No te preocupes, todo es un poco lioso hasta que se pilla el truco.
1) No debes confundir \( \{x,y\} \) con \( (x,y) \). En el primer caso tenemos un conjunto de dos elementos \( x \) e \( y \) y al ser un conjunto además da lo mismo como dije antes escribirlo \( \{y,x\} \). Ahora bien (x,y) es otro concepto: De manera general si tienes dos conjuntos \( X \) e \( Y \), el par ordenado es un nuevo elemento que creamos tomando un elemento del primer conjunto, llamada primera proyección y otro elemento del segundo conjunto , llamado segunda proyección y que representamos (x,y), y al conjunto de todos los pares ordenados que podemos formar definen el conjunto producto cartesiano de \( X \) e \( Y \) y se representa \( XxY \).
Por ejemplo si \( X=\{1\} \) e \( Y=\{a,b\} \), nuestro nuevo conjunto de pares ordenados seria \( \{(1,a),(1,b)\} \). Nota por ejemplo que no existe el par ordenado \( (a,1) \), así puedes ver que (x,y) no es lo mismo que (y,x).
Ahora bien suele pasar a veces que los conjuntos \( X \) e \( Y \), sean idénticos, y el conjunto producto cartesiano se suele representar así \( X^2 \), en vez de \( XxX \). Por supuesto lo puedes generalizar para hacer productos cartesianos de más conjuntos.
2) Cuando haces relaciones, lo que relaciones son elementos de un conjunto consigo mismo. El problema especifica que la relación es en \( NxN \), o si lo prefieres \( N^2 \), es decir, los elementos de ese conjunto son pares ordenados. Ahora cuando representamos la relación de dos elementos podemos escribir \( xRy \) pero teniendo en mente que uno de esos elementos es de la forma del conjunto en que establecemos la relación, es decir, \( (x,y) \). Pero para desarrollarlo desde luego escribimos \( (x,y)R(x',y') \).
3) Por ultimo date cuanta que una relación es un subconjunto de producto cartesiano del conjunto que estas relacionando consigo mismo. es decir, en este caso el producto cartesiano de un conjunto que ya es un un producto cartesiano. Un poco lioso en palabras, pero si consideras el ejemplo anterior, imagínate que hacemos una relación en el conjunto \( \{(1,a),(1,b)\} \). El producto cartesiano de el con el mismo es el siguiente: \( \{((1,a),(1,b)),((1,a),(1,a)),((1,b),(1,b)),((1,b),(1,a)) \} \). Una relación es un subconjunto de ese conjunto, es decir cuando te dan una regla que combina dos elementos, al final puede resultar que están relacionados o no. Pues el conjunto de elementos relacionados, es un subconjunto de ese producto cartesiano.
4) Un ejemplo sobre esto de Max. Como tu sabes tus elementos son pares ordenados : \( (0,0) \),\( (1,0) \),\( (2,0) \),..etc. y en general cualquier combinación que se te ocurra \( (x,y) \) \( x,y \in N \)
Ahora veamos por ejemplo que quiere decir \( (0,0)R(2,0) \). Si aplicamos la regla que los relaciona dice que si \( Max(\{0\})=Max(\{2,0\}) \), estos están relacionados. en el término de la izquierda el máximo es \( 0 \), y en el término de la derecha es \( 2 \); Por tanto no están relacionados.
Ahora por ejemplo veamos la simetría, si \( (1,0) R(0,1) \). Lo cual es cierto porque \( Max\{0,1\}= Max\{0,1\}=1 \), entonces al relacionar (\( 0,1) R(1,0) \), aplicando la regla sale lo mismo \( Max\{0,1\}= Max\{0,1\}=1 \). Puede parecer una tontería, pero sólo es seguir la regla. y como dije antes a veces en vez de dar una regla simplemente podrían dar un conjunto, y la regla seria que si el par ordenado de dos elementos está en ese subconjunto, estarían relacionados y sino no lo estan.
