Rincón Matemático

Matemática => Geometría y Topología => Mensaje iniciado por: Agusss en 11 Diciembre, 2020, 11:55 pm

Título: Teorema de la Mariposa
Publicado por: Agusss en 11 Diciembre, 2020, 11:55 pm
Hola buenas tardes a todos, me gustaría poder interpretar el siguiente teorema dado que lo quiero presentar para mi instancia final de la materia, si bien comprendo los aspectos generales. Del punto 2 al punto 3, quisiera saber porque empieza de esa forma.
 Entiendo que hasta el punto dos, todas las igualaciones que realizo por semejanza vienen compartiendo una razon de r/s


(https://i.postimg.cc/0ypxQ6xt/butterfly.png) (https://postimages.org/)
Título: Re: Teorema de la Mariposa
Publicado por: ciberalfil en 12 Diciembre, 2020, 01:09 am
Y qué es lo que no entiendes?
Título: Re: Teorema de la Mariposa
Publicado por: Luis Fuentes en 12 Diciembre, 2020, 10:33 am
Hola

 No acabo de entender tu duda. Aquí tienes la explicación completa (aunque supongo que la has visto):

http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/Teor_Mariposa.html

 ¿Exactamente qué igualdad no entiendes?.

Saludos.
Título: Re: Teorema de la Mariposa
Publicado por: feriva en 12 Diciembre, 2020, 11:05 am
Hola

 No acabo de entender tu duda. Aquí tienes la explicación completa (aunque supongo que la has visto):

http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/Teor_Mariposa.html

 ¿Exactamente qué igualdad no entiendes?.

Saludos.

Creo que se refiere a que no ve cómo usa \( \angle A=\angle C
  \) y \( \angle B=\angle D
  \) (te lo digo porque yo mismo, sin mirar mucho más, tampoco caigo ahora).

Saludos.
Título: Re: Teorema de la Mariposa
Publicado por: Luis Fuentes en 12 Diciembre, 2020, 11:08 am
Hola

Creo que se refiere a que no ve cómo usa \( \angle A=\angle C
  \) y \( \angle B=\angle D
  \) (te lo digo porque yo mismo, sin mirar mucho más, tampoco caigo ahora).

Lo usa cuando afirma que los triángulos \( ARE \) y \( CSG \) son semejantes; y también \( DRF \) y \( BSH \).

Saludos.
Título: Re: Teorema de la Mariposa
Publicado por: feriva en 12 Diciembre, 2020, 11:12 am

Lo usa cuando afirma que los triángulos \( ARE \) y \( CSG \) son semejantes; y también \( DRF \) y \( BSH \).

Saludos.

Ah, ya lo veo. Muchas gracias.

Saludos.
Título: Re: Teorema de la Mariposa
Publicado por: Agusss en 12 Diciembre, 2020, 07:49 pm
No, me refiero a porque por ejemplo parte de r cuadrado, siendo q en el punto anterior estaba con las relaciones de semejanza. Digamos todo el punto 3 es lo que me esta costando, dado que empieza la explicación a partir del 4to signo igual,como dice ahi.
Título: Re: Teorema de la Mariposa
Publicado por: Agusss en 13 Diciembre, 2020, 01:14 am
Esto es una posible interpretacion y solucion que obtuve, me gustaria saber si el lenguaje esta bien utilizado y algunas cosas que explico son necesarias para mi entender un poco mejor tal teorema.

(https://i.postimg.cc/xcnY81hN/butterfly-1.png) (https://postimg.cc/xcnY81hN)
1)A medida que comenzamos a trazar, podemos deducir que las cuerdas que pasan por M (AB y CD) forman ángulos congruentes por ser Op. Vertice. Luego son cortados por la cuerda PQ determinando dos pares de ángulos congruentes. Estos son:
(https://i.postimg.cc/dZ9brGpk/butterfly-2.png) (https://postimg.cc/dZ9brGpk)

2)Trazo dos pares de rectas perpendiculares a AB y CD que pasen por X, y pasen por Y.
(https://i.postimg.cc/qgXqjSdn/butterfly-3.png) (https://postimg.cc/qgXqjSdn)

