando el ganado del Sol, y por ello Zeus destrozó su barco y sólo Ulises ---que no había participado en el sacrilegio--- sobrevivió.

Los griegos identificaron con Sicilia la legendaria isla de Trinacria (la isla triangular) de la Odisea. En Sicilia estaba Siracusa, donde vivía Arquímedes. Se conserva un manuscrito con la copia de una carta que éste escribió a Eratóstenes, la cual contiene un poema en 22 dísticos elegíacos destinado a sus alumnos de Alejandría. No obstante, por su formato (el poema se dirige a un extranjero que luego partirá), sin perjuicio de que se lo enviara a Eratóstenes, parece más bien un problema con el que Arquímedes apabullaba a quienes lo visitaban (o, al menos, a los que se las daban de listos).

En internet he encontrado varias traducciones al inglés del poema (en verso y en prosa), pero, como algunos detalles me chirriaban, me había propuesto traducirlo al español —y ya puestos en verso— pero no me inspiraba confianza traducir de traducciones, pues así el texto termina pareciéndose en poco al original. Encontré el original griego, pero se daba el inconveniente de que no sé nada de gramática griega, hasta que finalmente encontré una traducción antigua al latín en una edición de las obras completas de Arquímedes a cargo de J.L. Heiberg. Lo poco que entiendo del original me hace conjeturar que es una traducción bastante fiel y, a partir de ella y cotejándola con lo que vislumbro del texto griego, he compuesto esta versión en tercetos encadenados de alejandrinos, que —dentro de las variaciones necesarias para que cuadren los versos— me parece que está bastante ajustada (y sólo he necesitado 11 versos más que Arquímedes). La publico aquí por si a alguien le interesa, y también para que esté accesible en la red.

\(
\begin{array}{rll}
\textrm{1}&\textrm{Del Sol, ¡oh, extranjero!, los inmensos ganados,}&\textrm{Multitudinem boum Solis, hospes, computato}\\
&\textrm{si de verdad eres sabio, cuenta con diligencia:}&\textrm{diligentiam adhibens, si sapientiae particeps es,}\\
&\textrm{Tantos fueron otrora, que los feraces prados}&\textrm{quanta quondam in campis}\\[0.5mm]

\textrm{4}&\textrm{cubría de Trinacria, —Sicilia— su presencia;}&\textrm{Trinacriae Siculae pascebatur}\\
&\textrm{Cuatro eran los rebaños de otros tantos colores:}&\textrm{in quattuor greges diuisa colore diuersos:}\\
&\textrm{uno blanco de leche, negro otro, de apariencia}&\textrm{unum lactis albi colore, alterum caeruleo}\\[0.5mm]

\textrm{7}&\textrm{de brillante azabache; de otro más, los mejores,}&\textrm{nitentem, tertium flauum,}\\
&\textrm{rubios, melocotones el color emulaban;}\\
&\textrm{y el cuarto parecía salpicado de flores.}&\textrm{quartum uarium.}\\[0.5mm]

\textrm{10}&\textrm{En cada gran manada los toros superaban}&\textrm{In singulis autem gregibus tauri erant}\\
&\textrm{a cuantos jamás viste; así eran de imponentes,}&\textrm{numero praeualidi, hanc rationem seruantes:}\\
&\textrm{de abundantes, los blancos, que juntos superaban}&\textrm{Finge, hospes, albos numero aequales}\\[0.5mm]

\textrm{13}&\textrm{en la mitad y un tercio de los negros lucientes}&\textrm{dimidiae et tertiae partibus taurorum caeruleorum}\\
&\textrm{a los melocotón —recuérdalo, extranjero—,}&\textrm{et simul omnibus flauis;}\\
&\textrm{y también que los negros, no menos excelentes,}&\textrm{caeruleos autem}\\[0.5mm]

\textrm{16}&\textrm{un cuarto eran y un quinto de los del postrero}&\textrm{quartae et quintae partibus uariorum}\\
&\textrm{de los divinos hatos, de salpicada tez,}\\
&\textrm{junto a todos los toros del rebaño tercero,}&\textrm{et praeterea flauis omnibus;}\\[0.5mm]

\textrm{19}&\textrm{color melocotón. Lejos de la escasez,}\\
&\textrm{de toros salpicados había, en proporción,}&\textrm{reliquos autem uarios uide}\\
&\textrm{como un sexto y un séptimo de blancos, y otra vez,}&\textrm{sextae et septimae partibus alborum et rursus}\\[0.5mm]

\textrm{22}&\textrm{cuantos machos formaban la grey melocotón.}&\textrm{omnibus flauis aequales.}\\
&\textrm{Así se repartían las vacas inmortales:}&\textrm{In uaccis autem hae erant rationes:}\\
&\textrm{Las blancas por sí solas  —y aquí pon atención—}&\textrm{albae}\\[0.5mm]

\textrm{25}&\textrm{un tercio eran y un cuarto de las reses totales}&\textrm{tertiae et quartae partibus totius gregis caerulei}\\
&\textrm{de la grey distinguida por su negro color;}&\textrm{aequales erant;}\\
&\textrm{Las negras resultaban ser en número iguales}&\textrm{caeruleae autem}\\[0.5mm]

\textrm{28}&\textrm{a un cuarto más un quinto del florido esplendor}&\textrm{quartae et quintae simul partibus}\\
&\textrm{de aquellas salpicadas con sus toros reunidas.}&\textrm{uariorum simul cum tauris aequales erant;}\\
&\textrm{Y éstas, las salpicadas —de número inferior—}&\textrm{uariae numerum habebant aequalem}\\[0.5mm]

\textrm{31}&\textrm{un quinto eran y un sexto de las reses incluidas}&\textrm{quintae et sextae partibus}\\
&\textrm{en el tercer rebaño, el de aterciopelada}&\textrm{totius flauorum gregis pascentis;}\\
&\textrm{tez de melocotón, cuyas vacas, distinguidas,}&\textrm{flauae autem aequales}\\[0.5mm]

\textrm{34}&\textrm{hasta un sexto y un séptimo de la blanca manada}&\textrm{sextae et septimae partibus gregis albi}\\
&\textrm{en número alcanzaban. ¡Oh, extranjero! si contar}&\textrm{numerabantur. Tu, uero, hospes, }\\
&\textrm{pudieras las cabezas —no en forma aproximada—}&\textrm{diligenter indicato numero}\\[0.5mm]

\textrm{37}&\textrm{del ganado del Sol, llegando a precisar}&\textrm{boum Solis,}\\
&\textrm{cuántos toros robustos, cuántas vacas tenía}&\textrm{quot tauri  robusti quotque uaccae essent}\\
&\textrm{según cada color, no te habrán de llamar}&\textrm{singulis coloribus, non imperitus}\\[0.5mm]

\textrm{40}&\textrm{lego ya en la aritmética. No obstante, aún faltaría}&\textrm{rudisque numerorum voceris, neque tamen}\\
&\textrm{para que entre los sabios te vieras numerado;}&\textrm{inter sapientes numereris.}\\
&\textrm{Pero, vamos, prosigue, pues quedan todavía}&\textrm{At dic, age, has quoque omnes boum Solis rationes:}\\[0.5mm]

\textrm{43}&\textrm{otras dos condiciones sobre el sacro ganado:}&\textrm{Sicubi tauri albi suam multitudinem}\\
&\textrm{Cuando los toros blancos a los negros se unían,}&\textrm{cum caeruleis coniungebant,}\\
&\textrm{formaban la figura de un sólido cuadrado,}&\textrm{stabant firmiter aequali}\\[0.5mm]

