[petras]

Supongamos que \( f(x) \) está definida en x real y\(  f(x)>0  \) para todo \( x \). Si
\( f(a).f(b)= f(a+b)  \)para todos \( a \) y \( b \), determine cuál de las opciones
siguientes son ciertas:
\( I. 𝑓(0) = 1 \)

\( II. 𝑓(−a) =\dfrac{1}{𝑓(a)} \), para todo \( a \)

\( III. 𝑓(a) = \sqrt[3]{𝑓(3a)} \) , para todo a
\(
IV. 𝑓(b) > 𝑓(a)  \) si \( b > a \)
(R:I,II,III)

[Pie]

Si no voy mal la única función que cumple eso es la exponencial, con la base \( k > 0 \):

\[ f(x) = k^x \Longrightarrow f(a)\cdot{}f(b) = k^a\cdot{k^b} = k^{a+b} = f(a+b) \]

Entonces vemos que cumple todas las propiedades indicadas menos la última, con \( 0 < k \leq{} 1 \).

Saludos.

[Richard R Richard]

Supongamos que \( f(x) \) está definida en x real y\(  f(x)>0  \) para todo \( x \). Si
\( f(a).f(b)= f(a+b)  \)para todos \( a \) y \( b \), determine cuál de las opciones
siguientes son ciertas:
\( I. 𝑓(0) = 1 \)

\( II. 𝑓(−a) =\dfrac{1}{𝑓(a)} \), para todo \( a \)

\( III. 𝑓(a) = \sqrt[3]{𝑓(3a)} \) , para todo a

IV. 𝑓(b) > 𝑓(a)  si \( b > a \)

(R:I,II,III)

I es cierta por 

\( f(a).f(0)= f(a+0)=f(a) \quad \to\quad\dfrac{f(a)}{f(a)}=1=f(0) \)


II  es cierta por

\( f(a).f(-a)= f(a+(-a))=f(0)=1 \quad \to\quad f(a)=\dfrac{1}{f(-a)}\quad \to\quad f(-a)= \dfrac{1}{f(a)} \)


III veamos si es cierta
si
\( f(a).f(b)= f(a+b)  \)
entonces
\( f(a).f(b).f(c)=f(a+b)f(c)= f(a+b+c)  \)

entonces

\( f(a).f(a).f(a)= f(a+a+a)  \)


de donde

\( f(a)^3= f(3a)  \)

luego $$f(a)=\sqrt[3]{f(3a)}$$

para IV

tienes que hallar un contraejemplo donde  se cumpla $$b>a$$ y $$f(b)<f(a)$$ li lo hallas es falsa , si no tiene que probar que es verdadera.  Seguiré en ello

[Masacroso]

Una idea para sacar conclusiones es observar que la función \( \log \circ f \) es totalmente aditiva.

Spoiler

Sea \( T:=\log \circ f \), entonces \( T(x+y)=T(x)+T(y) \), y con algo de análisis se tiene que \( T(qx)=qT(x) \) para todo \( q\in \mathbb{Q} \) y por tanto si \( T \) es continua en el cero tomando límites en la expresión anterior se tendría que \( T(\lambda x)=\lambda T(x) \) para todo \( \lambda \in \mathbb{R} \), es decir que \( T \) es una función lineal sobre \( \mathbb{R} \) y por tanto es una función de la forma \( Tx=ax \) para alguna constante \( a\in \mathbb{R} \), por tanto \( f(x)=e^{ax} \) con \( f(1)=e^{a} \).

De ahí se siguen fácilmente I, II y III. Y IV se cumple solo cuando \( a>0 \). I, II y III se pueden demostrar sin asumir continuidad en el cero de \( T \), pero asumir continuidad en el cero nos sirve para ver que IV no tiene por qué cumplirse en general.

Corregido.

[cerrar]

[zorropardo]

Yo la resolveria asi:

i ) Toma $$a=b=0 \Rightarrow{   f(0)f(0)=f( 0) \Rightarrow{  f(0)[f(0)-1]=0} \Rightarrow{   f(0)=0  \mbox{ o } f(0)=1 }}.$$ Pero como por dato $$f(0)>0$$ necesariamente  se concluye que $$f(0)=1.$$

ii) Toma $$b=-a  \Rightarrow{   f(a)f(-a)=f(0)=1 \Rightarrow{   f(-a)=\frac{1}{f(a)} } }.$$

iii) Toma $$b=2a  \Rightarrow{   f(3a)=f(a)f(2a)=f(a)f(a)f(a)=(f(a))^3 }  \Rightarrow{   f(a)= \sqrt[ 3]{f(3a)} }$$

 iv)  Se $$b>a \Rightarrow{  b=a+\alpha } \Rightarrow{ f(b)=f(a) f(\alpha) } $$

Caso 1.- Si $$f(\alpha) \leq{ 1 } \Rightarrow{  f(b)  \leq{ f(a)}}$$ y el item es falso.

Caso 2.- Si  $$f(\alpha) >{ 1 } \Rightarrow{  f(b)  >{ f(a)}}$$ y el item es verdadero.

[Juan Pablo Sancho]

Para la cuarta:
\( f(b) - f(a) = f(a+c) - f(a) = f(a) \cdot (f(c) - 1) \) que depende de los valores de \( c \) luego no es cierta.
Para poder sacar más habría que obligar que la función \( f \) fuera continua en \( x=0 \)
Editado

 iv)  Se $$b>a \Rightarrow{  b=a+\alpha } \Rightarrow{ f(b)=f(a) f(\alpha) > f(a)} $$ pues por dato $$f(\alpha) >0.$$ Assi $$f(b)>f(a).$$

Si \( f(\alpha) = \dfrac{1}{2} \) no es cierto.

[Richard R Richard]

supongamos $$k>1$$


si $$b>a$$  definimos


$$b=ka$$


$$f(b)=f(ka)=f(a)^k>f(a)$$


será cierto solo si $$f(a)>1$$ de allí a saber que valor de $$a$$ cumple eso es otra cosa

[zorropardo]

Es verdad, ya corregi mi respuesta.

[Juan Pablo Sancho]

Será para \( f(1) > 0 \) si \( f(x) = (\dfrac{1}{2})^x  \) tenemos que para \( a < b \) se tiene \( f(a) > f(b) \) en este caso si \( a=-1 \) tenemos \( f(-1) = 2 \)
Hay un hilo dedicado a funciones que tiene esta propiedad seguro Luis lo encuentra, pueden aparecer funciones extrañas.

[petras]

Agradecido a todos

Saludos