[feriva]

Hola, profesor. Estoy de acuerdo aunque pueda no parecerlo, lo que pasa es que a veces no me expreso bien y también a veces queriendo decir una cosa digo otra o la digo mal.
 Un saludo matinal, manco.

[feriva]

Sin embargo, en el caso de la indeterminación

 \( \displaystyle\frac{\infty}{\infty} \); si \( \infty\in{\mathbb{N}} \)

 sí se presenta el problema que digo con mucha clarida; siempre y cuando esté en lo cierto en cuanto a esto:

1º En la indeterminación dicha, \( \infty \) se considera un solo valor.

2º El valor es el mismo en numerador y denominador.

(supongo que es así).

Siendo así, \( \infty \) tiene una descomposición única en factores primos, por tanto:

\( \displaystyle\frac{\infty}{\infty}=\displaystyle\frac{{p_1}{p_2}...{p_n}}{{p_1}{p_2}...{p_n}} \)

Cancelamos por división los factores y el resultado es claramente \( 1 \).

 Y, si los \( \infty \) se consideran diferentes, entonces vuelvo a la regla de las potencias a partir de la fracción; no parece una notación admisible en este caso, pues esa propiedad no tiene sentido para valores distintos.
 
Esto si tiene sentido

\( lim_{x\longrightarrow{\infty}}\displaystyle\frac{x}{x}=1 \)

o esto...

\( lim_{x\longrightarrow{\infty};lim_{y\longrightarrow{\infty}}\displaystyle\frac{y}{x}=indeterminado \)

porque asumimos \( x=x; y=y \) \( x\neq{y} \)

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

 Que no, que no; estás usando para infinito propiedades de números naturales que no funcionan para él. El infinito no es un número (y menos natural).

 No tiene sentido escribir el infinito como producto de primos.

 Una vez más:

\(  \dfrac{\infty}{\infty} \)

 se suele denotar para expresar que en el límite de un cociente tanto numerador como denominador tiene límite infinito.

Saludos.

[feriva]

El infinito no es un número

Ahí es donde yo quería llegar 

[Stif040152]

Hola, hay una parte en q mensionan que \( 0^0/0^0 \) = \( 0^_ (1-1) \) , pero creo que el exponente de 0 no siempre es 1, si fuera asi es asi estaria incorrecto  \( 0^0=0^_ (1-1) =1 \).
Pero como el Convenio dice que "\( 0^0=1 \)", me parece que deberia haber un prueba formal sobre eso.
Una prueba en un Link que pusieron usando la cardinalidad de conjuntos, con \( a^b \) como el numero de funciones entre dos conjuntos de cardinalidad \( a \) y \( b \), en particular si ambos conjuntos son vacios existe solo una funcion que lleva del vacio en el vacio.
"pero como defines esa funcion si los conjuntos no tienen elementos".
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 Una función de \( A \) en \( B \) es un subconjunto \( F \) del producto cartesiano \( A\times B  \) verificando que para todo elemento \( a\in A \) existe un único elemento \( b\in B \) tal que \( (a,b)\in F \).

 Si \( A=\emptyset,B=\emptyset \) el subconjunto \( F=\emptyset\subset A\times B \) cumple la definición de función.

Saludos.

[Ser Humano]

Hola nuevamente a todos. Estuve pensando acerca de éste tema y me parece que tengo una demostración que expone que \( 0^0=1 \). Lo que no entiendo es como reconciliar éste hecho con los resultados de los límites.

Partamos del hecho de que todo polinomio \( p= \displaystyle\sum_{i=0}^n{\alpha_i (x-a)^{i}} \) centrado en \( a \) se puede escribir como \( p = \displaystyle\sum_{i=0}^n{\dfrac{p^{(i)} (a)}{i!} (x-a)^{i}} \) . Tengo una demostración por inducción que realice de ello pero es bastante larga, y si es un hecho conocido no creo que valga la pena exponerla. Dicha demostración, claramente, no implementa el hecho de que \( 0^0=1 \). Si consideran que es preferible que la exponga, solo me lo hacen saber .