\textrm{46}&\textrm{y tantos toros de alto cuantos de ancho cubrían}&\textrm{in altitudinem et latitudinem mensura}\\
&\textrm{los campos de Trinacria. Sin embargo, cuando eran}&\textrm{et longi latique campi Trinacriae undique}\\
&\textrm{los de melocotón los que a un tiempo pacían}&\textrm{solido quadriangulo complebantur;}
\end{array}
 \)
\(
\begin{array}{rll}
\textrm{49}&\textrm{junto a los salpicados, buscaban que los vieran}\hspace{10mm}&\textrm{rursus autem flauii et uarii coniuncti ita stabant}\\
&\textrm{de tal forma dispuestos que, creciendo desde uno,}&\textrm{ut numerus sensim ex uno adcresceret}\\
&\textrm{un triángulo inmenso parecía que fueran.}&\textrm{figuram trilateram efficientes}^*\\
\textrm{52}&\textrm{Si tu mente asimila como fuere oportuno}&\textrm{Haec si simul inueneris et mente complexus eris,}\\
&\textrm{cuanto se ha dicho aquí, y atinas cada parte}&\textrm{hospes, omnes multitudines}\\
&\textrm{del rebaño a medir, ¡Oh, extranjero! ninguno}&\textrm{mensuras indicans}\\[0.5mm]

\textrm{55}&\textrm{tu triunfo negará, y piensa que al marcharte}&\textrm{uictoria gloriatus abito et putato,}\\
&\textrm{lo harás glorificado, contado finalmente}&\textrm{te ita demum}\\
&\textrm{entre los más expertos del aritmético arte,}&\textrm{sapientia praestantem}\\
&\textrm{por tu sabiduría, con creces excelente.}&\textrm{esse iudicatum.}
\end{array}
 \)

(*) tauris ceterorum colorum neque praesentibus neque desideratis.

4
Metamatemática - Teoría de Modelos / Consistencia e intuición
« en: 18 Julio, 2019, 01:42 pm »
He recibido este mensaje privado:

Citar
Estimado Carlos Ivorra:

He estado leyendo discusiones sobre la fundamentación de la matemática que usted tuvo hace algunos años con otros miembros del foro, y he sacado mucho provecho de ello.

Existe un punto en particular que usted sostiene pero que aún no logro entender completamente. Consiste en que si trabajamos con afirmaciones intuitivamente verdaderas no podemos llegar a ninguna contradicción, es decir, obtenemos garantía de consistencia. Me sería más fácil concluir que existe una fuerte expectativa de consistencia, pero no tengo claro cómo usted defiende más bien su garantía, por ejemplo en la siguiente cita:

"Eso no significa que la geometría de cuatro dimensiones sea más sospechosa de ser contradictoria que la de tres dimensiones, pero el hecho de que podamos dar un contenido intuitivo a las afirmaciones de la geometría tridimensional euclídea es una garantía de consistencia: si pudiéramos demostrar una contradicción a partir de afirmaciones intuitivamente verdaderas, deberíamos ser capaces de intuir una contradicción, y podemos afirmar que eso es imposible." (30/10/2011, 11:56:15 am)

En concreto, no estoy seguro de a qué se refiere con "intuir una contradicción", y por qué "podemos afirmar que eso es imposible".

Saludos

Puesto que no es nada personal, creo preferible responder en público.

Ante todo, es importante dejar claro que lo que digo a continuación es mi opinión sobre estos asuntos, y que habrá otros matemáticos que opinen de otra manera. No es lo mismo que cuando digo que "se puede demostrar tal y tal cosa", en cuyo caso contradecir lo que digo no es contradecirme a mí, sino a la comunidad matemática en general.

No me he parado a buscar el hilo donde dije yo eso, por ver el contexto, pero no es importante porque estoy totalmente de acuerdo conmigo mismo.

Ante todo, cuando hablo de "intuición" no me refiero a lo que la mayoría de los matemáticos llaman habitualmente "intuición", es decir, un razonamiento no riguroso, de naturaleza dudosa y que perfectamente puede llevarnos a conclusiones equivocadas.

Yo utilizo la palabra "intuición" en su sentido kantiano, es decir, intuición es nuestra capacidad de formarnos representaciones mentales precisas de ciertos (no todos los) objetos matemáticos, esencialmente de (algunos) números, sucesiones de números, etc. y de (algunas) figuras geométricas.

La intuición en este sentido está necesariamente en la base de todo nuestro conocimiento matemático. El formalismo radical pretende erradicar todo recurso a la intuición mediante el empleo de sistemas axiomáticos, pero eso es imposible, pues el primer sistema axiomático que construyamos no podrá tener más fundamento que nuestra intuición. Requerirá hablar de signos, de cadenas de signos, de axiomas, de demostraciones, etc., y todo ello sin más base que nuestro conocimiento intuitivo de estos conceptos.

El formalismo radical es un producto erróneo de una observación real, y es que nuestra intuición tiene un alcance limitado, y que todo intento de emplearla fuera de su alcance puede llevar a error. Pero la solución a esto no es desconfiar de todo razonamiento intuitivo, sino comprender bien cuál es el alcance de nuestra intuición (o, por lo menos, poner cotas ciertas a dicho alcance) y nunca rebasar ese alcance (o esas cotas).

Por ejemplo, la geometría euclídea intuitiva nos permite representarnos los conceptos básicos de la geometría euclídea y constatar que sus axiomas son intuitivamente verdaderos, pero entre dichos axiomas no podemos incluir el axioma de completitud (el que dice esencialmene que si partimos una recta en dos mitades tiene que haber un punto O que sea el origen de dos semirrectas). No podemos visualizar todas las posibles particiones de una recta en dos mitades y asegurar que en todas ellas "vemos" un punto que está justo en la frontera entre ambas. Esa afirmación no tiene ningún fundamento intuitivo real. En cambio, sí que es intuitivamente verdadero que por un punto exterior a una recta pasa una única paralela. Dada cualquier recta intuitiva y cualquier punto intuitivo fuera de ella, siempre podemos imaginarnos una única paralela. Es imposible imaginar una recta sin rectas paralelas únicas por puntos exteriores arbitrarios. Otra cosa es que pasemos a llamar "rectas" a otras cosas y construyamos un modelo de una geometría no euclídea. Por ejemplo, si llamamos "rectas" a las trayectorias de los rayos de luz, podría ocurrir que hubiera rectas sin paralelas, pero no serían rectas intuitivas. Si pudiéramos ver dos rayos de luz que parten formando ángulos de 90 grados respecto de una recta común y terminan juntándose, sus trayectorias las veríamos curvas y no rectas.

Excluyendo, pues, el axioma de completitud, los demás axiomas de la geometría tridimensional euclídea son verdaderos en la geometría del espacio que intuimos (que no tiene por qué coincidir con la geometría del espacio físico). Si de esos axiomas se dedujera una contradicción, tendríamos un argumento lógico que, partiendo de unos axiomas intuitivamente verdaderos, nos permitiría llegar, a través de meros pasos lógicos, a cualquier conclusión que quisiéramos, por ejemplo, a que existen dos puntos de una recta que no tienen ningún punto entre ellos.

Pero eso es intuitivamente falso. No podemos imaginarnos dos puntos de una recta sin imaginarnos también un punto entre ellos. Si la geometría euclídea fuera contradictoria tendríamos que poder imaginarnos tal cosa y, como eso no es posible, la geometría euclídea tiene que ser consistente.

En realidad habría que matizar un poco más, pero no merece la pena hacerlo, en parte porque (y aquí sí que digo algo objetivo) la consistencia de la geometría euclídea elemental puede reducirse a la consistencia de una teoría axiomática sobre la clausura euclídea de \( \mathbb Q \) (el menor cuerpo de números reales que contiene a \( \mathbb Q \) y en el que todo número tiene una raíz cuadrada) y la consistencia de esta teoría puede reducirse a la consistencia de la aritmética de Peano, con lo que al final bastaría tratar con este caso, que es conceptualmente mucho más simple.


