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Mensajes - hméndez

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1
Hola.
Se me paso poner al completo la ecuación. Nunca había escrito los límites por internet.
Una de las cosas de las que sé qye me equivoqué fue solo sustituir \( x \) por \( -x \), y no ver que \( (x+h) \) debe de ser negado y así escribir \( -(x+h) \)...

No. Lo que dices no es correcto. Si quiero conseguir la derivada de \(  f  \) en un punto \( -x  \) de su dominio escribo:

\( f^{\prime}(-x)=\displaystyle\lim_{h \to{0}}{\displaystyle\frac{f(-x+h)-f(-x)}{h}} \)

con \(  f  \)  par escribo:

\( f^{\prime}(-x)=\displaystyle\lim_{h \to{0}}{\displaystyle\frac{f(-x+h)-f(-x)}{h}}=\displaystyle\lim_{h \to{0}}{\displaystyle\frac{f(-(x-h))-f(-x)}{h}}=\displaystyle\lim_{h \to{0}}{\displaystyle\frac{f(x-h)-f(x)}{h}} \)

haciendo el cambio \(  t=-h  \) en el último límite:

\( \displaystyle\lim_{h \to{0}}{\displaystyle\frac{f(x-h)-f(x)}{h}}=-\displaystyle\lim_{t \to{0}}{\displaystyle\frac{f(x+t)-f(x)}{t}}=-f^{\prime}(x) \)

por tanto

\( f^{\prime}(-x)=-f^{\prime}(x) \)

Saludos

2
Hola.

Estoy leyendo un libro de precalculo y se me da un pequeño avance de cálculo introduciéndome a la derivada y su definición que es determinar  la pendiente de la recta tangente a la función.

Si \( f \) es una función par y \( (x,y) \) está en la gráfica de \( f \), entonces \( (-x,y) \) también está en la gráfica de \( f \). ¿Cómo se relacionan las pendientes de las tangentes en \( (x,y) \) y \( (-x,y) \)?

Sé que para las funciones pares \( f(x)=f(-x) \) e hice uso de la definición de derivada
\( f'(x)=\displaystyle\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \)

Ahora evalué \( -x \)
\( f'=\displaystyle\frac{f(-x+h)-f(-x)}{h}=\displaystyle\frac{f(-(x-h))-f(x)}{h}=\displaystyle\frac{f(x-h)-f(x)}{h} \)
...

Escríbelo como debe ser, como un límite. En la última expresión haz el cambio de variable \( t=-h \) y llegarás a que \( f^{\prime}(-x)=-f^{\prime}(x) \)
es decir las derivadas son una la opuesta de la otra o una es el reflejo de la otra respecto al eje Y. Ese resultado también nos dice que la derivada de \(  f  \) es impar.

Saludos

3
Triángulos / Re: Problema de triángulos 1
« en: 02 Mayo, 2021, 08:30 am »
En la figura, el \( \triangle DBC \) es isósceles de base \( DB. \) Además, se sabe que \( AC=2CD=2CB=2 \) y \( m\angle DCB=40. \) Entonces \( AD\cdot AB=\, ? \)



A) \( \dfrac{1}{2} \)

B) \( 1 \)

C) \( 2 \)

D) \( 3 \)

E) \( 5 \)

Hola, como están. ¿Cómo puedo enfrentar este problema? Gracias.

Una pista...
Spoiler
Traza una circunferencia de centro el vértice C y radio 1 y utiliza el concepto de potencia de un punto respecto a una circunferencia
aplicado al vértice A.

Saludos
[cerrar]

4

Se verifica: \( C_1 = C_n  \)  Siendo C las circunferencias 1 y n
también:  \( R_1 = R_n = \frac{b^2}{a} \)   (Radio de curvatura de los vértices)

Esto te puede ser útil

https://math.stackexchange.com/questions/3594700/condition-for-perfect-packing-of-ellipse-with-circles-along-the-major-axis

Saludos

5
Tenia la duda con el rectángulo y el cuadrado, imagino será lo mismo, la geometría no es mi fuerte ...

Con ellos también es válida la afirmación.

