Tenes razon es la derivada de la funcion inversa. Lo escribi mal.

Hola.

Cita de: mgb en 03 Marzo, 2021, 08:40 pm

Buenas tardes el ejercicio nos da una recta y un plano. Y tenemos que hallar el valor de a y b para que sean paralelos, perpendiculares y la recta incluida en el plano.
Entiendo que el vector normal del plano será perpendicular al vector director de la recta, entonces su producto dará 0. Pero además de eso no logro avanzar.
\( π: ax-2by+z=2+b \)  \( n=(a,-2b,1) \)
\( r: x=-y+1=2z-3 \)     Esta en sus ecuaciones simétricas por lo que puedo deducir su vector director. \( vd=(1,-1,\displaystyle\frac{1}{2}) \)

Multiplicando el vector normal por el vector director de la recta dará 0.
\( (1,-1,\displaystyle\frac{1}{2}).(a,-2b,1)=0 \)
\( a=-2b-\displaystyle\frac{1}{2} \)

Al quedarme 2 incógnitas no se como continuar. ¿Tendrían algún consejo? ¿Cómo debería seguir? Gracias.

El apartado primero o tienes bien, te falta aplicar que al ser paralelos ( no coincidentes ) no tienen puntos en común.

Por ello el sistema:

\( \begin{cases}\left({-2b-\displaystyle\frac{1}{2}}\right)x-2by+z=2+b\\ x=-y+1\\x=2z-3\end{cases} \)

Debe ser incompatible. Y para que la recta este incluida en el plano compatible indeterminado.

En el caso de Perpendicularidad, el vector normal al plano y el vector director de la recta deben ser proporcionales.

Saludos.

Perdón estuve analizando tu aporte pero no logro entender. De todas formas tengo 2 incógnitas y no puedo hallar el valor de los parámetros. Disculpa

Buenas tardes el ejercicio nos da una recta y un plano. Y tenemos que hallar el valor de a y b para que sean paralelos, perpendiculares y la recta incluida en el plano.
Entiendo que el vector normal del plano será perpendicular al vector director de la recta, entonces su producto dará 0. Pero además de eso no logro avanzar.
\( π: ax-2by+z=2+b \)  \( n=(a,-2b,1) \)
\( r: x=-y+1=2z-3 \)     Esta en sus ecuaciones simétricas por lo que puedo deducir su vector director. \( vd=(1,-1,\displaystyle\frac{1}{2}) \)

Multiplicando el vector normal por el vector director de la recta dará 0.
\( (1,-1,\displaystyle\frac{1}{2}).(a,-2b,1)=0 \)
\( a=-2b-\displaystyle\frac{1}{2} \)

Al quedarme 2 incógnitas no se como continuar. ¿Tendrían algún consejo? ¿Cómo debería seguir? Gracias.

Muchas gracias, disculpa debí agregar. Solo me falto que el ejercicio hay que determinar verdadero falso. Me olvide ponerlo, lo siento mucho y muchas gracias.

Otro ejercicio que no se la forma de justificar o si suficiente mi respuesta:
Si \( y=\left |{a^2}x+x^2\right |\Rightarrow{dy=\left |{2a+2x}\right |dx} \)



\(  y = \left \{ \begin{matrix} a^2x+x^2 & \mbox{si }x\leq{-a^2} \vee x\geq{0}
\\ -a^2x-x^2 & \mbox{si }-a^2<x<0 \end{matrix}\right. \)

\(  y' = \left \{ \begin{matrix} a^2+2x & \mbox{si }x<{-a^2} \vee x>{0}
\\ -a^2-2x & \mbox{si }-a^2<x<0 \end{matrix}\right. \)



\( dy=y'dx\longrightarrow{} \)

\(  dy = \left \{ \begin{matrix} (a^2+2x)dx & \mbox{si }x<{-a^2} \vee x>{0}
\\ (-a^2-2x)dx & \mbox{si }-a^2<x<0 \end{matrix}\right. \)

como es distinto a \( dy=\left |{2a+2x}\right |dx \)
Por lo tanto es falso.
¿Lo creen correcto? saludos  y gracias.

Si perfecto justamente eso hice. Gracias

Hola

Cita de: Masacroso en 03 Julio, 2020, 05:59 am

Para ver lo que pasa te basta descubrir si uno, o ambos vectores de la base de \( T \), son combinación lineal de los vectores de la base de \( S \), es decir, ver dónde hay solución a las ecuaciones

\( \displaystyle{
a(1,1,0)+b(0,1,-1)=(1,0,-1),\qquad c(1,1,0)+d(0,1,-1)=(0,2,1)
} \)

Ojo, porque aunque \( dim(T\cap S)=1 \) puede ocurrir que en la base de \( S \) ninguno de sus vectores sea combinación linea de los generadores de \( T \).

