[Julio_fmat]

Sea \( S \) un conjunto no vacío. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas?

a) \( S\in \mathcal{P}(S) \)

b) \( S\subseteq \mathcal{P}(S) \)

c) \( \{S\}\in \mathcal{P}(S) \)

d) \( \{S\}\subseteq \mathcal{P}(S) \)


Hola, es una pregunta muy básica, pero en licenciatura nunca me explicaron la "diferencia" de la relación pertenecer a un conjunto \( \in  \), con la relación de inclusión \( \subseteq \). En esos tiempos hacia todo por inercia, sin comprender el porqué...

[ani_pascual]

Hola:

Sea \( S \) un conjunto no vacío. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas?

a) \( S\in \mathcal{P}(S) \)

b) \( S\subseteq \mathcal{P}(S) \)

c) \( \{S\}\in \mathcal{P}(S) \)

d) \( \{S\}\subseteq \mathcal{P}(S) \)


Hola, es una pregunta muy básica, pero en licenciatura nunca me explicaron la "diferencia" de la relación pertenecer a un conjunto \( \in  \), con la relación de inclusión \( \subseteq \). En esos tiempos hacia todo por inercia, sin comprender el porqué...

Si no estoy equivocado, 
a) \( S\subseteq S\Longrightarrow S\in{\cal P}(S) \) luego es verdadera
b) Es falsa, pues \( \forall\,x\in S \) es \(  x\notin {\cal P}(S) \)
c) Es falsa, pues en \( {\cal P}(S) \) no hay ningún elemento que sea \( \{S\} \)
d) Es verdadera, ya que el único elemento de \( \{S\} \) es \( S \) y se tiene que \( S\in{\cal P}(S) \), luego \( \{S\}\subset {\cal P}(S) \)
Saludos

[feriva]

 en licenciatura nunca me explicaron la "diferencia" de la relación pertenecer a un conjunto \( \in  \), con la relación de inclusión \( \subseteq \). En esos tiempos hacia todo por inercia, sin comprender el porqué...

“S” es un conjunto como, por ejemplo \( S=\{1,2\} \), distinto de {S}, que sería {{1,2}}.

Un conjunto no puede pertenecerse a sí mismo como elemento, pero S sí pertenece a partes de S, no hay problema, porque partes de S es un conjunto distinto de S, no el mismo.

Por ejemplo, si S={1,2}, el conjunto de partes de S es \( \{\emptyset,\{1\},\{2\},\{1,2\}\} \) y vale.

Lo que está prohibido es esto otro

\( \{\emptyset,\{1\},\{2\},\{1,2\}{\color{blue}\{\emptyset,\{1\},\{2\},\{1,2\}\}}\} \)

Porque entonces el conjunto de partes se pertenece como elemento, y con esa “filosofía” tendríamos que volver a introducir como elemento esto \( \{\emptyset,\{1\},\{2\},\{1,2\}{\color{blue}\{\emptyset,\{1\},\{2\},\{1,2\}\}}\} \) dentro de sí mismo otra vez, con llaves, y seguir así hasta el infinito pues siempre tenemos un elemento nuevo, sin fin, lo que lleva a la contradicción de que el conjunto nunca tenga todos los elementos que tiene el conjunto.

Saludos.