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Matemática => Geometría y Topología => Mensaje iniciado por: Julio_fmat en 20 Noviembre, 2020, 06:42 pm

Título: Ecuaciones paramétricas y cartesianas de una suma de subespacios
Publicado por: Julio_fmat en 20 Noviembre, 2020, 06:42 pm
En \( \mathbb{P}_{\mathbb{C}}^5 \) sean \( \Lambda_1: x_0=x_1=x_2=0 \), \( \Lambda_2: x_1-x_2=x_4=x_5=0 \), \( \Lambda_3: x_0=x_2=x_1-x_3=x_3-x_5=0 \) tres subespacios lineales proyectivos. Hallar las ecuaciones paramétricas y cartesianas de \( \Lambda_1+\Lambda_2 \).

Hola, ya lo había preguntado en otro hilo, pero no me quedo claro. Gracias por su comprensión.
Título: Re: Ecuaciones paramétricas y cartesianas de una suma de subespacios
Publicado por: mg en 23 Noviembre, 2020, 02:33 pm
Buenas,

Lo primero que debes hacer es calcular una base de \( \lambda_1 \) y otra de \( \lambda_2 \). La suma \( \lambda_1+\lambda_2 \) vendrá dada por una base formada por los elementos de las bases anteriormente calculadas. A partir de ahí solo sería necesario calcular las implícitas y las paramétricas.

Un saludo
Título: Re: Ecuaciones paramétricas y cartesianas de una suma de subespacios
Publicado por: Julio_fmat en 23 Noviembre, 2020, 04:10 pm
Buenas,

Lo primero que debes hacer es calcular una base de \( \lambda_1 \) y otra de \( \lambda_2 \). La suma \( \lambda_1+\lambda_2 \) vendrá dada por una base formada por los elementos de las bases anteriormente calculadas. A partir de ahí solo sería necesario calcular las implícitas y las paramétricas.

Un saludo

Muchas Gracias mg. Mi duda es como calcular las bases de \( \Lambda_1 \) y \( \Lambda_2 \), puedes ayudarme?  :banghead:
Título: Re: Ecuaciones paramétricas y cartesianas de una suma de subespacios
Publicado por: mg en 23 Noviembre, 2020, 04:44 pm
Hola,

Antes de calcular una base, es útil saber que dimensión tiene el subespacio proyectivo que estamos estudiando. Como \( \lambda_1 \) tiene 3 ecuaciones implícitas y el espacio proyectivo en que trabajamos tiene dimensión 5, entonces entonces existen 3 puntos proyectivos que forman la base de \( \lambda_1 \), pues su dimensión es 2. Ahora bien se observa que los puntos \( (0:0:0:1:0:0),(0:0:0:0:1:0),(0:0:0:0:0:1)\in{}\lambda_1\subseteq{}\mathbb{P}^5 \) y además son proyectivamente independientes, por tanto forman una base de dicha variedad proyectiva.

Trata ahora de calcular una base para \( \lambda_2 \).

Un saludo.
Título: Re: Ecuaciones paramétricas y cartesianas de una suma de subespacios
Publicado por: Julio_fmat en 23 Noviembre, 2020, 05:08 pm
Muchas Gracias mg, pero no entiendo como calcular la base \( \Lambda_2 \)... Me puedes ayudar?
Título: Re: Ecuaciones paramétricas y cartesianas de una suma de subespacios
Publicado por: mg en 23 Noviembre, 2020, 05:42 pm
Hola,

Ten en cuenta que las implicitas y las paramétricas de una variedad proyectiva y su variedad lineal asociada coinciden, por tanto, si calculas una base de la variedad lineal asociada también tendrás una base de la variedad proyectiva.

Título: Re: Ecuaciones paramétricas y cartesianas de una suma de subespacios
Publicado por: Julio_fmat en 23 Noviembre, 2020, 05:56 pm
Hola,

Ten en cuenta que las implicitas y las paramétricas de una variedad proyectiva y su variedad lineal asociada coinciden, por tanto, si calculas una base de la variedad lineal asociada también tendrás una base de la variedad proyectiva.

Gracias, pero como calculas \( \Lambda_2 \)?
Título: Re: Ecuaciones paramétricas y cartesianas de una suma de subespacios
Publicado por: mg en 23 Noviembre, 2020, 06:40 pm
Hola,

Considera la variedad lineal vectorial \( L\subseteq{}\mathbb{C}^5 \) tal que \( \pi(L)=\lambda_2 \). Donde \( \pi:\mathbb{C}^5\longrightarrow{}\mathbb{P}^5(\mathbb{C}) \) es la aplicación de proyección natural al espacio proyectivo. Esta variedad lineal vectorial\( L \), tiene ecuaciones implícitas \( \left\{{x_1-x_2=x_4=x_5=0}\right\} \). Ahora todo se reduce a calcular una base de una variedad lineal vectorial (o bien subespacio vectorial).
Título: Re: Ecuaciones paramétricas y cartesianas de una suma de subespacios
Publicado por: Julio_fmat en 23 Noviembre, 2020, 07:00 pm
Muchas Gracias mg, pero tengo una duda, al tener

\( \Lambda_1=\left<{(0,0,0,1,0,0),(0,0,0,0,1,0),(0,0,0,0,0,1)}\right> \)

\( \Lambda_2=\left<{(1,0,0,0,0,0),(0,1,1,0,0,0), (0,0,0,1,0,0)}\right> \)

¿Cual es el vector que se elimina en \( \Lambda_1+\Lambda_2 \)? Y porque?
Título: Re: Ecuaciones paramétricas y cartesianas de una suma de subespacios
Publicado por: Julio_fmat en 23 Noviembre, 2020, 07:03 pm
Ya lo tengo, es el vector \( (0,0,0,1,0,0) \)...
Título: Re: Ecuaciones paramétricas y cartesianas de una suma de subespacios
Publicado por: mg en 23 Noviembre, 2020, 07:10 pm
Hola,

efectivamente se elimina porque es un vector linealmente dependiente(y buscamos una base), por tanto, el punto proyectivo \( \pi((0,0,0,1,0,0))=(0:0:0:1:0:0) \) es proyectivamente dependiente.
Título: Re: Ecuaciones paramétricas y cartesianas de una suma de subespacios
Publicado por: Luis Fuentes en 26 Noviembre, 2020, 01:08 pm
Hola

En \( \mathbb{P}_{\mathbb{C}}^5 \) sean \( \Lambda_1: x_0=x_1=x_2=0 \), \( \Lambda_2: x_1-x_2=x_4=x_5=0 \), \( \Lambda_3: x_0=x_2=x_1-x_3=x_3-x_5=0 \) tres subespacios lineales proyectivos. Hallar las ecuaciones paramétricas y cartesianas de \( \Lambda_1+\Lambda_2 \).

Hola, ya lo había preguntado en otro hilo, pero no me quedo claro. Gracias por su comprensión.

¿Y por qué no preguntas las dudas en el hilo inicial? Es tan sencillo como ir a tu perfil, mostrar tus mensajes y con mucha paciencia buscarlo. Lo he hecho yo. Lo has repetido DOS veces:

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=114674.msg454734#msg454734

https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=114384.0

En el segundo enlace viene la respuesta a lo que preguntas. Si no lo entiendes expón allí tus dudas.

Saludos.