5
Lógica / Duda sobre la modificación de valoraciones
« en: 27 Octubre, 2018, 01:18 pm »
Publico este mensaje privado que he recibido porque no tiene nada de privado:

En estos momentos me encuentro estudiando de su libro de Lógica Matemática, y tengo cierta confusión con respecto a la notación que utiliza usted en la página 20 (del último pdf de su página) para la valoración de una variable de un lenguaje formal. Entiendo que dado una variable \( x \) del lenguaje formal \( \mathcal{L} \), la valoración de un lenguaje formal consiste en asignar a dicha variable \( x \) un elemento del universo del modelo \( M \) que se representa por \( v(x) \). Hasta ahí todo va bien. Sin embargo, cuando se dice que dada la valoración \( v \) y un elemento \( a \) en el universo del modelo \( M \), se llama valoración \( v^a_x \) a la valoración dada por \( v^a_x(y)\equiv a \) si \( x\equiv y \) o \( v^a_x(y)\equiv v(y) \) en caso contrario, allí entro en confusión, pues antes se había dicho que la valoración era \( v(x) \), entonces no entiendo la introducción de la "nueva" valoración \( v^a_x \), ¿con qué fin se hace esto?

No estoy muy seguro de en qué consiste tu duda, pero me llama la atención la insistencia que pones en hablar de "la" valoración. Parece como si pensaras que sólo hay una valoración. Una valoración es un criterio para asignar a cada variable un objeto del universo del modelo, de manera que no puedes hablar de "la" valoración, sino que puedes tener "una" valoración \( v \) para la cual \( v(x)=a, v(y)=b \), otra valoración \( w \) para la cual \( w(x)=b, w(y)=c \), y así infinitas valoraciones posibles.

¿Cón qué fin se hace esto? Para definir justo a continuación el concepto de satisfacción en un modelo. En la definición 1.7 se emplean valoraciones modificadas, en los apartados g) y h).

Además, usted dice posteriormente que es claro que \( v^{ab}_{xy} \) coincide con \( v^b_y \) si \( x\equiv y \), pero para mí esto no es claro, pues me pierdo con la notación, y lo único que se ocurre para interpretar la notación \( v^{ab}_{xy} \) es que esto coincide con \( (v^a_x(y))^b_y\equiv v^b_y(a) \), es decir que en efecto \( v^{ab}_{xy} \) coincide con \( v^b_y \) si \( x\equiv y \), y con respecto a que si \( x\not\equiv y \), \( v^{ab}_{xy} \) coincide con \( v^{ba}_{yx} \), esto lo interpreto que es así en virtud de que \( (v^a_x(y))^b_y\equiv v^b_y(v(y))\equiv v^{ba}_{yx} \), pero no sé si esto es correcto y no sé si allí exista una incomprensión de la notación.

Lo que hemos hecho ha sido, para cada valoración \( v \) (y cada variable \( x \) y cada objeto \( a \) del universo del modelo), definir otra valoración \( v_x^a \). Sea cual sea la valoración \( v \), a partir de ella puedes derivar otra valoración \( v_x^a \), o también otra valoración \( v_y^b \). En particular, partiendo de la valoración \( v_x^a \) puedes obtener la valoración que resulta de modificar \( v_x^a \) haciendo que sobre \( y \) valga \( b \), y esa valoración se llama \( (v_x^a)_y^b \), o simplemente \( v_{xy}^{ab} \), pues nadie nos obliga a poner paréntesis ahí.

Siendo estrictos, no tiene sentido que escribas cosas como \( (v^a_x(y))^b_y\equiv v^b_y(a) \), porque \( {}^b_y \) tiene que afectar a una valoración, no a \( v^a_x(y) \), que es un objeto del modelo y no una valoración.

Lo que sucede es que, si \( x\equiv y \), entonces \( v_{xy}^{ab}(x)\equiv b \), directamente por la definición de \( {}^b_y \), mientras que, para otra variable \( z\not\equiv x \), se cumple que \( v_{xy}^{ab}(z)\equiv v_x^a(z)\equiv v(z) \), donde he aplicado dos veces la definición de modificación de una valoración (como la variable \( z \) no es la variable modificada, la modificación actúa igual que la valoración de partida). Por lo tanto \( v_{xy}^{ab} \) actúa exactamente igual que \( v_x^b \) (coincide con \( v \) en las variables distintas de \( x \) y asigna \( b \) a \( x \), luego se trata de la misma valoración).

6
He recibido este mensaje:

Cita de: micabua
Hola Carlos,

Te escribo porque me ha surgido una duda sobre tu artículo "La Axiomática de la Teoría de Conjuntos".

Cuando hablas de que no nos es necesario definir lo que es un conjunto. Entiendo que antes que definir cualquier sistema axiomático necesitas una lógica detrás que lo soporte. En el caso de los axiomas ZFC, hablas que de que hay una propiedad de pertenencia, pero no entiendo mucho cómo puede estar definida si no sabes lo que es un conjunto.

Un saludo y muchas gracias por tu ayuda,

Es que tampoco es necesario definir la relación de pertenencia. Los conceptos de "conjunto" y "pertenencia" son los dos conceptos primitivos de la teoría de conjuntos, es decir, los únicos conceptos que no se definen. El planteamiento de la teoría axiomática de conjuntos es:

Suponemos que existen unos objetos (que no definimos) a los que llamaremos "conjuntos", y que entre ellos hay establecida una relación (que no definimos) a la que llamaremos "pertenencia", y suponemos que cumplen los axiomas siguientes: bla, bla, bla.

A partir de ahí, un teorema de la teoría de conjuntos es una afirmación que puede deducirse lógicamente de dichos axiomas, de modo que será verdadera para cualquier familia de objetos en la que haya definida una relación que cumpla los axiomas.

7
Lógica / Comentarios a El teorema de Gödel (en Z)
« en: 23 Abril, 2018, 10:40 am »
Abro este hilo para recoger los comentarios, dudas, observaciones, etc. que pueda suscitar el hilo

El teorema de Gödel (en Z)

sin interrumpir la exposición.

8
Lógica / El teorema de Gödel (en Z)
« en: 23 Abril, 2018, 10:38 am »
Desde hace unas semanas estoy impartiendo un seminario sobre pruebas de consistencia y, aunque no estaba en lo previsto, sobre la marcha me han preguntado si podía explicar el teorema de incompletitud de Gödel. Como el teorema en sí quedaba muy alejado de los contenidos que estamos viendo, he preparado una demostración del teorema —los teoremas, mejor dicho— para el caso particular de la teoría de conjuntos, que, partiendo del material visto en el seminario, no necesitaba más que cinco páginas.

Abro este hilo para exponer aquí esa prueba (en bastante más de cinco páginas, para partir de cero) porque creo que puede ser un enfoque interesante y, si algún lector interesado va preguntando lo que no entienda, seguro que entre todos podemos pulir la exposición para que resulte lo más clara posible. Abro para eso un hilo de comentarios:

Comentarios a El teorema de Gödel (en Z)

No sé si un lector familiarizado con la prueba general considerará que el enfoque que presento aquí es más claro o más oscuro que el clásico, si muestra más claramente las ideas relevantes o si las oculta, si aporta algo o no aporta nada. Yo creo que algo tiene de esclarecedor, pero será interesante conocer otras opiniones.

