[Brian_Vásquez_Lozada]

Sean \( x \) e \( y \) números reales tales que: \( x^2 + 2y^2+2=2x(y+1) \)
Calcule:
\( (x^2+2y^2) / (x^2-2y^2) \)
Bienvenido al foro.

 Recuerda leer y seguir  las reglas del mismo así como el tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

 Mensaje corregido desde la administración.

[electron]

No las tengo todas conmigo, pero hay algo raro ahí.

Si no me equivoco, no existen tales números reales cumpliendo la condición. Basta con despejar \( y(x) \):

\( y=\displaystyle\frac{x\pm\sqrt[ ]{-(x-2)^2}}{2}\notin\mathbb R \)

Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Si no me equivoco, no existen tales números reales cumpliendo la condición. Basta con despejar \( y(x) \):

\( y=\displaystyle\frac{x\pm\sqrt[ ]{-(x-2)^2}}{2}\notin\mathbb R \)

De ahí se deduce que sólo hay una posibilidad para que sean reales \( x=2 \), \( y=1 \). De donde:

\( \dfrac{x^2+2y^2}{x^2-2y^2}=\dfrac{6}{2}=3 \)

Saludos.

[Fernando Revilla]

Basta con despejar \( y(x) \): \( y=\displaystyle\frac{x\pm\sqrt[ ]{-(x-2)^2}}{2}\notin\mathbb R \)

Yo no obtengo esas soluciones para \( y \). He clasificado la cónica \( x^2 + 2y^2+2=2x(y+1) \) y aparece un par de rectas imaginarias que se cortan en un punto real. Este punto ha de ser necesariamente el centro de la cónica, que igualando las parciales a \( 0 \) y resolviendo el sistema obtenemos \( (x,y)=(2,1) \).

[electron]

Hola

Si no me equivoco, no existen tales números reales cumpliendo la condición. Basta con despejar \( y(x) \):

\( y=\displaystyle\frac{x\pm\sqrt[ ]{-(x-2)^2}}{2}\notin\mathbb R \)

De ahí se deduce que sólo hay una posibilidad para que sean reales \( x=2 \), \( y=1 \). De donde:

\( \dfrac{x^2+2y^2}{x^2-2y^2}=\dfrac{6}{2}=3 \)

Saludos.

Ostras, al ver el signo menos y el cuadrado se me pasó el caso \( \sqrt[ ]{0} \), es verdad 

Pues entonces así es: la única solución es \( 3 \).

Saludos

[electron]

Basta con despejar \( y(x) \): \( y=\displaystyle\frac{x\pm\sqrt[ ]{-(x-2)^2}}{2}\notin\mathbb R \)

Yo no obtengo esas soluciones para \( y \). He clasificado la cónica \( x^2 + 2y^2+2=2x(y+1) \) y aparece un par de rectas imaginarias que se cortan en un punto real. Este punto ha de ser necesariamente el centro de la cónica, que igualando las parciales a \( 0 \) y resolviendo el sistema obtenemos \( (x,y)=(2,1) \).

No he utilizado cónicas, simplemente he resuelto la ecuación \( x^2 + 2y^2+2=2x(y+1) \) en \( y \) y aparecen las dos soluciones que comento.

Por cierto, ¿podrías comentar con más detalle ese procedimiento con cónicas? Me resulta interesante.

Gracias y un saludo

[Fernando Revilla]

No he utilizado cónicas, simplemente he resuelto la ecuación \( x^2 + 2y^2+2=2x(y+1) \) en \( y \) y aparecen las dos soluciones que comento.

Sí, cometí un error de cálculo. Las soluciones para \( y \) son las que dices, con lo cual \( (x,y)=(2,1) \), naturalmente lo mismo que usando cónicas.

Por cierto, ¿podrías comentar con más detalle ese procedimiento con cónicas? Me resulta interesante.

Mira aquí https://fernandorevilla.es/2015/01/19/clasificacion-de-conicas/ y aquí https://fernandorevilla.es/2015/01/21/rectas-que-componen-las-conicas-degeneradas/ (en especial el ejercicio 2b)).