(b) Suponemos que \(A, B, A+B \in GL_n(\mathbb{K})\).
(1) Probad que \(A^{-1} + B^{-1} \in GL_n(\mathbb{K})\).
(2) Obtened \((A+B)^{-1}\) en función de \(A^{-1}\), \(B^{-1}\) y \(A^{-1} + B^{-1}\).
Sólo he encontrado una solución para este aparatado del ejercicio. Para (1), usando el álgebra de matrices, encontramos que
\( \displaystyle{
A^{-1}+B^{-1}=A^{-1}(I_n+AB^{-1})=A^{-1}(B+A)B^{-1}
} \)
de donde es trivial hallar la inversa de \( A^{-1}+B^{-1} \). Y de la solución de (1) se sigue trivialmente la solución de (2).
AÑADIDO:Suponiendo que \(A, B \in M_n(\mathbb{K})\).
(a) Si \(I_n - AB \in GL_n(\mathbb{K})\), probad \(I_n - BA \in GL_n(\mathbb{K})\) y que \((I_n - AB)^{-1} = I_n + B(I_n - BA)^{-1} A\).
Para este apartado he encontrado una solución, aunque no me termina de convencer del todo. Si \( I_n-AB \) es invertible entonces, algebraicamente, se puede ver que \( \sum_{k\geqslant 0}(AB)^k \) es su inversa. Ahora bien, si \( C:=\sum_{k\geqslant 0}(AB)^k \) está bien definida como matriz (es decir, si \( Cv \) converge para cada \( v\in \mathbb{K}^n \)) entonces tenemos que \( BC=C'B \) donde \( C':=\sum_{k\geqslant 0}(BA)^k \) es la inversa algebraica de \( I_n-BA \), de donde se sigue que \( C' \) está bien definida como matriz siempre que \( C \) lo esté, ya que
\( \displaystyle{
\sum_{k\geqslant 0}(BA)^k=I_n+B\sum_{k\geqslant 0}(AB)^k A=I_n+BCA
} \)
Por tanto \( I_n-BA \) es invertible si y solo si \( I_n-AB \) lo es.
