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Cálculo de Varias Variables / Re: Integral en una región
« en: 14 Mayo, 2021, 08:56 pm »
Es cierto. A ver que tal. Pasando a trabajar en coordenadas cilíndricas tenemos que el conjunto es \( E=\left\{{(\rho,\phi,z)/2\rho\leq{}z^2\leq{}\rho+1,z\geq{}0}\right\} \), de aquí podemos deducir que \( 0\leq{}\rho\leq{}\displaystyle\frac{z^2}{2} \), si \( 0\leq{}z\leq{}1 \).

Por encima de z=1 sucede que   \( z^2-1\leq{}\rho\leq{}\displaystyle\frac{z^2}{2} \).

Esta última desigualdad debe ser donde \( f(\rho,z)=2\rho-z^2 \) sea igual a \( g(\rho,z)=p+1-z^2 \) se corten. Esto pasa en \( (\rho,z)=(1,\sqrt[ ]{2} \). Luego \( z^2-1\leq{}\rho\leq{}\displaystyle\frac{z^2}{2} \) si \( 1\leq{}z\leq{}\sqrt[ ]{2} \)

 . \( 0\leq{}z\leq{}1 \) y que  en toda la región \( 0\leq{}\phi\leq{}2\pi \).

Por lo tanto es la suma de dos integrales, teniendo en cuenta z.

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Cálculo de Varias Variables / Integral en una región
« en: 14 Mayo, 2021, 07:35 pm »
Hola,

Debo hallar la integral de una función en la región \( E=\left\{{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3/2(x^2+y^2)\leq{}z^2\leq{}x^2+y^2+1,z\geq{}0}\right\} \). Estoy tratando de hallar los limites de la integral de cada variable. Al dibujar la región queda claro que debe ser \( z\geq{}1 \), pero luego no consigo despejar x,y de forma que luego pueda operar la integral. Me quedo en que \( \sqrt[ ]{\displaystyle\frac{2y^2-z^2}{2}}\leq{}x\leq{}\sqrt[ ]{y^2+1-z^2} \) y que \( \sqrt[ ]{\displaystyle\frac{2x^2-z^2}{2}}\leq{}y\leq{}\sqrt[ ]{x^2+1-z^2} \).

Un saludo.

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Ecuaciones diferenciales / Lipchitzianidad de una función
« en: 13 Mayo, 2021, 02:26 am »
Hola,

Acabo de empezar a estudiar los SDO con las matrices.  Y en una demostración aparece lo siguiente:

"Sea \( A:I\longrightarrow{L(\mathbb{R}^N}) \) y \( b:I\longrightarrow{}\mathbb{R}^N \) dos funciones continuas y \( (t_0,y_0)\in I\times{}\mathbb{R}^N \).

Supongamos que, \( f(t,y)=A(t)y+b(t),\;\;\;\forall{I\times{}\mathbb{R}^N} \).

\( f:I\times{}\mathbb{R}^N\longrightarrow{}\mathbb{R}^N \) es continua y localmente lipchitziana respecto de la variable y."

Me gustaría ver rigurosamente que es localmente lipchitziana, pasando por alto que es globlamente lipchitziana en I.

Entonces, para ello tomo un \( I'\times{}\omega=K\subseteq{}I\times{}\mathbb{R}^N \) compacto. Sean \( (t,y_1),(t,y_2)\in{}I\times{}\mathbb{R}^N \) entonces:

\( \left |{f(t,y_1)-f(t,y_2)}\right |=\left |{A(t)(y_1-y_2)}\right |\leq{}\left\|{A(t)}\right\|_s\left |{y_1-y_2}\right | \) donde la norma es la norma espectral y está tomada en el compacto K, es decir con \( t\in{}I' \).

Entonces tomando \( L_k=\left\|{A(t)}\right\|_s\geq{}0 \), probamos que f es localmente lipchitziana.

¿Añadirían algo?