Aunque para trapecios tendrías que saber de lógica proposicional para entender que también se cumple... :  ;D  ;D

Saludos

6
Matemáticas Generales / Re: Composición de funciones
« en: 19 Abril, 2021, 07:56 am »
Buenas Britspirit,

Al componer funciones, a mi me gusta verlo como evaluar la primera función en la segunda, por ejemplo si tienes \( f \circ g \) puedes verlo como \( g(f(x)) \).
Ahora para tu problema en la parte (a) te piden \( f \circ g \), entonces basta con tomar la expresión de f y evaluarla en g, quedaría algo así:
...

¡ojo! Así se hacia antiguamente, ahora no. Debe ser \( (f\circ g)(x)=f(g(x)) \). Por favor corrige tu mensaje.

Saludos

 

7
Geometría y Topología / Re: Elipse y círculo interno
« en: 17 Abril, 2021, 11:47 pm »
Gracias Richard, me pongo a estudiar tu solución ;D :aplauso:

Se puede llegar a la solución de la siguiente manera:

De la ecuación de la elipse y de la circunferencia

\( \displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\displaystyle\frac{y^2}{b^2}=1 \)

\( (x-D)^2+y^2=R^2 \)

De estas es fácil eliminar \( y^2 \) y nos queda después de ordenar:

\( (1-\displaystyle\frac{b^2}{a^2})x^2-2Dx+b^2+D^2-R^2=0 \)


que es una ecuación polinómica de 2do. grado en \( x \) cuyas 2 soluciones en general
representan las abscisas de los cuatro puntos de intersección entre la circunferencia y la elipse.
Dos ubicados por encima del eje X y otros dos simétricamente ubicados por debajo.

Si de esta ecuación imponemos que su determinante respecto de \( x \) sea igual a  0,
sus soluciones se reducirían a una (1). Esto corresponderá a la abscisa de los dos puntos de
tangencia entre las dos cónicas. Uno por encima y otro simétricamente ubicado por debajo del
eje X.

Anulando el discriminante:

\( 4D^2-4(1-\displaystyle\frac{b^2}{a^2})(b^2+D^2-R^2)=0 \)



de aquí es muy fácil obtener la relación dada en la imagen que enviaste o despejar \( R \) que es lo pedido.

\( R=b\sqrt[ ]{1-\displaystyle\frac{D^2}{a^2-b^2}} \)

Saludos
Uyyy Se me adelantó Abdulai

8
Determine la ecuación de la recta \( L \) que pasa por el punto \( B(2,5) \) y que es perpendicular a la recta \( L_1: 2x+3y=1. \)

Hola, hice un intento. Sabemos que \( y-y_1=m(x-x_1) \) y \( m_1\cdot m_2=-1 \). Entonces, \( m_1=-\dfrac{2}{3} \) es la pendiente de la recta \( L_1 \). Entonces, \( m_2=\dfrac{3}{2} \). Así, \( y-5=\dfrac{3}{2}(x-2). \)

¿Esta bien?

¡Sí!

9





Lo que ocurre es que tu has utilizado el origen del ángulo \( ºtheta \)  desde el semieje negativo de la abscisas y yo el semieje positivo,( tu ángulo se recorre de forma horaria y el mio antihoraria.)


Sí , si, claro.


pero has calculado mal las coordenada de la vaca. tienes mal los signos de las coordenadas del punto de tangencia con el silo y del vector tangente, revísalo.




He repetido mi cálculo y no veo donde me equivoque...


veamos como es la curva por trozos,


\( R\geq x\geq R(\pi +1) \quad \mapsto \quad  y=\sqrt{\pi^2 R_s^2+(x-R_s)^2} \)


la curva cuando  \( -R\geq x < R \mapsto (x_c,y_c)=f_1(\theta) \)


\( x_c=R_s\cos\theta -(\pi R-\theta R)\sin\theta \) 


\( y_c=R_s\sin\theta +(\pi R-\theta R)\cos\theta \)


y el silo lo parametrizo

\( -R\geq x < R \mapsto (x_s,y_s)=f_2(\theta) \)


\( x_s=R_s\cos\theta \)


\( y_s=R_s\sin\theta \)




la distancia entre curvas en función del ángulo  es


\( D(\theta)=\sqrt{(x_c-x_s)^2+(y_c-y_s)^2} \)


\( D(\theta)=\pi R-\theta R \)


como el lógico , es lo que queda de soga que no sea tangente al silo.


luego calculo el área  como


\( A=\dfrac12 \pi (R\pi)^2+2\displaystyle \int_0^{\pi}(\pi R-\theta R)R d\theta \)
...

