Sintaxis por un lado y semántica por otro.

Pero para establecer la sintaxis (los algoritmos de resolución) ¿no implementan la semantica? porque los algoritmos desembocan en conclusiones definidas, lejos de ser asignadas arbitrariamente (sólo se imponen arbitrariamente los axiomas).

Hasta la proxima

Hola otra vez.
Perdón por tardar tanto en responder, no funciono si hay excesiva radiación solar presente .

Ahora bien, ese Teorema sigue siendo lógicamente válido aún si yo cambio esos símbolos que figuran ahí por otros, con tal de que la estructura lógica sea la misma.
Y eso es así porque las leyes de inferencia lógica son "meramente formales", o sea, se ocupan sólo de la forma de las expresiones, y no de su "contenido".

Si se cambian los símbolos implementados, pero permanecen las nociones a las que se hace referencia, la conclusión será la misma. Si permanecen los mismos símbolos pero éstos hacen referencia a nociones diferentes, entonces no necesariamente la conclusión es la misma. Me parece que no nos estamos entendiendo, y que nos estamos refiriendo a cosas diferentes . Voy a poner un ejemplo por las dudas; si el/los simbolo/s \( (\#A < \infty) \) representa/n una determinada proposición y \( {\forall{B\subset A}(\# B< \infty)} \) representa la negación de esa proposición, entonces no se puede concluir dicha implicación (o al menos es lo que noto ahora). Por eso es que decía que lo importante no es la simbología en sí, sino a que hace referencia ésta.

La lógica no se preocupa de si se hace referencia a "algo" externo, o con sentido para intuitivo para alguien.
Es mero cálculo, que transforma unas hileras de caracteres en otras. Eso es en definitiva una "demostración", y es algo que una computadora puede hacer, porque se trata de una actividad sistemática, sintáctica, sin significado.

No necesariamente ese "algo" debe ser "externo", basta con que ese algo tenga cualidades distintivas (tal vez imaginarias).
En las computadoras se programa el algoritmo, un algoritmo que se puede demostrar que es válido (lógicamente) como procedimiento para llegar a conclusiones a partir de nociones previas. El punto está que para formular el algoritmo se tienen en cuenta a que hace referencia con cada símbolo que puede ser introducido en el programa que lo ejecutará.

Hay unas expresiones que se forman mediante ciertas reglas sintácticas: algunas expresiones tienen sentido lógico y otras se tiran a la basura (algo como   [ \forall{\in{\in{\exists{\supset{xx\emptyset}}}}}]  no tiene sentido lógico, son signos puestos al azar).

Sí, totalmente; en un mensaje anterior había mencionado algo semejante, pero me parece que lo hice de forma poco clara. Era cuando me refería a que cierto conjunto de símbolos (que a su vez son un símbolo) o hacen referencia a una noción, o son inutiles.

A este nivel de cosas, no existen valores de verdad de esas proposiciones.

Pero ¿no son los axiomas premisas que se consideran ciertas a priori?

Pero aún así, que sean verdaderas o falsas esas proposiciones, no necesita hacer referencia a noción alguna.

Pero como se establece la verosimilitud de la proposición si no hace referencia a ninguna noción? (será que nos estamos refiriendo a diferentes cosas con el término "noción"?); Por ejemplo ¿se puede decir si **^¨_Ç es verdadera o falsa?

No es lo mismo la definición de "infinito" con una fórmula, que la intuición de infinito.

Pero entonces se está haciendo referencia a diferentes cosas con la misma palabra, y alli reside (al menos uno) de los problemas. Es decir, uno puede interpretar la formula, notar a que se refiere y compararla con la "noción intuitiva" de infinito; si no coinciden, entonces son nociones diferentes, y si son nociones diferentes poco útil es que se las llame de igual forma. Es decir, me parece que se puede trabajar con la formula porque no se está haciendo referencia a esa noción poco definida, sino que se está haciendo referencia a otra, que sí está bien clara.

No entiendo qué quisiste decir con "no-nociones".

Simbología que no hace referencia a algo; por ejemplo averiguar el valor de verdad de \( (P(x)\longrightarrow Q(x)) \longrightarrow |||| \)

Bueno, los entes perceptibles no los percibimos con precisión, y de lo poco que percibimos de ellos, descartamos muchas propiedades o cualidades complejas, y nos quedamos con algunas simples.
Luego las "representamos" matemáticamente, pero eso no es lo mismo que decir que "coinciden".

