El enfoque que yo le daría sería el siguiente:
1º Considerar el prisma recto mínimo que contiene a todos los conos. Dicho prisma tendría por base un rectángulo de dimensiones (a+d)(b+d) siendo a y b las dimensiones del rectángulo del enunciado y d el diámetro de la base de los conos, y por altura, la altura de los conos, h. Dicho prisma contendría a todos los conos y por lo tanto su volumen
\( V_p=(a+d)(b+d)h \) (1)
sería una cota superior del volumen buscado.
2º Establecería a continuación una división del prisma obtenido en celdillas semejantes a él, a base de dividir cada una de sus dimensiones en n partes, de manera que el prisma total contuviera \( n^3 \) celdillas, cada una de ellas con un volumen:
\( v_n=\displaystyle\frac{V_p}{n^3} \) (2)
3º Establecería la red de puntos coincidentes con los centros geométricos de todas y cada una de las celdillas.
4º Consideraría una función k, (función en el sentido informático de la palabra) que determinara para cada celdilla un valor k=1 si su centro se encuentra bajo alguno de los conos y un valor k=0 si no está cubierto por ninguno de ellos.
5º Y a continuación realizaría la suma siguiente, extendida a todas las celdillas:
\( v_n\displaystyle\sum_{i=1}^{n^3}k_i \) (3)
siendo este valor una aproximación del volumen buscado tanto mejor cuanto mayor sea n. El límite cuando n tiende a infinito, sería el volumen buscado:
\( V=\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}v_n\displaystyle\sum_{i=1}^{n^3}k_i \) (4)
El cálculo resulta complicado para una persona, pero no lo es para un ordenador, y aunque los ordenadores no tienen demasiada facilidad para calcular límites, si tienen la posibilidad de realizar aproximaciones a él tan buenas como queramos (dentro de su capacidad, claro).
La mayor dificultad de este proceso es establecer la función k, pero si el paquete de conos es conocido y sus dimensiones también, entonces puede hacerse ya que sería un cálculo repetitivo para todos y cada uno de los conos, trabajo relativamente sencillo para un ordenador. El único inconveniente es que este método no te permite establecer una "expresión algebraica" que te devuelva el volumen mencionado, pero la fórmula, que era lo que pedías, ya la tienes, es la expresión (4). Si tienes interés en realizar un programa informático que te calcule ese volumen para cualquier número de conos, en todas sus variantes y dimensiones, podríamos llegar a un acuerdo, siempre que estuvieras dispuesto a pagar mi tiempo, claro. Es un programa relativamente sencillo, pero mi tiempo vale dinero.
Saludos, Jabato.