Hola, creo que el error está en la integral. Analizando el movimiento del segmento D (marcado en rojo).Usando centros instantáneos de rotación tu integral debería escribirse así:

 \( 2\displaystyle\int_{0}^{\pi}\displaystyle\frac{1}{2}(\pi R-\theta R)^2d\theta \) cuyo valor es \(  \displaystyle\frac{\pi^3}{3}R^2 \)

Esto al ser sumado con el primer término es igual a \( \displaystyle\frac{5}{6}\pi^3R^2 \) que es el área buscada.

Saludos

10
¿Cómo establecer los límites de integración para hallar el área entre \( f= sen(x) \) y \( g= cos(x) \) entre \( x= \pi /4 \) y \( 5 \pi /4 \) con este orden de integración:
\( \displaystyle \int\int  dx dy \) ?

Para el orden \( \displaystyle \int\int  dy xy \)es sencillo: \( \displaystyle \int_{\pi /4}^{5 \pi /4}\displaystyle\int_{cos (x)}^{sen (x)}dydx =2\sqrt{2} \)

Es un problema del Larson/Edwuadrs

Mensaje corregido desde la administración.

Spoiler
No pongas en una fórmula cada simbolito individualmente entre [tex]...[/tex], sino la fórmula completa. Es decir en lugar de:

 [tex]\int[/tex][tex]\int[/tex][tex]dy[/tex][tex]dx[/tex]            \( \int \)\( \int \)\( dy \)\( dx \)

escribe:

[tex]\int\int  dy dx[/tex]             \( \int\int  dy dx \)
[cerrar]


Por favor fíjate en la gráfica:



\( [1]=\displaystyle\int_{1/\sqrt{2}}^{1}\displaystyle\int_{arcsin(y)}^{arccos(y)+\pi/2} dxdy=\displaystyle\frac{4-\pi}{2\sqrt{2}} \)


\( [2]=\displaystyle\int_{-1/\sqrt{2}}^{1/\sqrt{2}}\displaystyle\int_{arccos(y)}^{arccos(y)+\pi/2}dxdy=\displaystyle\frac{\pi}{\sqrt{2}} \)


\( [3]=\displaystyle\int_{-1}^{-1/\sqrt{2}}\displaystyle\int_{arccos(y)}^{arcsin(y)+3\pi/2}dxdy=\displaystyle\frac{4-\pi}{2\sqrt{2}} \)

Saludos

11
Triángulos / Re: Semejanza de triangulos 11
« en: 14 Abril, 2021, 04:46 am »
Si en los triangulos de la figura, \( \dfrac{RP}{WZ}=\dfrac{PQ}{ZY} \) y \( \angle R\cong \angle W \), entonces es (son) siempre verdadera(s)?:

I) \( \triangle PQR\sim \triangle ZYW \)

II) \( \angle P\cong \angle Z \) y \( \angle Q\cong \angle Y \)

III) Si \( PQ=9 \) y \( PR=5 \), entonces \( \triangle PQR\sim \triangle ZYW \)




A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) Solo I y II

E) I, II y III

Hola, como están. Yo digo que es la D) Solo I y II, porque si \( \dfrac{RP}{WZ}=\dfrac{PQ}{ZY} \) y \( \angle R\cong \angle W \), entonces por LAL, se tiene que \( \triangle PQR\sim \triangle ZYW \). Por otro lado, la II) es verdadera por criterio \( AA \). Y la III) es falsa porque falta información.



Solo con la hipótesis inicial y el apartado lll donde se deduce  PQ>PR (PQ lado opuesto al ángulo R) es válida la aplicación del criterio LLA.
Por tanto el inciso correcto es el C.

El criterio LAL no aplica.