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Álgebra Lineal (Espacios Vectoriales) / Re: Producto escalar.
« en: 11 Mayo, 2021, 03:21 pm »
Hola,

A menos que me equivoque y los compañeros del foro me corrijan, ocurre lo siguiente:

\( \left<{u,v}\right>=\left<{w,v}\right>\Longleftrightarrow{}\left<{u,v}\right>+\left<{-w,0}\right>=\left<{w,v}\right>+\left<{-w,0}\right>\Longleftrightarrow{}\left<{u-w,v}\right>=\left<{0,v}\right> \). Por tanto ocurre lo siguiente, o bien \( u-w=0 \) o bien \( (u-w)\perp{}v \).

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Ecuaciones diferenciales / Duda en demostración
« en: 07 Mayo, 2021, 09:19 pm »
Hola,

Tengo una duda en la siguiente demostración.

MODIFICADO: Enunciado: (Lema de Gronwall)
Supongamos que:

\( u(t)\leq{}M+\displaystyle\int_{t_0}^{t}a(s)u(s)ds \),

donde \( M\in{\mathbb{R}} \), \( a\geq{}0 \), \( a,u\in{}C^0([t_0,t_1]) \). Entonces
\( u(t)\leq{}Mexp(\displaystyle\int_{t_0}^{t}a(s)ds \).

Demostración:
Pongamos \( v(t)=\displaystyle\int_{t_0}^{t}a(s)u(s)ds \), \( \forall{t}\in{}[t_0,t_1] \),
Entonces \( v\in{C^1([t_0,t_1])} \) y, por hipótesis, \( u\leq{}M+v \), de donde \(  v'=au\leq{}aM+av \), esto es:

\( v'(t)-a(t)v(t)\leq{}a(t)M \)

Multiplicando la desigualdad por \( exp(-\displaystyle\int_{t_0}^{t}a(s)ds) \), obtenemos:
 \( \displaystyle\frac{d}{dt}v(t)exp(-\displaystyle\int_{t_0}^{t}a(s)ds)=(v'(t)-a(t)v(t))exp(-\displaystyle\int_{t_0}^{t}a(s)ds)\leq{}a(t)Mexp(-\displaystyle\int_{t_0}^{t}a(s)ds) \).

Integrando con respecto a t, y teniendo en cuenta que v(t)=0  tenemos que:

\( v(t)\leq{}M\displaystyle\int_{t_0}^{t}(a(s)exp(-\displaystyle\int_{t_0}^{t}a(z)dz)=Mexp(-\displaystyle\int_{t_0}^{t}a(z)dz)-M \),  (*)

de donde,

\( u(t)\leq{}M+v(t)=Mexp(-\displaystyle\int_{t_0}^{t}a(z)dz) \)

Esa es la demostración.

Cómo pasa a (*) es mi duda.

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Álgebra y Aritmética Básicas / Re: Función cuadrática
« en: 06 Mayo, 2021, 01:09 am »
Hola,
Es cierta, piensa en una parábola. Entonces la parábola cortará al eje x en uno o dos puntos, si lo hace en dos no puede ser el vértice, y si lo hace en uno tiene que ser el vértice. En el ejemplo que pones ni (1,0) ni (2,0) es el vértice, tu vértice esta en \( x=\displaystyle\frac{-3}{2} \).

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Cálculo 1 variable / Re: Límite Exponencial
« en: 30 Abril, 2021, 12:20 pm »
Hola, puedes poner el limite como sigue:

\( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{(1+\displaystyle\frac{1}{\displaystyle\frac{x}{\sqrt[ ]{x^2+x+1}-x}}})^{f(x) \displaystyle\frac{ax^2+1}{x}\displaystyle\frac{1}{f(x)}} \)

, siendo \( f(x)=\displaystyle\frac{x}{\sqrt[ ]{x^2+x+1}-x} \).

Con lo que el límite es \( e^{\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{ax^2+1}{x}\displaystyle\frac{1}{f(x)}}} \), sabiendo que te tiene que dar \( e^2 \), intentalo.

