[alucard]

Hola tengo el siguiente enunciado

Dada \( f [1,3]\to R/ f(x)=(x-2)^2 \)

Efectúe las restricciones necesarias para para obtener \( f^{-1} \) y defina dicha función

Para que f admita inversa debe ser biyectiva entonces planteo

\( f(a)=f(b)\Longrightarrow{a=b} \)

\( (a-2)^2=(b-2)^2 \to |a-2|=|b-2|\to a-2=b-2 \vee a-2=2-b \)

de dpmde \( a=b \vee a+b=4 \)

y ahí no sé como seguir, gráficamente puedo ver que se cumple cuando

\( x\geq{2}\vee x\leq{2} \)

Pero analíticamente no entiendo bien como continuar 

[Juan Pablo Sancho]

Para que sea biyectiva debe ser inyectiva, y tienes una parábola, vamos \( f([1,2]) = f([2,3] \) debes resringir el dominio a \( [1,2] \) o \( [2,3] \) para que sea inyectiva.

[alucard]

Hola , gracias

Para que sea biyectiva debe ser inyectiva, y tienes una parábola, vamos \( f([1,2]) = f([2,3] \) debes resringir el dominio a \( [1,2] \) o \( [2,3] \) para que sea inyectiva.

Necesitaba mas que nada la parte analítica de la inyectividad.

[Luis Fuentes]

Hola

Necesitaba mas que nada la parte analítica de la inyectividad.

Lo que haces es correcto:

\( f(a)=f(b)\Longrightarrow{a=b} \)

\( (a-2)^2=(b-2)^2 \to |a-2|=|b-2|\to a-2=b-2 \vee a-2=2-b \)

de dpmde \( a=b \vee \color{red}a+b=4\color{black} \)

y ahí no sé como seguir, gráficamente puedo ver que se cumple cuando

Lo que tienes que hacer para asergurar la inyectividad es garantizar que NO se da el caso marcado en rojo. Es decir que en el dominio no hay dos números distintos en \( a,b \) que sumen \( 4 \).

Dado que trabajas en \( [1,3] \) si te quedas en un intervalo \( [1,p] \) tienes que garantizar que no hay dos números en ese intervalo que sumen \( 4 \); eso se consigue si \( 2p\leq 4 \). Es decir en el intervalo \( [1,2] \).

Saludos.

[alucard]

Hola Luis , muchas gracias por la respuesta , una consulta 

Hola

Necesitaba mas que nada la parte analítica de la inyectividad.

Lo que haces es correcto:

\( f(a)=f(b)\Longrightarrow{a=b} \)

\( (a-2)^2=(b-2)^2 \to |a-2|=|b-2|\to a-2=b-2 \vee a-2=2-b \)

de dpmde \( a=b \vee \color{red}a+b=4\color{black} \)

y ahí no sé como seguir, gráficamente puedo ver que se cumple cuando

Lo que tienes que hacer para asergurar la inyectividad es garantizar que NO se da el caso marcado en rojo. Es decir que en el dominio no hay dos números distintos en \( a,b \) que sumen \( 4 \).

Dado que trabajas en \( [1,3] \) si te quedas en un intervalo \( [1,p] \) tienes que garantizar que no hay dos números en ese intervalo que sumen \( 4 \); eso se consigue si \( \color{\red}2 \) \( p\leq 4 \). Es decir en el intervalo \( [1,2] \).

Saludos.

Ese 2 que marque en rojo, ¿está relacionado con tu comentario que también remarque ? , o ¿de dónde sale?

Gracias nuevamente

[Luis Fuentes]

Hola

Lo que tienes que hacer para asergurar la inyectividad es garantizar que NO se da el caso marcado en rojo. Es decir que en el dominio no hay dos números distintos en \( a,b \) que sumen \( 4 \).

Dado que trabajas en \( [1,3] \) si te quedas en un intervalo \( [1,p] \) tienes que garantizar que no hay dos números en ese intervalo que sumen \( 4 \); eso se consigue si \( \color{\red}2 \) \( p\leq 4 \). Es decir en el intervalo \( [1,2] \).

Ese 2 que marque en rojo, ¿está relacionado con tu comentario que también remarque ? , o ¿de dónde sale?

Si tienes dos números \( x,y\in [1,p] \) el máximo valor de su suma es:

\( x+y\leq p+p\leq 2p \) (la igualdad se da sólo si \( x=y= \)p)

entonces si \( 2p\leq 4 \), garantizas que la suma de \( x,y \) no puede ser \( 4 \) salvo que \( x=y=p \) que es justo lo que queríamos para la inyectividad. El máximo valor de \( p \) que cumple \( 2p\leq 4 \) es \( p=2 \).

Saludos.

[alucard]

Hola Luis

Si tienes dos números \( x,y\in [1,p] \) el máximo valor de su suma es:

\( x+y\leq p+p\leq 2p \) (la igualdad se da sólo si \( x=y= \)p)

entonces si \( 2p\leq 4 \), garantizas que la suma de \( x,y \) no puede ser \( 4 \) salvo que \( x=y=p \) que es justo lo que queríamos para la inyectividad. El máximo valor de \( p \) que cumple \( 2p\leq 4 \) es \( p=2 \).
Saludos.

¿Es un teorema que se cumple siempre en un intervalo cerrado?

[Luis Fuentes]

Hola

¿Es un teorema que se cumple siempre en un intervalo cerrado?

No se a que te refieres. Son propiedades típicas del orden de los números.

Si \( x,y\in [1,p] \) entonces \( x,y\leq p \) y por tanto \( x+y\leq p+p\ldots \)

Concreta más la duda...

Saludos.