[Delvalle]

Es que me estoy guiando por el enlace que me dieron y aún así lo hago mal

[Fernando Revilla]

Es que me estoy guiando por el enlace que me dieron y aún así lo hago mal

Puedes comentar qué exactamente no entiendes de los apartados resueltos en tal enlace.

[Delvalle]

Chicos es que ni siquiera sé lo que  estoy haciendo. Por favor necesito que me ayuden a resolverlos. Simplemente hice todo lo que creí correcto pero soy un desastre, ya se fijaron en todo lo absurdo que hice.
 Si \( x \in{} A \cup{}B \) entonces \( \chi \ ( A \cup{}B \ (x)=1 \)
Entonces :
\( x \in{}A\cap{}B \rightarrow{} \chi _ A \ (x ) + \chi_ B \ ( B ) - \chi
 _A \ (x) * \chi _ B \ (x )= x \in{} A \) y \( x \not\in B \rightarrow{} \chi _A \ (x )+ \chi _B \ (x)- \chi _A \ ( x) * \chi _B \ (x ) \)

Si \( x \not\in A \cup{}B \)  entonces
\( \chi _{A \cup{} B} \ ( x)= 0 \) dado que \( x \not\in A \) y \( x\not\in B \)
\( \chi _A \ (x) + \chi _B \ (x)- \chi _A \ (x) * \chi _B \ (x )= 0 + 0 - 0*0 \)
Por tanto, \( \forall{}x \in{} \chi \) se verifica
\( \chi _{A \cup{}B} \ (x ) = \chi _A \ (x) + \chi _B \ (x)- \chi _A \ (x) * \chi _B \ (x ) \) lo cual implica que \( \chi _{A \cup{}B} =\chi _A  + \chi _B -  \chi _A * \chi _B   \)

B) \( \chi _{A \cap{}B} = \chi _A * \chi _B \)
\( x \in{} A \cap{}B \rightarrow{} x \in A \) y \( x \in{}B \rightarrow{} \chi _{A \cap{}B} \ (x) =1 \)

Si \( x \in{} A \cap{}B \) entonces:
\( \chi _{A \cap{} B} \ (x) = \chi _A \ (x) \chi _B \ (x) \)
Por otra parte
\( x \not\in A \cap{} B \rightarrow{} x \not\in{} A \)  o \( x \not\in B \rightarrow{} \chi _ {A \cap{}B} \ (x) =0 \)
Por tanto si
\( x \not\in A \cap{} B \)
También
\( \chi _{A \cap{}B} \ (x) = \chi _ A \ (x) \chi _B \ (x) \)
Concluyendo que \( \chi _{A \cap{}B} = \chi _A * \chi _B \)

La parte \( c \) tampoco está correcta? En verdad necesito ayuda amigos.

[Luis Fuentes]

Hola

Chicos es que ni siquiera sé lo que  estoy haciendo.

Pues eso no puede ser; entonces no pongas varios apartados y céntrate en uno. E intenta entender.

Por otra parte es bueno que te acostumbres a escribir PALABRAS no sólo fórmulas y símbolos, para explicar lo que haces.

Me centro en una. Quieres probar que:

\( \chi_{A\cup B}(x)= \chi _A \ (x )+ \chi _B \ (x)- \chi _A \ ( x) * \chi _B \ (x ) \)

Fíjate que ambos términos (el de la derecha y el de la izquierda) son funciones; que sean iguales quiere decir que lo son para cualquier valor de la variable \( x \).

 Por otra parte las funciones implicadas son funciones características; sólo toman dos valores; el uno sobre el conjunto que se indica como subíndice y el cero fuera de el.

 Como aparecen las funciones características de \( A, B \) y \( A\cup B \), distinguimos varios casos dependiendo de si la variable pertenece o no a esos conjuntos.

 1) Cuando \( x\in A \) y también \( x\in B \), y por tanto también \( x\in A\cup B \).

En ese caso:

\( \chi_{A\cup B}(x)=1 \) porque \( x\in A\cup B \)
\( \chi_{A}(x)=1 \) porque \( x\in A \)
\( \chi_{B}(x)=1 \) porque \( x\in B \)

Entonces el término de la izquierda de la igualdad que queremos probar queda:

\( \chi_{A\cup B}(x)=1 \)

y el de la derecha:

\(  \chi _A \ (x )+ \chi _B \ (x)- \chi _A \ ( x) * \chi _B \ (x )=1+1-1\cdot 1=1 \)

¡Dan lo mismo!

Continuamos con las siguiente posibilidades:

 2) Cuando \( x\in A \) pero \( x\\not\in B \), y por tanto también \( x\in A\cup B \) (ya que si \( x\in A \), está en la unión de \( A \) con cualquier cosa).

En ese caso:

\( \chi_{A\cup B}(x)=1 \) porque \( x\in A\cup B \)
\( \chi_{A}(x)=1 \) porque \( x\in A \)
\( \chi_{B}(x)=0 \) porque \( x\not\in B \)

Entonces el término de la izquierda de la igualdad que queremos probar queda:

\( \chi_{A\cup B}(x)=1 \)

y el de la derecha:

\(  \chi _A \ (x )+ \chi _B \ (x)- \chi _A \ ( x) * \chi _B \ (x )=1+0-1\cdot 0=1 \)

¡Dan lo mismo!