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Cálculo 1 variable / Re: Un ejercicio extraño
« en: 16 Abril, 2021, 11:39 am »
Me lo ha mandado un amigo de otra carrera para que le eche un vistazo. Le he pedido, a ver si podía enviar algo má,s la página entera o lo que sea, pero no tiene nada más.

Le he dicho que está mal planteado.

Un saludo.

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Cálculo 1 variable / Un ejercicio extraño
« en: 15 Abril, 2021, 11:32 pm »
Hola,

El ejercicio es el siguiente:

"Dada la serie \( \left\{{x_t}\right\}_{-10}^{10} \) donde \( x_t=20\displaystyle\frac{sen(t)}{t} \), obtener los números enteros de las siguientes aproximaciones:

a) tendiendo a 0
b) tendiendo a \( -\infty \)
c) tendiendo a \( +\infty \)
d) tendiendo al entero más cercano"

No entiendo el enunciado, pues según entiendo, la serie dada, es finita, y por tanto ya está determinada. Digamos que la serie que se da es un número.

Por tanto no entiendo lo de las aproximaciones. Deduzco, que si esto tuviera sentido, evidentemente sería hacer tender la variable t. En fin, ¿qué opinan? ¿Está mal planteado? ¿o que estoy entendiendo mal?


Un saludo.

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Ah si, es cierto lo acabo de ver, porque \( C=F\cap{}E^c \).

En cuanto al 2) se me ocurre que \( ((E\cap F)^c)^c=E\cap F \), usando leyes de morgan eso equivale a \( (E^c\cup F^c)^c \), y pues ya estaría. En el momento no lo veía.

Gracias, y un saludo.

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Teoría de la Medida - Fractales / Ejercicios teoría de la medida
« en: 15 Abril, 2021, 07:42 pm »
Hola,

Estoy haciendo unos ejercicios básicos de teoría de la medida y tengo unas preguntas.

Sea \( (X,M,\mu) \) un espacio de medida

1) Si \( E,F\in{}M \) tal que \( E\subseteq{}F \) entonces \( \mu(E)\leq{}\mu(F) \).

Para este voy a suponer directamente que \( E\subset{}F \), pues si son iguales es trivial. Para ello escribo \( F=E\cup{}C \) donde \( C \) es tal que \( F\setminus E=C \). Ahora bien como F es unión de conjuntos disjuntos tenemos que \( \mu(F)=\mu(E)+\mu(C) \) y esto lo prueba pues la medida es por definición positiva.

¿Debería comprobar que C es medible?

2) Si  \( E,F\in{}M \), entonces \( \mu(E\cup F)=\mu(E)+\mu(F)-\mu(E\cap F) \).

Aquí la idea es la misma. \( E\cup F=E\setminus E\cap F+F\setminus E\cap F+E\cap F \), se que la unión \( E\cup F  \) es medible pues E y F lo son, pero ¿y la intersección lo es? Si lo fuera ya estaría resuelto el ejercicio.

Un saludo.

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Hola

Se me viene a la cabeza esta pregunta porque trato de demostrar lo siguiente. Si \( E_1, ...,E_n \) son conjuntos medibles en un espacio de medida entonces \( \mu(\displaystyle\bigcup_j^{n}E_j)=\displaystyle\sum_{j=1}^n{\mu(E_j)} \).

Supongo que te falta en las hipótesis decir que los conjuntos son disjuntos dos a dos; en otro caso el resultado es falso.

Citar
En mi definición de medida dice que dada una sucesión infinita numerable de conjuntos medibles disjuntos entonces la medida de su unión infinita es la suma infinita de las medidas. Por tanto, pensé en montar la sucesión de conjuntos \( E_1,...,E_n,E_{n+1},... \) donde \( E_m=\emptyset \) para todo \( m>n \), de modo que ya si que puedo usar la definición de medida.