La idea fundamental es que muchos tecnicismos de la prueba del teorema de incompletitud se vuelven innecesarios si renunciamos a probar el teorema en toda su generalidad y nos limitamos a aplicarlos a la teoría de conjuntos. Esto no es una gran pérdida, porque no tiene nada de extraño que haya afirmaciones que no sean demostrables ni refutables a partir de una teoría axiomática débil, como pueda ser la determinada por los axiomas de Peano sin más. Eso es comprensible sin más que tener en cuenta que los axiomas de Peano nos proporcionan una capacidad de argumentación relativamente débil, desde luego mucho más débil que la capacidad de argumentación que tiene un matemático cuando razona "libremente", sin exigirse que todo cuanto diga pueda probarse a partir de esos modestos axiomas.

Lo realmente sorprendente del hecho de que el teorema de incompletitud sea aplicable a cualquier teoría axiomática que cumpla sus débiles hipótesis no es que se aplique a las teorías más débiles, sino justo lo contrario, que también sea aplicable a las teorías axiomáticas más fuertes como son las teorías de conjuntos usuales. Lo sorprendente es que, aunque permitamos a un matemático razonar sin restricciones de ninguna clase, es decir, partiendo de los axiomas de la teoría de conjuntos, que permiten demostrar todo lo que los matemáticos admiten como demostrable, aun así existen necesariamente afirmaciones que no podrá demostrar ni refutar.

Pero sucede que para demostrar los teoremas de incompletitud para tales teorías fuertes, para teorías de conjuntos suficientemente potentes, podemos eliminar de la demostración toda referencia a funciones recursivas y a números de Gödel, lo que permite centrarse en las ideas fundamentales de la demostración con menos árboles que distraigan la atención a la hora de ver el bosque.

Más concretamente, al tratar con una teoría de conjuntos en lugar de un sistema aritmético arbitrario, los tecnicismos de la prueba original de Gödel relativos a la representación de funciones recursivas mediante fórmulas aritméticas pueden ser sustituidos por un principio general:

Si un matemático afirma que algo se cumple a ciencia cierta, es que ese "algo" se puede formalizar en la teoría de conjuntos ZFC.

Cuando el matemático sabe dar explícitamente un argumento que prueba su afirmación, y descartamos que pueda haber cometido un error, que pueda haber pasado algo por alto, si su prueba es aceptable en el sentido usual en que una prueba matemática se considera válida, entonces es seguro que dicha prueba se puede formalizar en ZFC. El proceso de formalización será más mecánico cuanto más detallada sea la prueba original, y menos mecánico cuantas más veces se diga en ella "es fácil ver que\ldots", "dejamos como ejercicio comprobar que\ldots"  Si la prueba se da con el suficiente detalle como para no apelar a la imaginación del lector a la hora de cubrir ciertos huecos, el proceso de formalización es meramente rutinario para alguien familiarizado con la lógica de ZFC.

Pese a todo, para que no se nos acuse de estar haciendo trampas y argumente que, después de todo, los tecnicismos de la prueba clásica de los teoremas de Gödel sí que son necesarios incluso en el caso de la teoría de conjuntos, trataremos de dar indicaciones a los lectores morbosos sobre cómo puede justificarse que cada hecho obvio que utilicemos es demostrable en ZFC.

Obviamente, demostrar los teoremas de incompletitud en ZFC requiere cierto conocimiento de ZFC, así que dedicaré los primeros mensajes a describir brevemente la lógica y los fundamentos de la teoría de conjuntos para después pasar a la prueba de los teoremas de incompletitud propiamente dicha.

El programa de la primera parte es el siguiente: imaginemos que queremos empezar a construir las matemáticas "desde cero" con todo rigor. El proceso para ello (según los usos modernos) es el siguiente:

  • Primero hay que definir un lenguaje en el que se puedan enunciar todas las afirmaciones matemáticas, pero que sea técnicamente lo más simple posible, para que sea fácil razonar sobre él.
  • En segundo lugar debemos precisar qué significa que una afirmación de ese lenguaje sea demostrable a partir de unos axiomas formulados también en dicho lenguaje.
  • En tercer lugar hay que seleccionar los axiomas de la teoría de conjuntos, es decir, los axiomas que permiten demostrar todo lo que los matemáticos consideran demostrable.
  • En cuarto lugar hay que mostrar que, realmente, a partir de esos axiomas se pueden demostrar todos los hechos básicos que cualquier matemático acepta sin cuestionárselos cuando tiene que argumentar algo.
  • En quinto lugar ya podemos demostrar cualquier resultado de álgebra, análisis, geometría, topología, etc.

En los próximos mensajes nos ocuparemos de los tres primeros puntos y parcialmente del cuarto. Obviamente, no vamos a entrar en el quinto y demostrar todos los teoremas del mundo.

9
Cálculo de Varias Variables / Cuadrando el círculo
« en: 22 Agosto, 2017, 10:34 pm »
He encontrado por internet esta curiosidad. La pongo aquí por si alguien quiere entretenerse un rato con ella:

Considerar la transformación

\( (u,v)=\left(x\sqrt{1-\frac{y^2}2},y\sqrt{1-\frac{x^2}2}\right) \)

definida sobre el cuadrado \( -1\leq x\leq 1,\quad -1\leq y\leq 1 \).

  • Calcular su imagen.
  • Probar que la transformación \( (x, y)\mapsto (u,v) \) es biyectiva sobre su imagen. Calcular la inversa \( (u,v)\mapsto (x,y) \).
  • Observar que ambas transformaciones son continuas.
  • Probar que, restringidas al interior del cuadrado y el interior de su imagen, ambas son infinitamente derivables.
  • Para los más "apañaos", dibujar figuras que muestren cómo actúan.

Para hacer esto no hace falta nada más que los resultados básicos del cálculo diferencial de varias variables (dos, para ser exactos) y todos los cálculos se pueden hacer cómodamente a mano.

10
Teoría de la Medida - Fractales / La curva de Knopp
« en: 03 Agosto, 2017, 05:22 pm »
Esto es una circunferencia:


O, al menos, eso dirá el topólogo que no distingue sus donuts de su taza de café. Si no tenemos tal deformación profesional, deberemos aceptar al menos que el dibujo representa una curva de Jordan, es decir, una curva en \( \mathbb R^2 \) homeomorfa a una circunferencia.

Además es una curva de Osgood, es decir, una curva (un conjunto homeomorfo a un segmento o a una circunferencia) tal que la medida de Lebesgue de su imagen en \( \mathbb R^2 \) es positiva. Concretamente, el área de la curva representada es

\( S=\dfrac{3\sqrt 3}{2\pi}\approx 0.827 \)

De entre todas las curvas de Osgood que he visto, ésta, ideada por Konrad Knopp en 1917, es la que me parece más elegante, tanto por su forma final (es homogénea, frente a otras que tienen partes de área 0 intercaladas con partes de área positiva), como por la sencillez de su construcción, como por la simplicidad de la demostración de que cumple lo que cumple... salvo por un punto de la construcción, sobre el que todas las referencias que he encontrado pasan de puntillas.

No he encontrado el artículo original de Knopp, ni tampoco me hacía mucha ilusión encontrarlo porque está en alemán, pero por lo que he leído, ni siquiera el propio Knopp dio indicaciones sobre el punto en cuestión, más allá de un caso bastante particular. En vista de que no he encontrado por ahí ninguna justificación de dicho punto (luego precisaré a qué me refiero), he pensado en publicar aquí una prueba detallada, para que si alguien busca lo mismo que yo, tenga la oportunidad de encontrar una respuesta. Por otro lado, si alguien encuentra un argumento menos técnico que el mío, será bien recibido.

He modificado esta parte del mensaje, simplificando drásticamente el cálculo de la subdivisión.