No me refiero para nada a ningún ente ontologico, sino que puramente lo que percibimos y llamamos entes. Por ejemplo, los colores y los sonidos se pueden trabajar con teoría de conjuntos, siendo que la generalización tratada en dicha teoría incluye a los casos de éstos.

Un tipico modelo de crecimiento de poblaciones es [P(t) = ce^{at}] , siendo a, c, unas constantes.
La población de un país dado podría modelarse con esa fórmula.
Pero supongamos que a = c = 1, para simplificar. En la mayoría de los instantes t, la población P(t) sería un número fraccionario. Por ejemplo, P(t) = 2.71.... si t = 1.
¿Acaso hay 2.71 personas tras t = 1 año?
No puede haber una cantidad fraccionaria de personas.

Claro, no. Alli el problema sería el decir que dicha situación es un caso paticular de la función tratada (la cual generaliza a muchas situaciones); debería decirse que la situación es semejante a uno de los casos particulares de la generalización tratada en la función, o lo que es lo mismo, a la función en sí.

En cuanto a los patrones que un ser humano puede distinguir quizá sean sólo los que "prefiere" distinguir.
Me refiero a que puede haber autolimitaciones psicológicas y culturales que orienten al ser humano a ver unos patrones y no otros.
Más aún si se trata de costumbres, o cosas enseñadas o inculcadas.

Probablemente, pero no dudo que si uno se lo propone, pueda saltear esas limitaciones.

Lo de la "relevancia" que has mencionado no tiene discusión.
Cada aplicación con su teoría...

Me refería a que si necesitamos resolver un problema de índole empirico, recurrimos a la lógica clásica, y no a otra, pues ella es la que nos da resultados "verificables" y útiles (si lo que queremos es resolver el problema).

Claro, eso es lo que hacen, y eso es lo que no logro aceptar.

realmente desconcertante.

Pero ahora yo me pregunto, ya que estamos razonando con la lógica PL (sin permiso de nadie) ¿pòr qué no usamos mejor IL?
¿O por qué no usamos incluso cualquier otra lógica mientras demostramos teoremas acerca de la lógica misma?

Eso sí es puro razonamiento inductivo; cuando queremos resolver un problema, como mencionaba antes, claramente recurrimos a la lógica clasica, y como por lo general nos da resultados "correctos", es decir, verificables de alguna otra forma (además del mismo razonamiento), inducimos que cada vez que tenemos un problema, si aplicamos la lógica clasica de forma efectiva, lo vamos a resolver. Claramente, no tendría por que ser así.
Pero acá de lo que se estaría dudando es de las nociones que se tienen en cuenta en un principio, y como "notar" si son ciertas o no. Es decir, que se están poniendo en duda los axiomas, y eso es un problema en el sentido que al ser axiomas no cabe la posibilidad de una demostración, a menos que la misma sea realizada a partir de otras reglas arbitrarias, es decir, más axiomas  .

Ahora bien, se habla de cardinales como si fueran algo establecido en forma única, sin duda alguna ni ambigüedad.

Pero eso no puede tomarse a la ligera, porque se sabe que hay teorías de conjuntos en los que hay más cardinales o menos que en otras.
Así que la noción de "cardinal" no es clara, es ambigua.

Esto escapa totalmente a mis nociones, pero algo a tener en cuenta (en cualquier tema) es que si son nociones diferentes, poco importa si las llaman iguales, porque se están refiriendo a diferentes cosas; Si yo dentro de mi casa le digo a los "perros", "arboles", y fuera de mi casa le digo "perros", entonces tengo que tener en cuenta (y cualquiera que me escucha) que cuando me meto en mi casa estoy haciendo referencia a algo diferente con la misma palabra, con el mismo símbolo. Pero claro, siempre es preferible que no se llegue a una situación como esa, que solo presta a confusiones.

¿Cómo se los usa impunemente en etapas constructivas de la matemática, si encierran dilemas estructurales y teóricos que no son triviales en lo absoluto?

Creéme cuando digo que comprendo claramente lo inconcebible que probablemente te resulten, como a mi me resultan, que se hagan las cosas de esa forma.

Saludos

Hola. Yo también siento cierta desesperación al notar lo poco solido que se vuelve lo que puedo notar acerca de algo cuando profundizo en él. Más aún en el campo de la matemática, de la cual tengo un preconcepto que se contrapone a situaciones como estas.

Estoy completamente de acuerdo con el hecho de que los temas tratados dentro de lo denominado como matemática precisan un previa aceptación de la "lógica", pero discrepo en el que ésta solo se trate de un conjunto de símbolos que no hacen referencia a algo.

