[hernanlopezpardo]

Buenas tardes:

Les consulto este ejercicio de parcial. No hay muchos de este tipo, pero no supe como encararlo, muchas gracias.

Sabiendo que \( f(x) \) es una función derivable en todo \( \mathbb{R} \), cuya derivada es \( f'(x)=cos( \pi x^5) \) y \( f(1)=6 \) , calcular el valor de:

\( \displaystyle\int_{0}^{1}xf(\sqrt[2]{x})dx \)

Como siempre, muchas gracias.

[Masacroso]

Integración por partes y luego sustitución con los datos que te dan. Tienes que

\( \displaystyle{
\int_{0}^1 x(f\circ h)(x)\,d x=\frac{x^2}{2}(f\circ h)(x)\Big|_0^1 -\int_{0}^1 \frac{x^2}{2}(f'\circ h)(x)h'(x)\,d x=\frac{f(1)}2-\int_{0}^1 \frac{x^2}{2}(f'\circ h)(x)h'(x)\,d x
} \)

donde \( h(x):=x^{1/2} \). Sólo te queda calcular la última integral, que es de funciones que ya conoces. Termina.

[hernanlopezpardo]

Buenas noches; en la integral estoy sustituyendo de esta manera:

\( u=x^{1/2} \)
\( du=\displaystyle\frac{dx}{2x^{1/2}} \), luego  \( 2udu=dx \)
\( \displaystyle\frac{u^4}{2}=\displaystyle\frac{x^2}{2} \)

Reescribo:
\( \displaystyle\int_{0}^{1} \displaystyle\frac{u^4}{2}f'(u)2udu \)
\( \displaystyle\int_{0}^{1} {u^5}f'(u)du \)

y no logro integrar finalmente, necesito poder destrabarme aca, por si estoy realizando una sustitución poco conveniente.

Muchas gracias.

[hernanlopezpardo]

Debería reemplazar por la derivada que me dan evaluada en U para poder integrar?.

[Masacroso]

Buenas noches; en la integral estoy sustituyendo de esta manera:

\( u=x^{1/2} \)
\( du=\displaystyle\frac{dx}{2x^{1/2}} \), luego  \( 2udu=dx \)
\( \displaystyle\frac{u^4}{2}=\displaystyle\frac{x^2}{2} \)

Reescribo:
\( \displaystyle\int_{0}^{1} \displaystyle\frac{u^4}{2}f'(u)2udu \)
\( \displaystyle\int_{0}^{1} {u^5}f'(u)du \)

y no logro integrar finalmente, necesito poder destrabarme aca, por si estoy realizando una sustitución poco conveniente.

Muchas gracias.

Tienes que

\( \displaystyle{
\begin{align*}
\int_{0}^1 \frac{x^2}{2}(f'\circ h)(x)h'(x)\,d x&=\frac1{2}\int_{0}^1 x^2 \cos (\pi x^{5/2}) \frac1{2\sqrt{x}}\,d x\\
&=\frac1{2\cdot 5}\int_{0}^1 \frac{5}{2}x^{3/2}\cos (\pi x^{5/2}) \,d x\\
&=\frac1{10}\int_{0}^1 \cos (\pi x^{5/2})\, d(x^{5/2})\\
&=\frac1{10}\int_{0}^1 \cos(\pi t) \,d t,\quad \text{ con el cambio }t=x^{5/2}\\
&=0
\end{align*}
} \)

Por tanto la solución es

\( \displaystyle{
\int_{0}^1 xf(x^{1/2})\,d x=3
} \)

[hernanlopezpardo]

Estaba fallando en la composición de \( f(h(\sqrt[ ]{x})) \).

Muchas gracias.

[Masacroso]

Estaba fallando en la composición de \( f(h(\sqrt[ ]{x})) \).

Muchas gracias.

Es que la composición no es ésa. Debería ser \( f(h(x)) \), que es lo mismo que escribir \( f(\sqrt{x}) \).

Dar nombre a funciones, como yo hago al definir \( h(x):=\sqrt{x} \), es para así ver con claridad qué forma (estructural) tiene el integrando que en este caso me sirve para poder aplicar con claridad la regla de la cadena. Bueno, espero que algo de lo dicho te haya servido de ayuda o te pueda ayudar en el futuro.

[hernanlopezpardo]

Mañana en el examen lo voy a aplicar. Muchas gracias.