La construcción de la curva de Knopp se basa en un procedimiento de subdivisión de triángulos muy sencillo. Partimos de un triángulo arbitrario \( T=ABC \), fijamos un número real \( r>0 \) y un número natural \( j\geq 1 \) y dividimos \( T \) en dos triángulos \( T_0 \) y \( T_1 \) de la misma área eliminando una cuña con la punta en el vértice \( B \) y la base en el lado opuesto \( b \). Si requerimos además que el área de la cuña sea \( (r/j)^2S \), donde \( S \) es el área de \( T \), el proceso de subdivisión queda completamente determinado.


Concretamente, si \( h \) es la altura del triángulo, tenemos que \( S=h b/2 \), luego el área de la cuña debe ser \( (r/j)^2hb/2 \), luego su base debe medir \( (r/j)^2b \). Como \( T_0 \) y \( T_1 \) tienen la misma altura y la misma área, sus bases deben ser iguales, y esto determina completamente los puntos \( B_0 \) y \( B_1 \). Es fácil ver que son

\( B_0=\frac12\left(1+\frac{r^2}{j^2}\right)A+\frac12\left(1-\frac{r^2}{j^2}\right) C, \)

\( B_1=\frac12\left(1-\frac{r^2}{j^2}\right)A+\frac12\left(1+\frac{r^2}{j^2}\right) C. \)


En particular vemos que no dependen de \( B \).

Es importante señalar que para realizar la subdivisión no sólo tenemos que fijar un triángulo (y los valores \( r \) y \( j \)), sino que también hay que especificar el vértice en el que se pone el vértice de la cuña. Cuando hablemos de dividir un triángulo expresado en la forma \( ABC \), se entenderá siempre que el vértice de la cuña se pone en el vértice central \( B \), por lo que no es lo mismo subdividir \( ABC \) que subdividir \( BAC \).

Dado un triángulo \( ABC \), conviene llamar vértice inicial a \( A \) y vértice final a \( C \), de modo que si queremos viajar de \( A \) a \( C \) a través de un triángulo, pero nos lo dividen con una cuña, nos vemos obligados a viajar primero de \( A \) a \( B \) y luego de \( B \) a \( C \).

En otras palabras, al subdividir un triángulo \( ABC \), obtenemos un primer subtriángulo \( AB_0B \) que va de \( A \) a \( B \) y un segundo triángulo \( BB_1C \) que va de \( B \) a \( C \).

Como el número de imágenes por mensaje está limitado, continúo en el mensaje siguiente.

11
Lógica / Unicidad de las expresiones
« en: 27 Mayo, 2017, 12:36 am »
He recibido este mensaje privado, pero creo que la pregunta puede interesar a más gente:

Estimado Carlos Ivorra

Estoy leyendo su libro de Lógica y en la página 16 se da la definición de "expresión". No obstante, en principio parece que las expresiones podrían interpretarse de más de una forma. Para dar un ejemplo, considere la regla que nos dice que dadas dos fórmulas \( \alpha \) y \( \beta \), \( \rightarrow \alpha \beta \) es otra fórmula. Ahora considere la cadena signos \(  \rightarrow a_1a_2a_3  \), donde \(  a_1, a_2, a_3  \) son otras cadenas de signos. Entonces, quizás se podrían hacer dos interpretaciones: una donde \(  \alpha \equiv a_1   \) y \(  \beta \equiv a_2a_3  \) y otra donde \(  \alpha \equiv a_1a_2   \) y \(  \beta \equiv a_3  \).

Sin embargo, creo que se puede hacer una demostración por inducción sobre \(  m  \), donde \(  \theta_0,...,\theta_m  \) es la cadena de signos que da lugar a la expresión \(  \theta_m  \), de que lo que trata de ilustrar el ejemplo anterior es imposible, es decir, una expresión no puede interpretarse de varias formas.

Por lo tanto, estaba interesado en saber como abordaría usted lo anterior, pues en el libro parece que no se menciona tal punto. Por otra parte, una demostración por inducción da la sensación de que se sale de la línea que sigue el libro, pues antes de la definición de "expresión" no se hace uso del principio de inducción.

En efecto, puedes probar fácilmente por inducción sobre la longitud de \( \theta \) que si \( \zeta\equiv \theta_1\cdots \theta_n \) es una yuxtaposición de expresiones, entonces, tanto \( n \) como cada \( \theta_i \) están unívocamente determinados, es decir, que si \( \theta_1\cdots \theta_n=\theta'_1\cdots \theta'_m \), necesariamente \( n=m \) y cada \( \theta_i\equiv \theta'_i \).

Sólo hay que distinguir cuál es el primer signo de \( \zeta \).

Si es una variable \( x \), entonces necesariamente \( \theta_1\equiv x\equiv \theta'_1 \), y por la hipótesis de inducción aplicada a la cadena que resulta de suprimir \( x \), tenemos que \( n-1=m-1 \) y la igualdad de las expresiones restantes.

Igualmente se abordan los demás casos. Por ejemplo, si el primer signo es \( \rightarrow \), entonces \( \theta_1\equiv \rightarrow \alpha\beta \) y \( \theta'_1\equiv \rightarrow \alpha'\beta' \), luego

\( \theta_1\cdots\theta_n\equiv \rightarrow\alpha\beta\theta_2\cdots\theta_n \), \( \theta'_1\cdots\theta'_m\equiv \rightarrow\alpha'\beta'\theta'_2\cdots\theta'_m \), y al aplicar la hipótesis de inducción a la cadena que resulta de eliminar \( \rightarrow \) obtenemos que \( n+1=m+1 \) y que \( \alpha\equiv \alpha',\beta\equiv\beta',\theta_i\equiv \theta'_i \), para \( i>1 \), luego también \( \theta_1\equiv \theta'_1 \).

En cuanto a los reparos que le pones al uso de la inducción, no existe una "ética de las demostraciones" (a lo sumo una estética, pero no es vinculante). Cualquier argumento que asegure que algo es cierto es válido, y no hay "líneas de libros" que puedan descartarlo.

Una alternativa interesante es dar un algoritmo que transforme cada expresión en un árbol que refleje su estructura sintáctica. No es difícil diseñarlo. Por ejemplo, a partir de \( \forall x\forall y\rightarrow Rxy\lnot Safxygaxy \) se trata de construir este árbol:


12
Lógica / ¿Son los Elementos un sistema axiomático?
« en: 12 Marzo, 2017, 01:15 pm »
He recibido este mensaje privado, pero entiendo que estas cuestiones es mejor responderlas en un hilo, ya que no tienen nada de personal y pueden interesar a más gente:

Hola.

Te quería hacer una pequeña consulta.

¿Dirías que lo que diferencia a un argumento deductivo de uno inductivo es la intención de la persona que lo emite? Y que por otro lado, se acepta que la validez o invalidez de un argumento depende exclusivamente de la forma del mismo.

Los elementos de Euclides platea una teoría que es deductiva pero no se considera formal, porque incluye razonamientos que no son formales respecto de las reglas de la lógica que aceptamos. Podríamos decir que es axiomática, si con esto damos a entender que se apoya en un conjunto inicial de proposiciones que no se justifican denominadas axiomas. Entonces, aunque es deductiva y axiomática, ¿aun así no es un "sistema axiomático"? ¿Será que se reserva el término para lo que son los axiomas de los reales por ejemplo? ¿Existe una opinión estándar, o hay matemáticos que llamen sistema axiomático a Los elementos?

Saludos.

No sé en qué sentido usas la palabra "razonamiento inductivo". Según el contexto, un razonamiento inductivo puede ser subirse a la torre de Pisa, tirar varios objetos de distinto peso, constatar que tardan lo mismo en llegar al suelo y concluir que siempre que se deja caer un objeto (con rozamiento despreciable), el tiempo que tarda en caer es independiente de su peso.

Ese tipo de razonamientos inductivos es legítimo en física (mal que le pese a algunos filósofos), pero no en matemáticas (no vale decir "como \( 3, 5, 7 \) son primos, todos los impares son primos").