 3) Cuando \( x\not\in A \) pero \( x\in B \), y por tanto también \( x\in A\cup B \) (ya que si \( x\in B \), está en la unión de \( B \) con cualquier cosa).

 Termínalo...

 4) Cuando \( x\not\in A \) y \( x\not\in B \), y por tanto también \( x\not\in A\cup B \).

 Complétalo...
 
 Haz lo que falta de esta primera propiedad; cuando la hayas entendido por completo, pasa a las siguientes.

Saludos.

[Delvalle]

Para el punto 4) si \(  x  \not\in A
\cup B  \) , entonces \( \chi _{A \cup B }(x) = 0 \) dado que

\( \displaystyle x \not\in A \) y \( \displaystyle x \not\in B \)

\( \displaystyle \chi _A(x)+ \chi _B(x) - \chi _A(x)* \chi _B(x) = 0+0-0*0= 0 \)

Por tanto

\(  \displaystyle \forall x \in X \) se verifica

\( \displaystyle \chi  _{A \cup B}(x) = \chi _A(x) + \chi _B(x) - \chi _A(x) * \chi _B(x) \)

Lo cual implica que

\(  \displaystyle \chi _{A \cup B} = \chi _A + \chi _B - \chi _A * \chi _B \)

b) \( \displaystyle \chi _{A \cap B}= \chi _A * \chi _B \)

\( \displaystyle x \in A \cap B \Rightarrow x \in A \vee x \in B \Rightarrow  \chi _{A \cap B}(x) =1 \vee \chi _A(x) = 1 \vee \chi _B(x) =1 \)

Es decir, si \( \displaystyle x \in A \cap B \) entonces
\( \displaystyle \chi _{A \cap B}(x)= \chi _A(x) \chi _B(x) \)

Por otra parte

\( \displaystyle x \not\in A \cap B \Rightarrow  x \not\in A \vee x \not\in B \Rightarrow \chi _{A \cap B}(x) = 0 \vee ( \chi _A(x) = 0 \vee \chi _B(x)= 0) \)

Por tanto, si \( \displaystyle x \not\in A \cap B \) también

\( \displaystyle  \chi _{A \cap B}(x) = \chi _A(x) \chi _B(x) \)
Concluimos que

\( \displaystyle \chi _{A \cap B}=
\chi _A * \chi _B  \)

Para c)
\( \displaystyle \chi _{A^c} =1 - \chi _A  \)

Tenemos

\( \displaystyle x \in A \Rightarrow x \not\in A^c  \Rightarrow  \chi _A(x) =1 \vee \chi _{A^c}(x) = 0 \Rightarrow  \chi _{A^c}(x) = 1 - \chi _A(x) \)

\( \displaystyle x  \not\in A \Rightarrow x \in A^c \Rightarrow \chi _A(x) = 0 \vee  \chi _{A^c}(x)=1 \Rightarrow \chi _{A^c}(x) = 1 - \chi _A(x) \)

Cómo \(  \displaystyle \chi _{A^c}(x) = 1 - \chi _A(x) \) para todo \( \displaystyle x \in X \) concluimos que \( \displaystyle \chi _{A^c} = 1 - \chi _A \)

Es correcto?

Cómo queda la parte d) y e) por favor ayúdame con esos puntos

[Luis Fuentes]

Hola

Para el punto 4) si \(  x  \not\in A
\cup B  \) , entonces \( \chi _{A \cup B }(x) = 0 \) dado que

\( \displaystyle x \not\in A \) y \( \displaystyle x \not\in B \)

\( \displaystyle \chi _A(x)+ \chi _B(x) - \chi _A(x)* \chi _B(x) = 0+0-0*0= 0 \)

Por tanto

\(  \displaystyle \forall x \in X \) se verifica

\( \displaystyle \chi  _{A \cup B}(x) = \chi _A(x) + \chi _B(x) - \chi _A(x) * \chi _B(x) \)

Lo cual implica que

\(  \displaystyle \chi _{A \cup B} = \chi _A + \chi _B - \chi _A * \chi _B \)

Bien, pero te falta el punto (3).

b) \( \displaystyle \chi _{A \cap B}= \chi _A * \chi _B \)

\( \displaystyle x \in A \cap B \Rightarrow x \in A \vee x \in B \Rightarrow  \chi _{A \cap B}(x) =1 \vee \chi _A(x) = 1 \vee \chi _B(x) =1 \)

Es decir, si \( \displaystyle x \in A \cap B \) entonces
\( \displaystyle \chi _{A \cap B}(x)= \chi _A(x) \chi _B(x) \)

Por otra parte

\( \displaystyle x \not\in A \cap B \Rightarrow  x \not\in A \vee x \not\in B \Rightarrow \chi _{A \cap B}(x) = 0 \vee ( \chi _A(x) = 0 \vee \chi _B(x)= 0) \)