Cita de: mgb en 03 Julio, 2020, 06:12 am

Perdon deberia analizar no lo logro comprender lo que me falta, mi vectores quedan como múltiplos ya que si divido por 2 me quedan iguales pero eso ¿es correcto? me refiero a esto  \( {(3,4,-1)\frac{1}{2}}={(\frac{3}{2},2,-\frac{1}{2})} \)

Es que la intersección entre \( S \) y \( T \) es un subespacio, no un sólo vector. En un caso te sale el subespacio generado por \( (3,4,-1)  \)y en otro el generado por \( (3/2,2,-1/2) \). Es el mismo subespacio porque ambos generadores son proporcionales.

Saludos.

Entendi perfecto ,gracias.

Buenas noches hice este ejercicio y me queda una gran duda si esta bien o esta mal. Realmente no entiendo mi error ¿Pueden ayudarme?
Me piden la base de S,T,S+T y \( S\cap{T} \).

\( S=gen{(1,1,0),(0,1,-1),(2,1,1)} \)
\( T=gen{(1,0,-1),(0,2,1)} \)

Mi problema es solo con la interseccion, arranco haciendo las bases de los subespacios:
\( S_b={(1,1,0),(0,1,-1)} \)
\( T_b={(1,0,-1),(0,2,1)} \)
\( S+T={(1,1,0),(0,1,-1),(1,0,-1)} \)

Y ahora \( S\cap{T} \):
Comienzo escribiendo como combinacion lineal ambas  bases:
\( S: (x,y,z)=a(1,1,0)+b(0,1,-1) \)
\( T: (x,y,z)=c(1,0,-1)+d(0,2,1) \)
\( a(1,1,0)+b(0,1,-1)=c(1,0,-1)+d(0,2,1) \)
\( a(1,1,0)+b(0,1,-1)-c(1,0,-1)-d(0,2,1)=0 \)
Con esto hago mi matriz igualada a 0:
\begin{equation}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & -1 & 0 &0\\
1 & 1 & 0 & -2 &0\\
0 & -1 & 1 & -1 &0
\end{pmatrix}
\end{equation}
Obtengo:
\begin{equation}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & -1 & 0 &0\\
0 & 1 & 1 & -2 &0\\
0 & 0 & 2 & -3 &0
\end{pmatrix}
\end{equation}

Con esto obtengo las ecuaciones usando a,b,c y d despejo para poder reemplazarlas en la combinacion lineal:
\( 2c-3d=0\rightarrow{}c=\frac{3}{2}d \)
\( b+c-2d=0\rightarrow{2b=d} \)
\( a-c=0\rightarrow{a=3b} \)

Reemplazando me queda asi:
\( S: (x,y,z)=(3b)(1,1,0)+b(0,1,-1)\rightarrow{(3,4,-1)} \)
\( T: (x,y,z)=\frac{3}{2}d(1,0,-1)+d(0,2,1)\rightarrow{(\frac{3}{2},2,-\frac{1}{2})} \)

Aca es donde esta mi  duda, tengo entendido que para que la intersección exista esto me tiene que quedar igual \( {(3,4,-1)}={(\frac{3}{2},2,-\frac{1}{2})} \)

Esto ¿quiere decir que no existe intersección y solo tendrá al vector nulo como intersección?
Por que por el teorema de las dimensiones:
\( dim(S+T)=dimS+dimT-(s\cap{t}) \)
\( 3=2+2-(s\cap{t})\rightarrow{dim(s\cap{t})=1} \)

Muchas gracias , sugata. Me quedo claro.

Buenas tardes, tengo este ejercicio y me quedo una duda.
¿Existe un plano que contenga a los puntos \( A=(1,-1,2),B=(2,1,3),C=(0,-3,1) \)?. Justifique su respuesta.

Al ser 3 puntos calculo 2  vectores.
\( \vec{AB}=(1,2,1) \)
\( \vec{AC}=(-1,-2,-1) \)
Con estos 2 vectores hago el producto vectorial para tener la normal  y formar el plano con la ecuación implícita:
\( (x,y,z).\vec{N}=\vec{N}.P \)

Pero al hacer el producto vectorial obtengo el vector nulo, veo que no puedo formar el plano ¿eso es suficiente para justificar que no existe un plano que no contenga a los 3 puntos dados? o ¿me falta algún concepto teórico?.
Gracias por leer.