Hola nuevamente a todos. Estuve pensando acerca de éste tema y me parece que tengo una demostración que expone que \( 0^0=1 \). Lo que no entiendo es como reconciliar éste hecho con los resultados de los límites.
Partamos del hecho de que todo polinomio \( p= \displaystyle\sum_{i=0}^n{\alpha_i (x-a)^{i}} \) centrado en \( a \) se puede escribir como \( p = \displaystyle\sum_{i=0}^n{\dfrac{p^{(i)} (a)}{i!} (x-a)^{i}} \) . Tengo una demostración por inducción que realice de ello pero es bastante larga, y si es un hecho conocido no creo que valga la pena exponerla. Dicha demostración, claramente, no implementa el hecho de que \( 0^0=1 \). Si consideran que es preferible que la exponga, solo me lo hacen saber
.
Continuemos; Como \( \{ z^{i} / i \in \mathbb{N} \} \) es la base canónica de los polinomios en los \( \mathbb{R} \), y podemos tomar \( z= x-a \), todo polinomio se puede escribir como combinación lineal de elementos de éste conjunto y además los coeficientes correspondientes a cada elemento en la combinación lineal serán únicos. Por lo tanto, de las expresiones de \( p \) expuestas se nota que :
\( \alpha_i =\dfrac {p^{(i)} (a)}{i!} \rightarrow \alpha_i \ i! = p^{(i)}(a) \)
Claramente \( p^{(k)} (x) = \displaystyle\sum_{i=k}^n{\alpha_i \dfrac {i!}{(i-k)!} (x-a)^{i-k} } \). Esto es notorio tanto teniendo en cuenta cuanto es la derivada de \( x^r \), como si (en el caso de querer ser un poco más estrictos) se aplica inducción sobre el orden de la derivada, calculándolo a partir del cociente incremental. Básicamente se trata de notar que cuando el grado del factor es menor al orden de la derivada, la función derivada de éste es cero, y cuando es mayor o igual, la función derivada tiene ese formato.
De estos hechos se llega a que:
\( \alpha_k k! = \displaystyle\sum_{i=k}^n{\alpha_i \dfrac {i!}{(i-k)!} (a -a)^{i-k} \)
Como para todo \( i>k \) \( 0^{i}=0 \):
\( \alpha_k k! = \alpha_k k! 0^0 \)
Sin perdida de generalidad, suponemos \( \alpha_k \neq 0 \), entonces :
\( 0^0 =1 \)
Bueno, ustedes me dirán. Lo miré varias veces y no le noto errores.
Saludos