Por tanto, si \( \displaystyle x \not\in A \cap B \) también

\( \displaystyle  \chi _{A \cap B}(x) = \chi _A(x) \chi _B(x) \)
Concluimos que

\( \displaystyle \chi _{A \cap B}=
\chi _A * \chi _B  \)

Para c)
\( \displaystyle \chi _{A^c} =1 - \chi _A  \)

Tenemos

\( \displaystyle x \in A \Rightarrow x \not\in A^c  \Rightarrow  \chi _A(x) =1 \vee \chi _{A^c}(x) = 0 \Rightarrow  \chi _{A^c}(x) = 1 - \chi _A(x) \)

\( \displaystyle x  \not\in A \Rightarrow x \in A^c \Rightarrow \chi _A(x) = 0 \vee  \chi _{A^c}(x)=1 \Rightarrow \chi _{A^c}(x) = 1 - \chi _A(x) \)

Cómo \(  \displaystyle \chi _{A^c}(x) = 1 - \chi _A(x) \) para todo \( \displaystyle x \in X \) concluimos que \( \displaystyle \chi _{A^c} = 1 - \chi _A \)

Es correcto?

Bien.

Cómo queda la parte d) y e) por favor ayúdame con esos puntos

Para (d) distingue:

- Cuando \( x\in B \) (y por tanto \( x\not\ni A-B \))-
- Cuando \( x\not\in B \) pero \( x\in A \).
- Cuando \( x\not\in B \) y \( x\not\in A \).

Para (e) recuerda que la diferencia simétrica de dos conjuntos es la unión menos la intersección de ambos conjuntos.

Distingue:

- Cuando \( x\in A\cap B \).
- Cuando \( x\in A \), pero \( x\not\in B \).
- Cuando \( x\not\in A \), pero \( x\in B \).
- Cuando \( x\not\in A \) y \( x\not\in B \).

Saludos.

[Delvalle]

Hola amigos,
 estás partes resaltadas me dicen que la primera no es verdad y la segunda tampoco es cierta, entonces cuál es la forma correcta? De verdad ya no sé qué más hacer.
Necesito de su ayuda por favor

b) \( \displaystyle \chi _{A \cap B}= \chi _A * \chi _B \)

\( \displaystyle x \in A \cap B \Rightarrow \) \(  x \in A \vee x \in B  \) \( \Rightarrow  \chi _{A \cap B}(x) =1 \vee \chi _A(x) = 1 \vee \chi _B(x) =1 \)

Es decir, si \( \displaystyle x \in A \cap B \) entonces
\( \displaystyle \chi _{A \cap B}(x)= \chi _A(x) \chi _B(x) \)

Por otra parte

\( \displaystyle x \not\in A \cap B \Rightarrow  \)\(  x \not\in A \vee x \not\in B  \)\Rightarrow \chi _{A \cap B}(x) = 0 \vee ( \chi _A(x) = 0 \vee \chi _B(x)= 0)[/tex]

Por tanto, si \( \displaystyle x \not\in A \cap B \) también

\( \displaystyle  \chi _{A \cap B}(x) = \chi _A(x) \chi _B(x) \)
Concluimos que

\( \displaystyle \chi _{A \cap B}=
\chi _A * \chi _B  \)

[Luis Fuentes]

Hola

Hola amigos,
 estás partes resaltadas me dicen que la primera no es verdad y la segunda tampoco es cierta, entonces cuál es la forma correcta? De verdad ya no sé qué más hacer.
Necesito de su ayuda por favor

Fijarte y querer entender el fondo por encima de la forma.

Son errores menores y en parte por usar simbolitos en lugar de palabras.

En el primer caso:

\( \displaystyle x \in A \cap B \Rightarrow \) \(  x \in A \vee x \in B  \) \( \Rightarrow  \chi _{A \cap B}(x) =1 \vee \chi _A(x) = 1 \vee \chi _B(x) =1 \)

es:

\( \displaystyle x \in A \cap B \Rightarrow \) \(  x \in A \wedge x \in B  \) \( \Rightarrow  \chi _{A \cap B}(x) =1 \wedge \chi _A(x) = 1 \wedge \chi _B(x) =1 \)

 Porque estar en la intersección es estar al mismo tiempo en los dos conjuntos: en uno Y en otro.

 Entonces puedes usar Y en lugar de \( \wedge \) y Ó en lugar de \( \vee \).

\( \displaystyle x \not\in A \cap B \Rightarrow  \)\(  x \not\in A \vee x \not\in B  \)

 Eso sin embargo está bien; que NO esté en la intersección significa que no está en uno Ó no está en el otro conjunto.

Saludos.

[Delvalle]

\( \displaystyle x \not\in A \cap B \Rightarrow  \)\(  x \not\in A \vee x \not\in B  \)

 

Eso sin embargo está bien; que NO esté en la intersección significa que no está en uno Ó no está en el otro conjunto.

Saludos.

Exacto, lo mismo pienso, pero ėl profesor me señaló que eso no es cierto, pero en clases vamos a discutir nuevamente el tema, quiero ver cuáles son sus argumentos.
Gracias por tanta ayuda y perdón por aveces sacarlos de sus casillas.