En matemáticas un razonamiento inductivo es un razonamiento por inducción, sea la inducción usual en los números naturales o bien otras más sofisticadas sobre ordinales o conjuntos bien ordenados, e incluso más generales aún.

Aunque me da la impresión de que aquí pretendes oponer "inductivo" a "deductivo" no sé muy bien en qué sentido. Así pues:

¿Dirías que lo que diferencia a un argumento deductivo de uno inductivo es la intención de la persona que lo emite?

Entiendo que algo puede ser un asesinato o un homicidio involuntario en función de la intención del que lo comete, pero no veo cómo algo así podría aplicarse a este contexto.

Y que por otro lado, se acepta que la validez o invalidez de un argumento depende exclusivamente de la forma del mismo.

La validez o invalidez de un argumento formal depende exclusivamente de su forma, porque eso es precisamente lo que significa "formal". En cambio si razonas intuitivamente, es decir, admitiendo afirmaciones verdaderas intuitivamente por el hecho de ser verdaderas intuitivamente, entonces la validez del argumento no sólo dependerá de su forma, sino también de si las afirmaciones que se toman por intuitivamente verdaderas lo son realmente o no.

Los elementos de Euclides platea una teoría que es deductiva pero no se considera formal, porque incluye razonamientos que no son formales respecto de las reglas de la lógica que aceptamos.

En efecto, es un ejemplo de lo que acabo de decir. Los razonamientos de Euclides no se basan exclusivamente en sus axiomas, sino que de tanto en tanto se apoya en afirmaciones intuitivamente verdaderas que no se deducen de ellos, que no se pueden justificar formalmente a partir de las reglas de la lógica (las que aceptamos, o sea, las correctas), sino que su verdad se apoya en el significado intuitivo de los conceptos que maneja.

Por ejemplo, cuando Euclides demuestra la construcción de un triángulo equilátero dice algo así como: "partimos de un segmento, trazamos la circunferencia de centro en un extremo y de radio igual al segmento, hacemos lo mismo con el otro extremo y tomamos como tercer vértice del triángulo uno de los puntos de corte entre ambas circunferencias". Pues bien, de sus axiomas no se deduce que las circunferencias tengan que cortarse. Es verdad que se cortan, pero la única forma de saberlo es hacerse una figura y ver que es imposible que no se corten. Para ello es imprescindible saber qué objetos son exactamente los que Euclides llama "puntos, segmentos, circunferencias". Si los Elementos fueran una teoría formal, cualquiera podría verificar la corrección de sus argumentos sin saber lo que es un punto, un segmento o una circunferencia. Sólo tendría que comprobar si los razonamientos son lógicamente válidos o no.

Podríamos decir que es axiomática, si con esto damos a entender que se apoya en un conjunto inicial de proposiciones que no se justifican denominadas axiomas. Entonces, aunque es deductiva y axiomática, ¿aun así no es un "sistema axiomático"? ¿Será que se reserva el término para lo que son los axiomas de los reales por ejemplo? ¿Existe una opinión estándar, o hay matemáticos que llamen sistema axiomático a Los elementos?

Eso es un problema exclusivamente lingüístico, que no tiene nada que ver con las matemáticas, ni con la lógica, ni con la filosofía.

Por ejemplo, si ves un coche sin motor (de modo que no puede usarse), ¿dirías que, aun así, es un coche? Probablemente sí. En cambio, si ves un martillo sin cabeza, ¿dirías que es un martillo o dirías que es un palo? Creo que mucha gente consideraría que llamar "martillo sin cabeza" a un palo es una arbitrariedad.

Pues aquí pasa lo mismo: Quien dice que los Elementos de Euclides son una teoría axiomática (aunque le faltan axiomas para serlo) es como quien dice que un coche sin motor es un coche, aunque para andar con él tenga que haber alguien detrás empujándolo. Quien dice que los Elementos de Euclides no son una teoría axiomática es como quien dice que un martillo sin cabeza no es un martillo, es un palo. La realidad es que para andar con la axiomática de Euclides necesitas la intución detrás para que empuje los razonamientos. ¿Cuántas piezas hay que quitarle a un coche para que ya no digas que es un coche, sino sólo un trozo de coche? Eso es subjetivo. Igualmente es subjetivo si quieres considerar a los Elementos de Euclides como una teoría axiomátia o no a pesar de que le faltan axiomas.

13
- Otros - / MOVIDO: Suma de divisores
« en: 07 Noviembre, 2016, 02:22 am »

14
Teorema de Fermat / El Último Teorema de Fermat para p = 5
« en: 09 Junio, 2016, 10:40 pm »
Este hilo está dedicada a exponer una demostración elemental (no en el sentido de "tonta", sino de no requerir más que conocimientos elementales sobre los números enteros, polinomios y números complejos) del Último Teorema de Fermat para exponente \( p=5 \).

Para facilitar la lectura he creado otro hilo de comentarios, de modo que ruego a cualquiera interesado en participar con cualquier observación, pregunta, etc. que lo haga en dicho hilo. En los primeros mensajes hay algunas indicaciones sobre las motivaciones y la finalidad de este proyecto.

El lector interesado debería comparar con la prueba de Gauss presentada en este otro hilo para el caso p = 3.


Indice del Curso (Dale click a la sección a que quieras ir)


Introducción
Números Ciclotómicos
Unicidad
Conjugaciones
La Norma
p=p
La División Euclidea
Primos Ciclotómicos
Factorización Unica
Congruencias
Unidades Ciclotómicas
¡La Demostración!
La Aritmética Ideal




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15
Este hilo está dedicado a los comentarios al hilo El Último Teorema de Fermat para p = 5.

Hace un par de semanas me escribió alguien que no participa en este foro, pero que había leído este hilo en el que expuse la prueba de Gauss del Último Teorema de Fermat para \( p=3 \). Me preguntó si me veía con fuerzas para hacer lo mismo para \( p=5 \). Estuve documentándome un poco y concluí que sí, que es posible demostrar el UTF para exponente \( 5 \) con técnicas puramente elementales en el mismo sentido que en el hilo mencionado, es decir, accesibles sin más base que las propiedades elementales de los números enteros, de los números complejos y de los polinomios.

Ya le contesté dándole referencias y algunos argumentos, pero he pensado que tal vez haya alguien en el foro interesado en conocer la prueba. Con más detalle, Kummer demostró que el UTF es válido para una familia de primos que llamó primos regulares. No se sabe si hay infinitos (se conjetura que sí), pero, por ejemplo, todos los primos menores que 100 son regulares excepto tres de ellos.

La prueba de Kummer para primos regulares arbitrarios requiere saber un tanto de teoría algebraica de números, pero el caso \( p= 5 \) se puede demostrar evitándola por completo (evitando incluso la teoría de cuerpos básica), pero al mismo tiempo la prueba de este caso particular permite formarse una idea bastante fiel de en qué consiste la prueba general de Kummer.

Como en el caso \( p=3 \), el núcleo de la prueba consiste en demostrar que los enteros ciclotómicos (ahora de orden 5 en lugar de orden 3) tienen factorización única, lo cual dista mucho de ser un hecho "elemental", pero el caso es que todos los conceptos y resultados involucrados pueden introducirse y demostrarse de forma "elemental", es decir, sin más apoyo que las matemáticas "que conoce todo el mundo".

En fin, si hay lectores de este foro interesados en que detalle el argumento (y dispuestos a seguir el hilo llenando los detalles, como hicimos en el caso \( p=3 \)) lo expondré con mucho gusto, pero si no interesa, preferiría que nadie dijera lo contrario por compromiso, porque entiendo que el esfuerzo merece la pena si y sólo si alguien está interesado en aprovecharlo (y dispone de un poco de tiempo para ello, cosa que no siempre es fácil).