Si. Es cierto que el vacío es disjunto con cualquier otro conjunto (también consigo mismo). Por definición dos conjuntos \( A,B \) son disjuntos si \( A\cap B=\emptyset. \) Pero \( \emptyset\cap B=\emptyset \) para cualquier conjunto \( B \), luego el vacío es disjunto con cualquier \( B \).

Saludos.

Si, conjuntos disjuntos. Gracias por la respuesta.

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Matemáticas Generales / ¿El vacío es disjunto consigo mismo?
« en: 15 Abril, 2021, 05:01 pm »
Se me viene a la cabeza esta pregunta porque trato de demostrar lo siguiente. Si \( E_1, ...,E_n \) son conjuntos medibles en un espacio de medida entonces \( \mu(\displaystyle\bigcup_j^{n}E_j)=\displaystyle\sum_{j=1}^n{\mu(E_j)} \). En mi definición de medida dice que dada una sucesión infinita numerable de conjuntos medibles disjuntos entonces la medida de su unión infinita es la suma infinita de las medidas. Por tanto, pensé en montar la sucesión de conjuntos \( E_1,...,E_n,E_{n+1},... \) donde \( E_m=\emptyset \) para todo \( m>n \), de modo que ya si que puedo usar la definición de medida.

Un saludo.

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Computación e Informática / Re: Funciones lógicas matlab
« en: 13 Abril, 2021, 10:19 pm »
Gracias a ambos. Diego, tal y como has dicho, declarando true y false en lugar de 1 y 0, ahora si me devuelve un valor lógico.

Un saludo.

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Computación e Informática / Funciones lógicas matlab
« en: 13 Abril, 2021, 05:37 pm »
¿Cómo hago para escribir una función que devuelva un valor lógico en matlab?

Hice la siguiente función para determinar si dos rectas son paralelas, me piden que devuelva un valor lógico.

function[boolean]=rectas(a,b,c,d)
if a==b;
    boolean=1;
else boolean=0;
end

Devuelve 1 o 0 pero creo que en su carácter númerico solo.

Un saludo.

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Álgebra / Re: Sistemas dinámicos
« en: 12 Abril, 2021, 11:08 am »
Y si no convergiera para todos los valores iniciales, ¿como se haría? (por curiosidad)

Añadido: ¿Se puede estudiar solo para un valor inicial en concreto?

Un saludo.

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Álgebra / Sistemas dinámicos
« en: 12 Abril, 2021, 10:45 am »
Sea \( A=\begin{pmatrix}{\displaystyle\frac{4}{5}}&{\displaystyle\frac{1}{10}}\\{\displaystyle\frac{1}{5}}&{\displaystyle\frac{9}{10}}\end{pmatrix} \). Consideramos el sistema dinámico:
\( A\begin{pmatrix}{C_k}\\{A_k}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{C_{k+1}}\\{A_{k+1}}\end{pmatrix} \).

Consideramos \( C_0=1, A_0=0 \).¿Se estabilizarán los valores de \( C_k,A_k \) cuando k tiende a infinito?

No se como demostrar que se estabilizan formalmente. Por ordenador se observa que iterando convergen aproximadamente  a \( C=\displaystyle\frac{1,666}{5},A=\displaystyle\frac{3,33}{5} \).

Además suponiendo que existen puntos de estabilidad, resolviendo el sistema \( A\begin{pmatrix}{x}\\{y}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{x}\\{y}\end{pmatrix} \), se ven que los puntos fijos o estables son los de la forma \( (\displaystyle\frac{k}{2},k) \), lo cual tiene sentido con lo anterior.

¿Cómo hago para probar que los valores se estabilizan?

Un saludo.

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Ecuaciones diferenciales / Re: Factores integrantes
« en: 05 Abril, 2021, 02:37 pm »
He visto los ejemplos que has mandado. Ahora bien, por ejemplo para el primero en el que sale que \( z=x-y \), es algo que intuyes imagino ¿no?. ¿O estudias acaso, algo del tipo,  \( z=ax+by \) por ejemplo?