Saludos


12

"...resistencia a la compresión del concreto contra el logaritmo natural de la relación agua/cemento...


Algo más a tomar en cuenta es intercambiar los ejes del gráfico. El eje vertical debe ser el de la resistencia del concreto.

Saludos

13
Buenas,

Hace rato estoy batallando con esta demostración.

Probar que:
\( \displaystyle\int_{a}^{b} f(x)dx = \displaystyle\int_{a}^{b} f(a+b-x)dx \)

Seria lo siguiente:
Sea \( h=a+b-x \) y \( dx=-dh \) por lo que cuando \( x=a \longrightarrow h=b \) y cuando \( x=b \longrightarrow h=a \)

Entonces:
\( \displaystyle\int_{a}^{b}f(a+b-x) = -\displaystyle\int_{b}^{a}f(h)dh =  \displaystyle\int_{a}^{b}f(h)dh=  \displaystyle\int_{a}^{b}f(x)dx \)

La verdad no me termina de convencer la prueba, en todos los foros que busque esta es la única respuesta que dan.
Me gustaría saber que opinan de la misma y saber si tienen algún otra manera de demostrar esto, tal vez con sumas superiores e inferiores igualando particiones.

Saludos,
Franco.

Edit: Hacer el titulo mas descriptivo del problema en cuestión.

Aquí te dejo un argumento geométrico a ver si te vale   ;)

La gráfica de \(  f(a+b-x)  \) se obtiene de la gráfica de \(  f(x) \)  reflejando esta respecto al eje de las ordenadas
y luego trasladándola \( a+b \) unidades hacia la derecha. Esto deja una simetría de las regiones de integración  respecto
a la recta \(  x=\displaystyle\frac{a+b}{2} \). de lo cual es fácil concluir que las integrales que se comparan son equivalentes.

Saludos

14
Trigonometría y Geometría Analítica / Re: Trazar gráfica.
« en: 01 Abril, 2021, 05:51 am »
Hola.
Tengo el siguiente ejercicio

Describa cómo graficar la función \( y=\left |{x}\right |+\left |{x-3}\right | \) y grafíquela.

Pensé primero  en calcular los interceptos con los ejes. Para el el eje \( x \) no existe y para el \( y \) es \( (0,3) \)
Pienso primero en trazar la gráfica de \( \left |{x-3}\right | \) y luego desplazar cada punto \( \left |{x}\right | \) unidades verticales hacia  arriba.
¿Hay un método más general o mejor?
Me parece un método engorroso el que estoy usando.

Saludos.

Consigue los valores de \(  x \) que anulan cada valor absoluto y crea una función a trozos.

\( y=\begin{cases}{-2x+3}&\text{si}& x<{0}\\3 & \text{si}& 0\leq{x}<{3}\\2x-3 & \text{si}& 3\leq{x}\end{cases} \)

Saludos

15
Buenas,

Un poco más:

\( \begin{align*}
f'(x)&=-\dfrac{2\sec^2x}{(1+\tan x)^2}=- \dfrac{2\sec^2 x}{1+\tan^2x+2\tan x}\\
&=-\dfrac{2\sec^2 x}{\sec^2 x+2\tan x}=-\dfrac{2}{1+2\tan x\,\cos^2x}\\
&=-\dfrac{2}{1+2\,\sen x\,\cos x}=-\dfrac{2}{1+\sen(2x)}\end{align*} \)

Saludos.

Rematemos ;)

\( -\displaystyle\frac{2}{1+sen(2x)}=-\displaystyle\frac{2}{1+cos(\displaystyle\frac{\pi}{2}-2x)}=-\displaystyle\frac{2}{2cos^2(\displaystyle\frac{\pi}{4}-x)}=-sec^2(\displaystyle\frac{\pi}{4}-x) \)

Saludos


16
Geometría sintética (Euclídea, Plana) / Re: Poligono regular
« en: 29 Marzo, 2021, 04:05 pm »
Hola, no se si hay alguna forma sencilla de hallarlo, pero me parece un ejercicio muy rebuscado
La opción correcta es la a)\(  a+b=d \)

Por el teorema del seno se puede ver pero es muy feo.