Creo que en este contexto aceptamos, que el "ser humano" es un animal que posee la capacidad de "manipular las nociones que a priori posee y las adquiridas a través de la experiencia" (me disculpo por el exceso de comillas, sabrán entender) y de esa forma obtener nuevas nociones.

Entonces es de notar que la lógica no es solo un montón de lineas distribuidas de una determinada manera, sino que cada curva, cada símbolo "representa", "hace referencia", etc. a una de esas nociones que tenemos. Por otro lado también sabemos como interpretar símbolos compuestos de otros símbolos (las proposiciones) los cuales hacen referencia a la noción que tenemos de una cierta "situación"; la forma de interpretar éstos símbolos se reduce a la interpretación de los símbolos contenidos y a la "posición relativa" entre ellos. De esa forma, se puede notar que solo son "válidos" cierto conjunto de símbolos, porque hay limitadas y determinadas maneras en las que relacionamos las nociones que tenemos, y los símbolos hacen referencia a dichas nociones.
(notar que las nociones de "posición relativa", "composición" y demás, también son nociones previas, las cuales se manipulan en el uso e interpretación del lenguaje lógico pero no necesariamente se hace referencia a ellas con un símbolo de forma explicita).

Tal vez el problema radica en establecer solo axiomas iniciales emparentados con lo que uno cree que se trata la "rama" de la matemática que está tratando. En este contexto, donde hablamos de las bases, me parece claro que los axiomas son las nociones previas que tenemos, por lo que no tener en cuenta todos los axiomas, es no tener en cuenta todas las nociones que consideramos válidas a priori.

A mi me parece que "fundamentar la lógica" no tiene mucho sentido, porque cuando se intenta demostrar (por ejemplo) un teorema, es decir, fundamentarlo, se intenta notar que éste es lógicamente válido, por lo que "fundamentar la lógica" sería intentar notar que ésta es lógicamente válida, lo que es trivial.
Tal vez, así como se puede demostrar que un teorema es lógicamente válido, se podría demostrar que la lógica es válida con respecto a otra cosa (¿la realidad?), pero no creo que tenga mucho sentido intentar notar si es válida en el sentido usual que se le da al término.

Espero no desencadenar varios mensajes de insultos .

Saludos

 

No tengo problemas de reconocer un error si noto que lo tengo. Nada cambia por ello.

La respuesta que te dejé fue para hacer notar que lo que interpretaste no era lo que yo había expuesto. Te invito a que vuelvas a revisar lo que escribí, que es lo siguiente:

\( < \vec a , \vec v > = 0 \rightarrow <\vec b - \vec c, \vec v> = 0 \) , es decir que si el vector a es ortogonal a otro, el vector b-c también es ortogonal a él (en el caso de ser paralelos entre ellos).

Lo que escribí está a la vista.

Por otro lado, poco amigo soy de las frases populares, menos aún si se fundamentan con nada.

Me desagrada la actitud de necedad, y por eso me desagradó notar que mencionabas que yo la practicaba. Si noto que estoy errado, bien por mi, ya que no vuelvo a errar de esa forma en ese aspecto.

Sí, tenés toda la razón. Gracias .

Saludos

Hola argentinator; se que muchas veces tal vez uno considere que una demostración que afirma como conclusión algo que por lo general no se considera cierto, no amerita el tiempo que llevaría leerla, por ser probablemente erronea. Posiblemente ese sea el caso de la demostración que acabo e exponer, pero de ser así, no puedo notar el error tras revisarla más de una vez. Por lo que, hasta notar lo contrario, no me puedo permitir aceptar algo diferente a lo que expone, incluso notando las incongruencias que ésto tiene con lo ejemplos de límites que se mostraron antes en éste mismo hilo. Me alienta un poco (muy poco  ) el hecho de que en el mundo de los límites hay menos implicaciones directas, y más aceptaciones por conveniencia.
En la demostración se está intentando ver el valor de \( 0^0 \) no como cardinal de un conjunto, sino como el valor algebraico que toma esa operación.
Estaría muy agradecido si se pueden tomar el tiempo para indicarme donde está (en el caso de estar) el error.

Saludos

Hola nuevamente a todos. Estuve pensando acerca de éste tema y me parece que tengo una demostración que expone que \( 0^0=1 \). Lo que no entiendo es como reconciliar éste hecho con los resultados de los límites.

Partamos del hecho de que todo polinomio \( p= \displaystyle\sum_{i=0}^n{\alpha_i (x-a)^{i}} \) centrado en \( a \) se puede escribir como \( p = \displaystyle\sum_{i=0}^n{\dfrac{p^{(i)} (a)}{i!} (x-a)^{i}} \) . Tengo una demostración por inducción que realice de ello pero es bastante larga, y si es un hecho conocido no creo que valga la pena exponerla. Dicha demostración, claramente, no implementa el hecho de que \( 0^0=1 \). Si consideran que es preferible que la exponga, solo me lo hacen saber .

