Hola
¿Es probabilidad o conjunto de partes? Creo que es lo primero, por la notación, pero no sé seguro.
Si es así, imagino que para que se dé un suceso \( A\cup\ B
\) se tiene que dar necesariamente, por definición de unión, el suceso A y el B; pienso que se puede asumir sin mayor demostración:
\( P(A\cup\ B)\leq\ P(A)
\) y \( P(A\cup\ B)\leq\ P(B)
\).
Está mal. Has confundido unión con intersección. Que se de el suceso \( A\cup\ B \) es que se da alguno de los dos pero no necesariamente los dos a las dos.
Si se quiere probar lo pedido directamente con la definición axiomática de probabilidad, basta tener en cuenta que, por definición, si \( X \) e \( Y \)son disjuntos entonces:
\( P(X\sqcup Y)=P(X)+P(Y) \)
Entonces:
\( A\cup B=(A\setminus B)\sqcup B \) (con \( A\setminus B \) y \( B \) disjuntos)
Por tanto:
\( P(A\cup B)=P((A\setminus B)\sqcup B)=P(A\setminus B)+P(B)\leq P(A)+P(B) \)
donde en el último paso hemos usado la monotonía de la probabilidad: \( P(A\setminus B)\leq P(A) \) porque \( A\setminus B\subset A. \)
Saludos.
P.D. Por supuesto si ya has probado la fórmula indicada por Richard R Richard, es una forma muy rápida de hacerlo:
\( P(A \cup\ B)=P(A)+\ P(B)-P(A \cap\ B)\le\ P(A)+\ P(B) \)