Hola robinlambada, se me ocurren varias formas de resolverlo, pero una de las más elementales es:

-Se inscribe la cuerda b a continuación de la cuerda a  (yendo hacia la derecha ) y tendrás un cuadrilátero
de lados abad, más específicamente un trapecio isósceles por la simetría de la figura. Esto es fácil probarlo
 si se pidiera formalidad.

-Sabemos que el arco de circunferencia que subtiende la cuerda a es de 40° así que el ángulo entre la cuerda
a y d es de es de 3x40°/2=60°.

-Proyectando los lados a, b, a del trapecio ortogonalmente sobre su lado d, se llega a la relación pedida.

Saludos

17
Intuyo, como comenté en mi anterior mensaje que al escribir nathan \( B=\lbrace x\in\mathbb{R} \ | \ x^{2}-21x+110\leq 100 \rbrace \) y el mismo decir que \( B=[10,11] \), tal \( 100 \) del segundo miembro se le "coló de rondón" :).

Sí Fernando, casi seguro que sea como dices. :)
Me esta fallando la intuición  :(

Saludos

18
Hola estimados amigos, estuve tratando de resolver este ejercicios, pero tuve dificultades:
Se tienen los conjuntos \[ A \] y \[ B \].
\[ A=\lbrace x\in\mathbb{R} \ | \ x^{2}-a\leq 100\rbrace ; A\neq \emptyset \]
\[ B=\lbrace x\in\mathbb{R} \ | \ x^{2}-21x+110\leq 100 \rbrace \]
Si \[ A\cap B\neq\emptyset \], halle la variación del paBierámetro a
Bien, el conjunto B es un intervalo cerrado \[ B=[10,11] \], pero no encuentro como halla la variación del parámetro a.
Les agradecería mucho su ayuda. Gracias.

Resolviendo para x en A tienes que  \(  x\in{ [-\sqrt[ ]{100+a},\sqrt[ ]{100+a}] } \) con \( a \geq{-100} \)

Resolviendo para x en B tienes que  \(   x \in{  [\displaystyle\frac{21-\sqrt[ ]{401}}{2},\displaystyle\frac{21+\sqrt[ ]{401}}{2}]} \) intervalo de extremos positivos.

Como el intervalo para x en A es simétrico respecto al origen y crece conforme a aumenta, la solución
se encuentra resolviendo:

\( \sqrt[ ]{100+a} \geq{} \displaystyle\frac{21-\sqrt[ ]{401}}{2} \) para  \( a \geq{-100} \)

\( a \geq{}\displaystyle\frac{221-21\sqrt[ ]{401}}{2} \)

Saludos

P.D. Revisa las cuentas

19
De oposición y olimpíadas / Re: Geometría
« en: 27 Marzo, 2021, 02:43 pm »
Hola

En un sistema de coordenadas ortogonales se considera la curva C: \( x=2 \), \( y^2+z^2=4 \). Sea \( C' \) la interseccion del lugar de las rectas que cortan a \( C \) y que pasan por \( V(0,0,1) \) y del lugar de las rectas paralelas al plano \( XOY \) que cortan al eje \( OZ \) y a la curva \( C \). Se pide: Estudiar la proyección ortogonal de \( C' \) sobre el plano XOZ.
Ayuda para resolverlo, ¿Cómo saco las ecuaciones paramétricas de \( C' \)?

Mensaje corregido desde la administración.

Un esbozo más detallado:

- Calcula la ecuación implícita del cono que se obtiene uniendo el vértice \( V(0,0,1) \) con la curva \( C \). Para ello ten en cuenta que dado un punto \( (x_0,y_0,z_0) \) la recta que lo une con \( V \) es en paramétricas:

\( (x,y,z)=(0,0,1)+t(x_0,y_0,z_0-1) \)

 Interseca con \( x=2 \) y obtienes \( y=2/x_0 \). Y sustituyendo y simplificando en \( y^2+z^2=4 \) queda:

\( 4y_0^2+4(z_0-1)^2-3x_0^2+4x_0(z_0-1)=0 \)

 Por tanto la ecuación del cono es:

\( 4y^2+4(z-1)^2-3x^2+4x(z-1)=0 \)

