[mgb]

Buenas tardes el ejercicio nos da una recta y un plano. Y tenemos que hallar el valor de a y b para que sean paralelos, perpendiculares y la recta incluida en el plano.
Entiendo que el vector normal del plano será perpendicular al vector director de la recta, entonces su producto dará 0. Pero además de eso no logro avanzar.
\( π: ax-2by+z=2+b \)  \( n=(a,-2b,1) \)
\( r: x=-y+1=2z-3 \)     Esta en sus ecuaciones simétricas por lo que puedo deducir su vector director. \( vd=(1,-1,\displaystyle\frac{1}{2}) \)

Multiplicando el vector normal por el vector director de la recta dará 0.
\( (1,-1,\displaystyle\frac{1}{2}).(a,-2b,1)=0 \)
\( a=-2b-\displaystyle\frac{1}{2} \)

Al quedarme 2 incógnitas no se como continuar. ¿Tendrían algún consejo? ¿Cómo debería seguir? Gracias.

[robinlambada]

Hola.

Buenas tardes el ejercicio nos da una recta y un plano. Y tenemos que hallar el valor de a y b para que sean paralelos, perpendiculares y la recta incluida en el plano.
Entiendo que el vector normal del plano será perpendicular al vector director de la recta, entonces su producto dará 0. Pero además de eso no logro avanzar.
\( π: ax-2by+z=2+b \)  \( n=(a,-2b,1) \)
\( r: x=-y+1=2z-3 \)     Esta en sus ecuaciones simétricas por lo que puedo deducir su vector director. \( vd=(1,-1,\displaystyle\frac{1}{2}) \)

Multiplicando el vector normal por el vector director de la recta dará 0.
\( (1,-1,\displaystyle\frac{1}{2}).(a,-2b,1)=0 \)
\( a=-2b-\displaystyle\frac{1}{2} \)

Al quedarme 2 incógnitas no se como continuar. ¿Tendrían algún consejo? ¿Cómo debería seguir? Gracias.

El apartado primero o tienes bien, te falta aplicar que al ser paralelos ( no coincidentes ) no tienen puntos en común.

Por ello el sistema:

\( \begin{cases}\left({-2b-\displaystyle\frac{1}{2}}\right)x-2by+z=2+b\\ x=-y+1\\x=2z-3\end{cases} \)

Debe ser incompatible. Y para que la recta este incluida en el plano compatible indeterminado.

En el caso de Perpendicularidad, el vector normal al plano y el vector director de la recta deben ser proporcionales.

Saludos.

[mgb]

Muchas gracias voy a revisarlo. Gracias

[mgb]

Hola.

Buenas tardes el ejercicio nos da una recta y un plano. Y tenemos que hallar el valor de a y b para que sean paralelos, perpendiculares y la recta incluida en el plano.
Entiendo que el vector normal del plano será perpendicular al vector director de la recta, entonces su producto dará 0. Pero además de eso no logro avanzar.
\( π: ax-2by+z=2+b \)  \( n=(a,-2b,1) \)
\( r: x=-y+1=2z-3 \)     Esta en sus ecuaciones simétricas por lo que puedo deducir su vector director. \( vd=(1,-1,\displaystyle\frac{1}{2}) \)

Multiplicando el vector normal por el vector director de la recta dará 0.
\( (1,-1,\displaystyle\frac{1}{2}).(a,-2b,1)=0 \)
\( a=-2b-\displaystyle\frac{1}{2} \)

Al quedarme 2 incógnitas no se como continuar. ¿Tendrían algún consejo? ¿Cómo debería seguir? Gracias.

El apartado primero o tienes bien, te falta aplicar que al ser paralelos ( no coincidentes ) no tienen puntos en común.

Por ello el sistema:

\( \begin{cases}\left({-2b-\displaystyle\frac{1}{2}}\right)x-2by+z=2+b\\ x=-y+1\\x=2z-3\end{cases} \)

Debe ser incompatible. Y para que la recta este incluida en el plano compatible indeterminado.

En el caso de Perpendicularidad, el vector normal al plano y el vector director de la recta deben ser proporcionales.

Saludos.

Perdón estuve analizando tu aporte pero no logro entender. De todas formas tengo 2 incógnitas y no puedo hallar el valor de los parámetros. Disculpa

[robinlambada]

Perdón estuve analizando tu aporte pero no logro entender. De todas formas tengo 2 incógnitas y no puedo hallar el valor de los parámetros. Disculpa

La ecuación del plano y las dos ecuaciones de la recta forman un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas.

Además la ecuación del plano te queda en función solo de un parámetro al sustituir \( a=-2b-\displaystyle\frac{1}{2} \)

Solo tienes que estudiar cuando es incompatible ( sin solución y por ello sin puntos en común plano y recta paralela) y cuando es compatible indeterminado ( infinitas soluciones, que es cuando la recta está incluida en el plano) en función del parámetro b.

Puedes hacerlo haciendo ceros , por el método de Gauss o por el teorema de Rouche -Frobenius

Saludos.