Lo intuyo relativamente. Copio mi mensaje:

La ecuación dada \( Pdx+Qdy=0 \) no corresponde a los métodos usuales de resolución. Ahora bien, suponiendo que \( \mu=\mu(z) \) sea un factor integrante de la ecuación (reservamos la elección de \( z=z(x,y) \) para el final), tenemos:

        \( \displaystyle\frac{\mu'(z)}{\mu(z)}=...=\displaystyle\frac{-3xy(x+y)}{(1+xy^3)z_x+(1+x^3y)z_y} \). Eligiendo \( z=x-y \) obtenemos que: \( \displaystyle\frac{\mu'(z)}{\mu(z)}=...=\displaystyle\frac{-3}{y-x}=\displaystyle\frac{3}{z} \)

lo cual prueba que la ecuación dada tiene un factor integrante que depende de \( z=x-y \).

Fíjate que para \( z_x=1 \) y \( z_y=-1 \) queda

        \( \displaystyle\frac{-3xy(x+y)}{(1+xy^3)z_x+(1+x^3y)z_y}=\displaystyle\frac{-3xy(x+y)}{xy(y^2-x^2)}=\displaystyle\frac{3}{x-y} \)

con lo cual basta elegir \( z=x-y \).

Ah vale. Muchas gracias, me ha ayudado mucho de verdad.

Un saludo.

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Ecuaciones diferenciales / Re: Factores integrantes
« en: 04 Abril, 2021, 04:38 pm »
h
Si tengo una edo que es susceptible de ser resuelta mediante factores integrantes, y resulta que no puede ser solo función de una de la variables, es decir que aparecen tanto la variable independiente como dependiente, ¿cómo estudio el cambio de variable que he de hacer? Me refiero a que debe quedarme una función tipo \( \mu(z) \), donde a su vez, \( z(x,y) \) es una función de x e y. Entonces, saber el cambio (que sea por ejemplo \( z=y^2+x^2 \) o \( z=yx^2 \)) ¿es cuestión de probar un poco a suerte? ¿o hay alguna forma mejor de estudiarlo?

No existe ninguna regla fija. Un primer apartado de los problemas suele pedir demostrar que una ecuación dada tiene un factor integrante en donde se da la forma de \( \mu (x,y) \). Si no se da tal forma, puedes proceder como en

        https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=33520.msg131971#msg131971
        https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=85414.msg342776#msg342776

aunque como verás, insisto, no hay regla fija.

He visto los ejemplos que has mandado. Ahora bien, por ejemplo para el primero en el que sale que \( z=x-y \), es algo que intuyes imagino ¿no?. ¿O estudias acaso, algo del tipo,  \( z=ax+by \) por ejemplo?


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Ecuaciones diferenciales / Re: Factores integrantes
« en: 04 Abril, 2021, 04:32 pm »
Hola:
Hola,

Si tengo una edo que es susceptible de ser resuelta mediante factores integrantes, y resulta que no puede ser solo función de una de la variables, es decir que aparecen tanto la variable independiente como dependiente, ¿cómo estudio el cambio de variable que he de hacer? Me refiero a que debe quedarme una función tipo \( \mu(z) \), donde a su vez, \( z(x,y) \) es una función de x e y. Entonces, saber el cambio (que sea por ejemplo \( z=y^2+x^2 \) o \( z=yx^2 \)) ¿es cuestión de probar un poco a suerte? ¿o hay alguna forma mejor de estudiarlo?

Un saludo.
Si no pones la edo no te puedo ayudar.

Saludos.

La EDO que estaba intentando cuando me vino la duda es la siguiente:
\( t(1-y)+(t^2+y)y'=0 \),
Conozco la solución porque sale en el solucionario, pero me gustaría ver como razonan para llegar a saber a qué equivale la función \( /mu(x,y) \) anteriormente mencionada.

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