Continuemos; Como \( \{ z^{i} / i \in \mathbb{N} \} \) es la base canónica de los polinomios en los \( \mathbb{R} \), y podemos tomar \( z= x-a \), todo polinomio se puede escribir como combinación lineal de elementos de éste conjunto y además los coeficientes correspondientes a cada elemento en la combinación lineal serán únicos. Por lo tanto, de las expresiones de \(  p \) expuestas se nota que :

\( \alpha_i =\dfrac {p^{(i)} (a)}{i!}  \rightarrow \alpha_i \ i! = p^{(i)}(a) \)

Claramente \( p^{(k)} (x) = \displaystyle\sum_{i=k}^n{\alpha_i \dfrac {i!}{(i-k)!} (x-a)^{i-k} } \). Esto es notorio tanto teniendo en cuenta cuanto es la derivada de \( x^r \), como si (en el caso de querer ser un poco más estrictos) se aplica inducción sobre el orden de la derivada, calculándolo a partir del cociente incremental. Básicamente se trata de notar que cuando el grado del factor es menor al orden de la derivada, la función derivada de éste es cero, y cuando es mayor o igual, la función derivada tiene ese formato.
De estos hechos se llega a que:

\( \alpha_k k! = \displaystyle\sum_{i=k}^n{\alpha_i \dfrac {i!}{(i-k)!} (a -a)^{i-k} \)

Como para todo \( i>k \) \( 0^{i}=0 \):

\( \alpha_k k! = \alpha_k k! 0^0 \)

Sin perdida de generalidad, suponemos \( \alpha_k \neq 0 \), entonces :

\( 0^0 =1 \)

Bueno, ustedes me dirán. Lo miré varias veces y no le noto errores.

Saludos

Ahh, claro.

Gracias por la respuesta

Saludos

Hola, tengo éste problema que no puedo resolver:

Sea \( T \) endomorfismo sobre \( \mathbb{R}^3 \) representado en la base canónica por la matriz :
\(
\begin{bmatrix}{3}&{1}&{-1}\\{2}&{2}&{-1}\\{2}&{2}&{0}\end{bmatrix} \)

Hallar un \( D \) y un \( N \) tal que \( T=D+N \) con \( D \) diganolizable y \( N \) nilpotente.

Creo poder hacerlo en el caso de que el polinomio característico se pueda descomponer en factores lineales, pero éste no es el caso.
Y la verdad que no se como hacer 

Cualquier idea es bienvenida, y si es útil, mucho más .

Saludos

Hola.

Hola. Precisamente, tú lo has dicho, si son distintos no se puede aplicar la regla... pero es que si son iguales la equivalencia es 1;

Que la equivalencia sea 1 es porque una magnitud es 1 vez ella misma. El problema con el cero es que el cero es una vez él mismo, pero también es 67 veces él mismo, y también media vez.

las matemáticas no entienden de eso, igual que no saben sin un número es primo por el hecho de poner "p", si las dos cosas son lo mismo la equivalencia es 1.

Creo que nadie aquí afirmo algo tan absurdo como lo que refutas

Por otra parte, otra cosa que he pensado al hilo desto: está prohibido dividir por cero. Sin embargo [\displaystyle\frac{0}{0}]  se utiliza para determinar formalmente un tipo de indeterminación

No solamente es un tipo de nomenclatura. Existen limites que no son determinados exclusivamente por sus factores, por ejemplo cuando se trata de un cociente en donde cada uno tiende a cero. Entonces se habla de una indeterminación (no está determinado por esos factores), ya que ambos dan cero. Eso no implica que el resultado se cero dividido cero, ni mucho menos. Solo se hace referencia a el motivo por el que la expresión no está deteminada directamente por sus factores.

¿es correcto usar algo que está prohibido, que está mal, para definir un concepto matemático y pretender que sea correcto?

Por lo general noto que para indicar que se trata de una indeterminación de este tipo se usan corchetes, es decir que se indica \( [\dfrac 0 0 ] \) , ya que no se trata de una cantidad, sino que del motivo de la indeterminación.

En fin, yo lo tengo claro, luego, unos autores dirán una cosa u otra, pero para mí es así. :sonrisa:

Cada uno puede establecerse dogmáticamente lo que quiera, pero eso no indica que sea correcto.

Saludos