Continuemos; Como \( \{ z^{i} / i \in \mathbb{N} \} \) es la base canónica de los polinomios en los \( \mathbb{R} \), y podemos tomar \( z= x-a \), todo polinomio se puede escribir como combinación lineal de elementos de éste conjunto y además los coeficientes correspondientes a cada elemento en la combinación lineal serán únicos. Por lo tanto, de las expresiones de \(  p \) expuestas se nota que :

\( \alpha_i =\dfrac {p^{(i)} (a)}{i!}  \rightarrow \alpha_i \ i! = p^{(i)}(a) \)

Claramente \( p^{(k)} (x) = \displaystyle\sum_{i=k}^n{\alpha_i \dfrac {i!}{(i-k)!} (x-a)^{i-k} } \). Esto es notorio tanto teniendo en cuenta cuanto es la derivada de \( x^r \), como si (en el caso de querer ser un poco más estrictos) se aplica inducción sobre el orden de la derivada, calculándolo a partir del cociente incremental. Básicamente se trata de notar que cuando el grado del factor es menor al orden de la derivada, la función derivada de éste es cero, y cuando es mayor o igual, la función derivada tiene ese formato.
De estos hechos se llega a que:

\( \alpha_k k! = \displaystyle\sum_{i=k}^n{\alpha_i \dfrac {i!}{(i-k)!} (a -a)^{i-k} \)

Como para todo \( i>k \) \( 0^{i}=0 \):

\( \alpha_k k! = \alpha_k k! 0^0 \)

Sin perdida de generalidad, suponemos \( \alpha_k \neq 0 \), entonces :

\( 0^0 =1 \)

Bueno, ustedes me dirán. Lo miré varias veces y no le noto errores.

Saludos

[argentinator]

En la teoría de cardinales de conjuntos, el \( 0^0=1 \) es cierto.

Pero en aritmética o análisis, eso no tiene ningún sentido.

En algunas fórmulas se establece esa igualdad sólo por mera conveniencia, para simplificar alguna sumatoria.

Pero en general, \( 0^0 \) es una indeterminación, no está definida, ni algebraicamente, ni analíticamente.

[Ser Humano]

Hola argentinator; se que muchas veces tal vez uno considere que una demostración que afirma como conclusión algo que por lo general no se considera cierto, no amerita el tiempo que llevaría leerla, por ser probablemente erronea. Posiblemente ese sea el caso de la demostración que acabo e exponer, pero de ser así, no puedo notar el error tras revisarla más de una vez. Por lo que, hasta notar lo contrario, no me puedo permitir aceptar algo diferente a lo que expone, incluso notando las incongruencias que ésto tiene con lo ejemplos de límites que se mostraron antes en éste mismo hilo. Me alienta un poco (muy poco  ) el hecho de que en el mundo de los límites hay menos implicaciones directas, y más aceptaciones por conveniencia.
En la demostración se está intentando ver el valor de \( 0^0 \) no como cardinal de un conjunto, sino como el valor algebraico que toma esa operación.
Estaría muy agradecido si se pueden tomar el tiempo para indicarme donde está (en el caso de estar) el error.

Saludos

[argentinator]

El error está al derivar:

\( p^{(k)} (x) = \displaystyle\sum_{i=k}^n{\alpha_i \dfrac {i!}{(i-k)!} (x-a)^{i-k} } \)

El término con i = k tiene derivada igual a una constante... multiplicada por 1, y no por \( (x - a)^0 \).

Por ejemplo, para k = 1 implica que:


\( p ' (x) = \alpha_0+\displaystyle\sum_{i=1}^n{\alpha_i  \dfrac d{dx}[(x-a)^{i}] }
=0+ \underbrace{\dfrac d{dx}[(x-a)^{1}]}_{=1}+\displaystyle\sum_{i=2}^n{\alpha_i  i[(x-a)^{i-1}] }
 \)

Además en cualquier expresión donde dice \( (x-a)^i \), con i = 0, debe entenderse como una abreviatura o convención, que simplemente significa "1".

Estás usando la "convención" en tu demostración, y eso es parte de la confusión.