3) Establecemos que los triangulos son semejantes (El mismo paso al tutorial de geogebra, solo modifico las letras).
4)Multiplicando obtenemos (¿La multiplicación en este caso se da porque voy a intentar buscar una solucion a la demostracion, o se da por alguna propiedad en particular, es decir, porque multiplico estos segmentos?)
\( \frac{x^{2}}{y^{2}}=\frac{X_1.X_2}{Y_1.Y_2}=\frac{AX.XD}{CY.YB} \)
 A partir de este momento podemos establecer una relacion entre la potencia de un punto respecto a una circunferencia y nuestro desarrollo (Seria el punto X por un lado y el punto Y por el otro)
Ayudandome con la definicion de potencia:
\( Pot(X,C)=XA.XD=PX.XQ //
 Pot (Y,C)=YC.YB=YQ.YP \)
Dado que es una igualdad:

\( \frac{x^{2}}{y^{2}}=\frac{X_1.X_2}{Y_1.Y_2}=\frac{AX.XD}{CY.YB}=\frac{PX.XQ}{YQ.YP} \)
6) Por definicion algebraica de potencia (Lo vimos asi en la cursada, no se si tiene otro nombre)
Pot(X,C)= PX.XQ=ZX.Z´X         Donde: XO=d; ZX=r-d;  Z´X=r+d

Bien a partir de aca es donde me pierdo por lo siguiente, adjunto la imagen que representa mejor lo que quiero plantear.
(https://i.postimg.cc/XpY5F4yX/IMG-20201212-202845289.jpg) (https://postimg.cc/XpY5F4yX)
Lo que intente primero es ver de donde salia una de las relaciones trabajadas anteriormente, (la de usar d+r y d-r) al trazar una secante que pase por el centro puedo establecer la relacion de potencia con mi punto x e y respectivamente. Mi problema es el siguiente, si bien los radios son los mismos dado que estamos en la misma circunferencia, las distancias (d) no lo son, o bien,¿ que páso me estoy salteando para determinar que las (d) son las mismas?.
Y por ultimo en el tutorial establece que
\( \frac{d^{2}-r^{2}}{d^{2}-s^{2}} \)
¿Según lo que entiendo de potencia, viene a ser la distancia desde el punto al centro (d) y el radio (r), pero en esto que pone el r y s no serian el radio
Pd: Disculpe si me extiendo en algunos conceptos pero trato de entenderlo para poder aplicarlo. Muchas gracias a todos!
Título: Re: Teorema de la Mariposa
Publicado por: Luis Fuentes en 13 Diciembre, 2020, 09:56 am
Hola

Lo que intente primero es ver de donde salia una de las relaciones trabajadas anteriormente, (la de usar d+r y d-r) al trazar una secante que pase por el centro puedo establecer la relacion de potencia con mi punto x e y respectivamente. Mi problema es el siguiente, si bien los radios son los mismos dado que estamos en la misma circunferencia, las distancias (d) no lo son, o bien,¿ que páso me estoy salteando para determinar que las (d) son las mismas?.
Y por ultimo en el tutorial establece que
\( \frac{d^{2}-r^{2}}{d^{2}-s^{2}} \)
¿Según lo que entiendo de potencia, viene a ser la distancia desde el punto al centro (d) y el radio (r), pero en esto que pone el r y s no serian el radio

Desde el principio se dice que \( d=PM=MQ \) (esos dos segmentos miden lo mismo porque por hipótesis \( M \) es el punto medio de \( PQ \)).

Entonces si te fijas en el punto \( R \), por potencia de un punto tienes que:

\( AR\cdot RD=PR\cdot QR \)

Pero:

\( PR=PM-MR=d-r \)
\( QR=MR+MQ=r+d \)

Lo análogo con el otro punto.

Saludos.

P.D. Creo que en el dibujo de geogebra podrías mover el punto \( A \) para que los triángulos \( ADM \) y \( CMB \) no sean tan parecidos. Creo que despista.
Título: Re: Teorema de la Mariposa
Publicado por: Agusss en 13 Diciembre, 2020, 06:34 pm
Citar
Pero:

\( PR=PM−MR=d−r \)
\( QR=MR+MQ=r+d \)

Lo análogo con el otro punto.