Indice del Curso (Dale click a la sección a que quieras ir)

Introducción
Números Ciclotómicos
Unicidad
Conjugaciones
La Norma
UTF p
La División Euclidea
Primos Ciclotómicos
Factorización Unica
Congruencias
Unidades Ciclotómicas
¡La Demostración!
La Aritmética Ideal



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Discusiones semi-públicas / Para Juan Carlos
« en: 05 Octubre, 2015, 11:13 pm »
Toma dos puntos \( P, P'\in U \). Tenemos que

\( \alpha_{V_P}(t_P)=\phi_U(s)|_{V_P} \),   \( \alpha_{V_{P'}}(t_{P'})=\phi_U(s)|_{V_{P'}} \).

Restringiendo a \( V_P\cap V_{P'} \) queda

\( \alpha_{V_P\cap V_{P'}}(t_P|_{V_P\cap V_{P'}})=\phi_U(s)|_{V_P\cap V_{P'}}= \alpha_{V_{P'}\cap V_P}(t_{P'}|_{V_{P'}\cap V_P}) \).

Como \( \alpha \) es inyectivo, también lo es \( \alpha_{V_P\cap V_{P'}} \), luego

\( t_P|_{V_P\cap V_{P'}}= t_{P'}|_{V_P\cap V_{P'}} \)

y por definición de haz los \( t_P \) se extienden a un único elemento de \( \mathcal N'_U \).

19
Topología (general) / Probar que es cerrado
« en: 05 Julio, 2015, 11:45 pm »
He recibido un mensaje privado de Pilsen con este problema:

Citar
Profesor, me puede ayudar  con este ejercicio por favor, llevo montón tratando de resolverlo, por todos los métodos para demostrar que un conjunto es cerrado, pero no me sale, por favor

Sea \( S= \left\{   {    x \in \mathbb{R}^n : x_1 + .... + x_n =1  }\right\} \). Demuestre que \( S \) cerrado.

Gracias desde ya.

Como parece que ha empezado a colaborar, copio aquí lo que hemos avanzado:

Explícame qué definición tienes de conjunto cerrado, y cuáles son esos medios que has probado para hacer el problema. ¿Qué condiciones conoces para probar que un conjunto es cerrado? ¿Has visto alguna que involucre sucesiones? ¿Has visto algún resultado sobre aplicaciones continuas y conjuntos abiertos o cerrados?

Citar
Lo intente hacer por sucesiones y por distancia de puntos a conjuntos, pero no me sale, y no se que mas hacer.  :banghead:

¿Cuál es el criterio que aplicas con sucesiones?

Citar
Me doy una sucesión en el conjunto y trato de demostrar que el limite esta en el conjunto, tambien trato de usar el hecho que como es un subconjunto en \( l^2(\mathbb{R}) \) , pude demostrar que es un conjunto convexo.

No sé a qué llamas \( l^2(\mathbb{R}) \).

En cuanto a las sucesiones, trata de ser explícita. No digas "una sucesión en el conjunto", di una sucesión \( \{x_m\}_{m=1}^\infty \) en el conjunto que converge a un límite \( x \), y quieres probar que \( x\in S \). Entonces, cada \( x_m \) es una n-tupla \( (x_{m1},\ldots, x_{mn}) \). También \( x \) es una \( n \)-tupla \( x=(x_1,\ldots, x_n) \)

Esto plantea dos preguntas:

1) ¿Qué sabes de las n-tuplas \( (x_{m1},\ldots, x_{mn}) \) por el hecho de que están en \( S \)?

2) ¿Qué necesitas probar que cumple \( x=(x_1,\ldots, x_n) \) para poder asegurar que \( x\in S \)?

Y otra pregunta más:

3) ¿Encuentras alguna relación entre la sucesión \( \{x_{mi}\}_{m=1}^\infty \) y el número \( x_i \)?

20
Teorema de Fermat / El Último Teorema de Fermat para p = 3
« en: 13 Mayo, 2015, 06:59 pm »
Me he encontrado con la demostración de Gauss del Último Teorema de Fermat para p = 3, que es mucho más clara y elegante que la de Euler, que puse en mi libro de Álgebra. Aunque tengo pensado revisarlo un día de éstos, como no va a ser a corto plazo, la voy a contar aquí, haciendo un esfuerzo por que pueda seguirse sin necesidad de ningún conocimiento de álgebra más allá de los rudimentos sobre los números complejos.

Más concretamente, voy a tratar de que sea accesible para los usuarios serios de este foro que tratan de demostrar el UTF con técnicas elementales. Entiendo por usuarios serios los que dominan razonablemente las técnicas que ellos mismos usan, que son algunos, pero no todos.

No deja de darme la impresión de que quienes tratan de probar el UTF por métodos elementales, más que restringirse a usar las matemáticas que conocía Fermat, están restringiéndose realmente a las matemáticas que ellos mismos conocen, que a veces parecen ser menos que las que conocía Fermat. (Por ejemplo, algunos parecen hacerles ascos también a las congruencias, que Fermat sí que conocía, aunque tal vez no usara la notación moderna). En la medida en que algunos aficionados al UTF puedan tener más bien aversión a lo desconocido que amor a la fidelidad histórica, voy a tratar de mostrar que algunas de esas ``técnicas desconocidas" que evitan —sospecho— más por desconocimiento que por algún principio sólido, no son tan extrañas como podría parecer, y que esquivarlas no es más artificial que esquivar el uso de una calculadora o de un ordenador cuando pueden simplificar sustancialmente las cuentas de una demostración.

Lo que es la demostración en sí la he sacado del libro "100 Great Problems of Elementary Mathematics, their history and solution", de Heinrich Dörrie, que trata muchos otros problemas interesantes, aritméticos, geométricos y de muy diversa índole, así que puede que guste a más de uno, aunque no esté nada interesado en el UTF.

Todos los preliminares para hacer accesible la solución son de cosecha propia.

ATENCIÓN: Para facilitar la lectura y la participación he creado un hilo paralelo destinado a observaciones, comentarios, preguntas o discusión en general del hilo. Por favor, usad este hilo para participar.



En sentido estricto, el UTF es un problema sobre números naturales, y que para el caso concreto de exponente 3 que aquí vamos a tratar consiste —recordemos— en demostrar que no existen números naturales no nulos \( x, y, z \) que cumplan la ecuación de Fermat

\( \color{blue} x^3+y^3=z^3 \).

Sin embargo, parece haber consenso unánime entre quienes abordan el problema en que es más práctico demostrar que la ecuación no tiene soluciones enteras (salvo en los casos triviales en los que alguna variable toma el valor 0). La no existencia de soluciones enteras es equivalente a la no existencia de soluciones naturales, pero el paso de los números naturales a los enteros simplifica sustancialmente las posibilidades de manipulación algebraica. Por ejemplo, si tenemos una igualdad de la forma \( A+B=C+D \), en caso de trabajar exclusivamente con números naturales, no podríamos pasar a \( A-C=D-B \) si no podemos asegurar que \( C\leq A \) y \( B\leq D \). En cambio, si operamos en \( \mathbb Z \) esto no tiene que preocuparnos.

Pues bien, la moraleja de este hilo pretende ser que, del mismo modo que a nadie le parece una herejía usar números enteros para abordar un problema que en principio habla de números naturales si con ello aumentamos sensiblemente la potencia de nuestros argumentos posibles, tampoco debería ver nadie una herejía en usar números imaginarios si con ello la potencia de nuestros argumentos aumenta muchísimo más. Quien se siente incómodo metiendo números imaginarios en la prueba es como alguien que sólo se sienta cómodo con los números naturales y arrugue la nariz al ver escrito \( A-C \) cuando cabe la posibilidad de que le estemos restando 8 a 5, a pesar de que si tienes 5 no te pueden quitar 8.

