[Monkey D. Erick]

Hola comunidad,

Leyendo un libro de matemáticas de Fernando Blasco (Más allá de la razón áurea).  Me hizo ruido esta afirmación que según el libro se le atribuye a Edouard Lucas para hallar términos generales.

\(  X_n = \frac{1}{\sqrt(5)}(\phi^{n+1}-\frac{1}{\phi^{n+1}})  \)

Siendo \( X_0 = 1 \), no he podido hallarlo a través de la fórmula... lo curioso es que conocía la fórmula de Binet:

\(  X_n = \frac{\phi^n-(1-\phi)^n}{\sqrt(5)} \)

pero, jamás la de Lucas... si alguno tiene referencia de esa fórmula y me puede ayudar con encontrar los 3 primeros terminos con la de lucas para confiar en ella; pero se sabe que basta que no cumpla con una afirmación para invalidarlo y pues no me cumple con \( X_0 \)

Spoiler

He tratado de demostrar o buscar referencias en internet, pero no encuentro nada. Estoy empezando a creer que me tope con un libro mal hecho.

[cerrar]

[Masacroso]

Tienes que \( 1-\phi ={\color{red}{-}}\frac1{\phi } \), de donde se sigue la igualdad pero con una numeración distinta para \( n \) impar en la primera expresión.

Corregido.

[ani_pascual]

Hola comunidad,

Leyendo un libro de matemáticas de Fernando Blasco (Más allá de la razón áurea).  Me hizo ruido esta afirmación que según el libro se le atribuye a Edouard Lucas para hallar términos generales.

\(  X_n = \frac{1}{\sqrt(5)}(\phi^{n+1}-\frac{1}{\phi^{n+1}})  \)

Siendo \( X_0 = 1 \), no he podido hallarlo a través de la fórmula... lo curioso es que conocía la fórmula de Binet:

\(  X_n = \frac{\phi^n-(1-\phi)^n}{\sqrt(5)} \)

pero, jamás la de Lucas... si alguno tiene referencia de esa fórmula y me puede ayudar con encontrar los 3 primeros terminos con la de lucas para confiar en ella; pero se sabe que basta que no cumpla con una afirmación para invalidarlo y pues no me cumple con \( X_0 \)

Spoiler

He tratado de demostrar o buscar referencias en internet, pero no encuentro nada. Estoy empezando a creer que me tope con un libro mal hecho.

[cerrar]

Hola:
Según mis referencias, la expresión de la sucesión de Lucas es

\( L_n=\Phi^n+(1-\Phi)^n\hspace{1cm}\textcolor{red}{n\geq 1} \)

con la que sí se reproducen sus términos, \( 1,3,4,7,11,\ldots  \)
Cuando tenga tiempo analizaré un poco la que tú has puesto

\( X_n=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\left(\Phi^{n+1}-\dfrac{1}{\Phi^{n+1}}\right) \)

Saludos

[ani_pascual]

Tienes que \( 1-\phi =\frac1{\phi } \), de donde se sigue la igualdad pero con una numeración distinta.

Hola:
Pero ¿no es \( \dfrac{1}{\Phi}=\Phi -1 \) en vez de \( \dfrac{1}{\Phi}=1-\Phi \) ?

[Masacroso]

Tienes que \( 1-\phi =\frac1{\phi } \), de donde se sigue la igualdad pero con una numeración distinta.

Hola:
Pero ¿no es \( \dfrac{1}{\Phi}=\Phi -1 \) en vez de \( \dfrac{1}{\Phi}=1-\Phi \) ?

Sí, tienes razón, me ha faltado un signo. Ahora corrijo lo anterior.

[ani_pascual]

Hola comunidad,

Leyendo un libro de matemáticas de Fernando Blasco (Más allá de la razón áurea).  Me hizo ruido esta afirmación que según el libro se le atribuye a Edouard Lucas para hallar términos generales.

\(  X_n = \frac{1}{\sqrt(5)}(\phi^{n+1}-\frac{1}{\phi^{n+1}})  \)

Siendo \( X_0 = 1 \), no he podido hallarlo a través de la fórmula...

Estoy empezando a creer que me tope con un libro mal hecho.[/spoiler]

Hola:
No sé de dónde habrá sacado Fernando Blasco esa fórmula, pero si se calculan los cuatro primeros términos \( X_n=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\left(\Phi^{n+1}-\dfrac{1}{\Phi^{n+1}}\right)\hspace{1cm}n\geq 0 \)
salen \( \dfrac{1}{\sqrt{5}}, 1,\dfrac{4}{\sqrt{5}}, 3,\ldots \) que no tienen nada que ver con los de la sucesión de Lucas \( 1,3,4,7,11,\ldots \) cuyo término general es, como ya he comentado antes

\( L_n=\Phi^n+(1-\Phi)^n\hspace{1cm}n\geq 1 \)

Estoy preparando un breve escrito sobre este tema, que espero subir pronto a la Revista del foro,   B"H, aunque creo que ya hay en este foro algún hilo sobre algún tema relacionado. Saludos
https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=118830.msg478015#msg478015

[Monkey D. Erick]

Sí, exacto no tiene ninguna relación ni con la serie de fibonacci ni la serie de Lucas; por lo que, entiendo que esta mal planteada... bueno, gracias comunidad por su apoyo.

[ani_pascual]

Sí, exacto no tiene ninguna relación ni con la serie de fibonacci ni la serie de Lucas; por lo que, entiendo que esta mal planteada... bueno, gracias comunidad por su apoyo.

Hola:
Lo prometido es deuda 
https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=124698.0

[Monkey D. Erick]

Gracias, lo leeré.

[Leofast]

He estado buscando información relacionada a series, encontré la ecuación que planteas, me alegra que hayas preguntado pues he seguido la secuencia de las respuestas que te han dado en la comunidad y allí está la respuesta que yo buscaba.  me alegra haberme inscrito a este blog.