 - Calcula la ecuación implícita de la superficie que unen la curva dada con el eje \( OZ \) por rectas paralelas al plano \( XY \). Para ello ten en cuenta que dado un punto \( (x_0,y_0,z_0) \) la recta que lo une con el eje \( OZ \) paralela al plano \( XY \) es:

\( (x,y,z)=(0,0,z_0)+t(x_0,y_0,0) \)

 Interseca con \( x=2 \) y obtienes \( y=2/x_0 \). Y sustituyendo y simplificando en \( y^2+z^2=4 \) queda:

\( 4y_0^2+x_0^2z_0^2=4x^2 \)

 Por tanto la ecuación de la segunda superficie es:

\( 4y^2+x^2z^2-4x^2=0 \)

 - Se trata de hallar la intersección de estas dos superficies:

\( 4y^2+4(z-1)^2-3x^2+4x(z-1)=0 \)
\( 4y^2+x^2z^2-4x^2=0 \)

 y proyectarla ortogonalmente sobre el plano \( XZ \). Para ello basta eliminar la variable \( y \) restando ambas ecuaciones:

\(  4(z-1)^2+4x(z-1)-x^2(z^2-1)=0 \)

 Equivale a:

\( (z-1)(4(z-1)+4x-x^2(z+1))=0 \)

 y así se desdobla en las curvas:

\( z-1=0 \)
\( 4(z-1)+4x-x^2(z+1)=0 \)

 Un gráfico de la situación:


 En verde el cono; en azul la otra superficie; en negro la curva original; en rojo la curva intersección.

Saludos.

¡Muy bien Luis!...pero seria preferible dejar la curva negra en rojo por ser también intersección de superficies.. ;)

Saludos

20
Hola

Hola! Tengo un ejercicio bastante largo de módulos, son un monton de ejercicios. Escogí estos porque sí los logros resolver voy a poder con el resto de los ejercicios.

Interpretar geométricamente y resolver

\( |x-1|-|x+5|=7 \)

En cuanto a la interpretación geométrica, ten en cuenta que \( |x-a|= \)distancia del punto \( a \) al punto \( x \)

Entonces lo que nos piden ahí es los puntos de la recta cuya distancia al \( 1 \) sea igual a su distancia al \( -5 \) más siete.



Pero si el punto está entre ambos puntos está claro que la distancia máxima posible entre ellos es \( 6 \): no puede ser \( 7 \).

En otro caso la diferencias de distancias de un punto a \( 1 \) y a \( -5 \) es siempre \( 6 \) y tampoco es \( 7 \).

Por eso no hay solución.

Algebraicamente para quitar los valores absolutos basta que consideres los casos:

1) \( x\leq -5 \)

Entonces \( x+5\leq 0 \) y \( |x+5|=-x-5 \). Además \( x-1\leq -5-1=6 \) y por tanto \( |x-1|=-(x-1). \) La ecuación queda:

\( -x+1-(-x-5)=7\quad \Leftrightarrow{}\quad 6=7 \) IMPOSIBLE

2) \( -5\leq x\leq 1 \)

Entonces \( x+5\geq 0 \) y \( |x+5|=x+5 \). Además \( x-1\leq 1-1=0 \) y por tanto \( |x-1|=-(x-1). \) La ecuación queda:

\( -x+1-(x+5)=7\quad \Leftrightarrow{}\quad -2x=11\quad \Leftrightarrow{}\quad x=-11/2 \)

Pero \( x=-11/2 \) no cumple \( -5\leq x\leq 1 \), por lo que no es solución.

3) \( x>1 \)

Entonces \( x+5\geq 1+5>0 \) y \( |x+5|=x+5 \). Además \( x-1\geq 1-1=0 \) y por tanto \( |x-1|=x-1. \) La ecuación queda:

\( x-1-(x+5)=7\quad \Leftrightarrow{}\quad -6=7 \) IMPOSIBLE

Citar
\( |x+2|\leq |x-3| \)

Esto corresponde a los puntos cuya distancia al punto \( -2 \) es mayor ...

Hola Luis, muy bien explicado.
Ojo ahí debe decir menor

Saludos

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