Tengo el siguiente enunciado
Determine los valores de a y b para que el polinomio \( P(x)=x^4-3x^3+2x^2+ax+b \) sea divisible por \( q(x)=(x+1)(x-2) \)
Tengo entendido que el teorema del resto puedo aplicarlo solo si \( q(x)=x\pm{a}\rightarrow{r=P(\pm{}a)} \)
En este caso , puedo hacer \( P(-1)=0\quad P(2)=0 \)?
De ser correcto. ¿se puede justificar de alguna manera?
Me genera dudas porqué el grado de q es 2 , y entiendo que el teorema solo se aplica cuando el grado de q es 1
\( P(x)=x^{4}-3x^{3}+2x^{2}+ax+b \) es un polinomio de grado cuatro; donde la x elevada a la cuatro tiene coeficiente 1, lo cual hace que el problema sea más cómodo.
Esto es así porque entonces podemos escribir
\( x^{4}-3x^{3}+2x^{2}+ax+b=1\cdot(x-r_{1})(x-r_{2})(x-r_{3})(x-r_{4}) \)
y se queda simplemente en el producto de los binomios asociados a las cuatro raíces, sin más.
Entonces, que se cumpla lo que te piden implica
\( x^{4}-3x^{3}+2x^{2}+ax+b=(x-r_{1})(x-r_{2})(x+1)(x+(-2)) \)
con lo que, evidentemente, las raíces que dices lo son de \( P(x) \).
Si desarrollas el polinomio
\( (x-r_{1})(x-r_{2})(x+1)(x-2) \)
tienes que el término independiente es
\( -2r_{1}r_{2} \)
por tanto
\( b=-2r_{1}r_{2} \)
y, en general, del mismo modo puedes identificar el resto de los coeficientes con los del polinomio P(x).
Saludos.