Mi propósito es dar la oportunidad a los aficionados (serios) al UTF a que entiendan en este caso las técnicas "modernas" y que, con la perspectiva adecuada que supone entender algo antes de juzgarlo, juzguen si realmente es importante o no que Fermat conociera o no estas técnicas a la hora de incluirlas en el arsenal propio para abordar éste y otros problemas aritméticos.



Los números complejos

Dedicamos este primer apartado a recordar las propiedades básicas de los números complejos, los herejes que vamos a introducir en la demostración de un teorema sobre números naturales. En principio voy a suponer que cualquier lector interesado conoce los números complejos, pero si no es así y alguno se manifiesta, lo que vamos a necesitar es tan poca cosa que no costaría nada desarrollar un poco más estos preliminares. En principio no lo hago por no enseñar a nadar a los peces, pero si hay algún alevín, que lo diga.

Recordemos que los números complejos son números de la forma \( a+bi \), donde \( a \) y \( b \) son números reales e \( i \) es la unidad imaginaria, caracterizada por la propiedad de que \( i^2=-1 \).

Cada número complejo se escribe de forma única como \( a+bi \), de modo que si \( a+bi=c+di \) es porque \( a=c \) y \( b=d \). El número \( a \) se llama parte real y el número \( b \) se llama parte imaginaria del número complejo \( z=a+bi \).

Un algebrista diría que los números complejos forman un cuerpo, pero eso en la práctica significa simplemente que los números complejos se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir (salvo que no se puede dividir entre 0) de modo que se cumplen exactamente las mismas reglas de manipulación de expresiones algebraicas que valen para los números enteros y los racionales. Quiero decir que una igualdad como \( (x+y)^2 = x^2+2xy+y^2 \) vale igual si \( x \) e \( y \) son números enteros, racionales o complejos, o que en una fracción podemos tachar términos comunes que multiplican al numerador y al denominador, que podemos sacar factor común en una expresión, etc., exactamente en las mismas condiciones que si estamos trabajando con números enteros o racionales.

El hecho de que los números complejos cumplan las propiedades algebraicas que los enteros o los racionales hace que la relación \( i^2=-1 \) baste para calcular la suma, la resta o el producto de cualquier par de números complejos:

\( (a+bi)+(c+di)=a+c+(b+d)i \)      \( (a+bi)(c+di)=ac+bdi^2+adi+bci=ac-bd+(ad+bc)i \)

Por ejemplo,

\( 2+3i\ +\ 5-2i=7+i \),           \( (2+3i)(5-2i)=10-6i^2-4i+15i=16+11i \).

Una diferencia notable entre los números complejos y los enteros o los racionales es que no pueden ser ordenados de forma que las reglas algebraicas de manipulación de desigualdades sigan siendo válidas. Si uno se empeña puede ordenar los números complejos, pero la ordenación que obtendrá será como si uno ordena los números enteros así:

\( 0< 1<-1<2<-2<3<-3<\cdots \)

Queda muy bonito, pero con esa ordenación no se cumple ninguna propiedad intersesante, como que \( x\leq y\rightarrow -x\leq -y \), o cosas así.

No obstante, aunque no podamos ordenar provechosamente los números complejos, sí que podemos hablar de números complejos mayores o menores en tamaño. El tamaño de un número complejo lo determina su módulo, definido como

\( |a+bi|=\sqrt{a^2+b^2} \)

Esto tiene una interpretación geométrica, y es que podemos identificar a cada número complejo \( a+bi \) con el punto del plano de coordenadas \( (a, b) \), y entonces el módulo de un número complejo \( z=a+bi \) es la distancia de \( z \) al \( 0 = 0+0i \).

Sin embargo, en contra de lo que es habitual en análisis, nosotros no trabajaremos con el módulo de los números complejos, sino con su norma, definida como

\( N(a+bi)=a^2+b^2 \)

Es decir, para medir lo grande o pequeño que es un número complejo no calcularemos la raíz cuadrada que exige el módulo. De este modo, la norma de un número complejo se interpreta como el cuadrado de su distancia al 0, lo cual sirve igualmente para determinar si un número complejo es mayor o menor que otro (quiero decir que \( |z_1|<|z_2| \) es equivalente a \( N(z_1)<N(z_2) \), de modo que comparar módulos es equivalente a comparar normas). La razón para prescindir de la raíz cuadrada es que nos proponemos ser herejes, pero no libertinos. Vamos a introducir números complejos en nuestros argumentos sobre el UTF, pero no vamos a alejarnos de los números enteros más de lo estrictamente necesario y así, si consideramos el número complejo \( z= 2+i \), vemos que su norma es \( N(z)=5 \), un número natural, mientras que si usáramos el módulo nos saldría \( |z|=\sqrt 5 \), que es un número irracional, con lo que estaríamos metiendo en nuestras cuentas un pecaminoso irracional cuando, con la norma, tendremos un piadoso número natural. No vamos a pecar por puro vicio.

El conjugado de un número complejo \( a+bi \) se define como el número \( \overline{a+bi}=a-bi \). Así pues, conjugar un número complejo es cambiarle el signo a su parte imaginaria.

Observemos que \( N(z)=z\bar z \).

En efecto, si \( z=a+bi \), entonces \( z\bar z=(a+bi)(a-bi)=a^2-(bi)^2 = a^2+b^2=N(z) \).

La conjugación es importante porque nos permite dividir números complejos. Por ejemplo:

\( \dfrac{3+2i}{5-3i}=\dfrac{(3+2i)(5+3i)}{(5-3i)(5+3i)}=\dfrac{9+19i}{34}=\dfrac9{34}+\dfrac9{34}i \)

Hemos multiplicado numerador y denominador por el conjugado y así en el denominador nos ha quedado la norma, que es un número real por el que podemos dividir tanto la parte real como la imaginaria del numerador para llegar a una expresión de la forma \( a+bi \).

En particular el inverso de un número complejo no nulo se calcula como
\( z^{-1}=\dfrac{\bar z}{N(z)} \)

En efecto: \( z^{-1}=\dfrac1z =\dfrac{\bar z}{z\bar z}=\dfrac{\bar z}{N(z)} \).

La conjugación tiene una propiedad muy importante, y es que respeta sumas y productos:

\( \overline{z_1+z_2}=\bar z_1+\bar z_2 \),        \( \overline{z_1z_2}=\bar z_1\,\bar z_2 \)

En realidad, lo que nos importa de aquí es que la norma es multiplicativa:

\( N(z_1z_2)=N(z_1)N(z_2) \)

En efecto, \( N(z_1z_2)=z_1z_2\overline{z_1z_2}=z_1z_2\bar z_1\,\bar z_2 = z_1\bar z_1\, z_2\bar z_2=N(z_1)N(z_2) \).

Pues bien, esto es todo lo que hay que saber para seguir este hilo, aparte de conocer las reglas usuales de manipulación algebraica, como que \( x^3x^4=x^7 \), los conceptos aritméticos básicos, como múltiplo, divisor, división con cociente y resto, primo, etc. y las nociones básicas sobre polinomios y ecuaciones, como que si sabemos que la ecuación

\( x^3-7x+6=0 \)

tiene soluciones \( x=-3,1,2 \), eso se traduce en la factorización

\( x^3-7x+6=(x+3)(x-1)(x-2) \).

En el próximo mensaje veremos cómo introducir los pecaminosos números complejos en un marco de trabajo adecuado para demostrar el UTF para exponente 3.

En su momento necesitaremos también las propiedades básicas y elementales de las congruencias, pero las repasaremos cuando las vayamos a necesitar. No vamos a usar nada más complicado que lo dicho.

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