Entiendo este punto que planteas, pero creo que no logro llevar mas alla el concepto de potencia.
 Si tomo a R como el punto por el cual voy a trabajar la potencia, segun el segmento PQ, ¿como me doy cuenta cual es la d para aplicar potencia. ¿La d siempre se refiere a la distancia entre mi punto y el punto medio del segmento? donde se encuentre en este caso r (dado que es interior). Y en ese caso, cuando trabajo con potencia de un punto aparece r que esta asociado al radio, en este segmento PQ, no tengo un valor de radio.
 Segun tu caso decis que PM-MR=d-r, estas diciendo que MR es radio de la circunferencia?
Título: Re: Teorema de la Mariposa
Publicado por: Luis Fuentes en 13 Diciembre, 2020, 07:40 pm
Hola

Entiendo este punto que planteas, pero creo que no logro llevar mas alla el concepto de potencia.
 Si tomo a R como el punto por el cual voy a trabajar la potencia, segun el segmento PQ, ¿como me doy cuenta cual es la d para aplicar potencia. ¿La d siempre se refiere a la distancia entre mi punto y el punto medio del segmento? donde se encuentre en este caso r (dado que es interior). Y en ese caso, cuando trabajo con potencia de un punto aparece r que esta asociado al radio, en este segmento PQ, no tengo un valor de radio.
 Segun tu caso decis que PM-MR=d-r, estas diciendo que MR es radio de la circunferencia?

Creo que te estás liando.

En primer lugar la potencia de un punto es simplemente lo siguiente. Si tu FIJAS un punto \( R \) de la circunferencia y tomas cualquier CUERDA por \( R \), el producto de las distancias de los punto de corte de la cuerda con \( R \) es constante, no depende de la cuerda elegida.

Entonces no hay que "darse cuenta de nada" eso es lo único que se usa en esta igualdad:

\( AR\cdot RD=PR\cdot QR \)

Después creo que te estás liando con el uso de \( d \) y de \( r \); está ultima, \( r \), NO TIENE NADA QUE VER CON EL RADIO DE LA CIRCUNFERENCIA.

Fíjate simplemente a los nombres que se le han dado a las cosas:

\( d \) es la distancia \( PM \) o \( MQ \) (por hipótesis son la misma).
\( r \) es la distancia \( RM \), NADA QUE VER con el RADIO.

Teniendo en cuenta eso vuelve a leer mi anterior respuesta.

Saludos.
Título: Re: Teorema de la Mariposa
Publicado por: Agusss en 13 Diciembre, 2020, 08:42 pm
Citar
Fíjate simplemente a los nombres que se le han dado a las cosas:

d es la distancia PM o MQ (por hipótesis son la misma).
r es la distancia RM, NADA QUE VER con el RADIO.
Si, exacto!. Muchísimas gracias me estaba liando con la r de la distancia y la r del radio. Muchísimas gracias!!

Dejo la continuación, lo que seria el final, por si alguno le interesa en un futuro.
Continuando el punto 6)
6) \( \frac{x^{2}}{y^{2}}=\frac{X_1X_2 }{Y_1Y_2}=\frac{AX.XD}{CY.YB}=\frac{PX.XQ}{YQ.YP} \)
7) Por hipotesis tengo que PM=QM por lo tanto lo llamo d, i.e, d=PM=QM. A su vez, x=Distancia de X a M e y= Distancia de M a Y.
IMPORTANTE: Las letras que utilizo en mi demostración están cambiadas con respecto a la demostrada por Ignacio Larrosa Cañestro
8) Reemplazando con la ayuda de la definicion de la potencia del punto x e y tengo que.
Pot (X,C)=PX.XQ
PX=PM-XM=d-x (punto 7)
XQ=XM+MQ= x+d (punto 7)
Entonces tengo que: \( PX.XQ= (d-x).(d+x)=d^{2}-x^{2} \)
Analogamente se demuestra que \( PY.YQ=(d+y).(d-y) \)
9) Reemplazo en mi ecuacion
\( \frac{x^{2}}{y^{2}}=\frac{X_1X_2 }{Y_1Y_2}=\frac{AX.XD}{CY.YB}=\frac{PX.XQ}{YQ.YP}=\frac{d^{2}-x^{2}}{d^{2}-y^{2}} \)
10) Resuelvo aplicando distributiva, etc.
11) Llego a que x=y C.Q.D
Pd: Intento ser ordenado con el lenguaje de LATEX pero algunas cosas quizás se me escapen, sepan disculpar. Gracias nuevamente.