[hernanlopezpardo]

\( M_t=\begin{bmatrix}{0}&{0}&{2.7}\\{0.8}&{0.1}&{0}\\{0}&{0.8}&{0.1}\end{bmatrix} \)

La matriz con los 475 alumnos ingresantes (y que repiten)
...

Me queda: \( \begin{pmatrix}{427}\\{341}\\{220}\end{pmatrix} \) (redondeando)

Hola:
Me parece que el enunciado del ejercicio no dice que hayan sido \( 475 \) los ingresantes, sino que en el año 2000 hay en total \( 475=x_1+x_2+x_3 \) alumnos en el colegio.

Ahi corregi la matriz de distribución de estudiantes en el año 2000. Ahora ya sigo con el ejercicio yo y mañana publico el resto.

Gracias por la paciencia.

[hernanlopezpardo]

 Hoy releyendo el ejercicio

"Los ingresantes nuevos a 1er año
(además de los alumnos repitentes) son 2,7 veces la cantidad de alumnos que hubo en 3ero el año
anterior. "

Los 2.7 de el año anterior son el 2.7 respecto del 3ro; además del 0.1 que repitió.

Los que repitieron, lo hicieron el año anterior al anterior, no sería nuevos en el anterior.

Así que quedaría 0.1 en la fila 1 columna 1, al igual que 2.7 en la fila 1 columna 3.

\begin{bmatrix}{0.1}&{0}&{2.7}\\{0.8}&{0.1}&{0}\\{0}&{0.8}&{0.1}\end{bmatrix}

[hernanlopezpardo]

La matriz de transición es igual para todos los años. Así que lo plantee de la siguiente forma y agregué la cuarta fila; despejando \( T_k \) y obteniendo \( S_k \) y \( P_k \)


\( \begin{bmatrix}{-0.9}&{0}&{2.7}\\{0.8}&{-0.9}&{0}\\{0}&{0.8}&{-0.9}\\{1}&{1}&{1}\end{bmatrix}\begin{pmatrix}{P_k}\\{S_k}\\{T_k}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{0}\\{0}\\{0}\\{1}\end{pmatrix} \)

Reduciendo me quedo \( \begin{pmatrix}{183}\\{224}\\{68}\end{pmatrix} l \)a distribución de los 475 alumnos.

[Luis Fuentes]

Hola

La matriz de transición es igual para todos los años. Así que lo plantee de la siguiente forma y agregué la cuarta fila; despejando \( T_k \) y obteniendo \( S_k \) y \( P_k \)


\( \begin{bmatrix}{-0.9}&{0}&{2.7}\\{0.8}&{-0.9}&{0}\\{0}&{0.8}&{-0.9}\\{1}&{1}&{1}\end{bmatrix}\begin{pmatrix}{P_k}\\{S_k}\\{T_k}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{0}\\{0}\\{0}\\{1}\end{pmatrix} \)

Reduciendo me quedo \( \begin{pmatrix}{183}\\{224}\\{68}\end{pmatrix} l \)a distribución de los 475 alumnos.

No me queda muy claro que se supone que estás calculando ahí; parecería que una distribución estacionaria. Pero no existe porque el \( 1 \) no es autovalor de la matriz de transición; o en otras palabras el sistema de ecuaciones que planteas yo creo que no tiene solución.

Saludos.

[hernanlopezpardo]

Que tal Luis dejando de lado la última fila (no es de probabilidad) , pensé lo siguiente:

calcule los autovalores para la matriz y me quedo 1 real, que es \( u=1.3 \). Luego aplique el ava par obtener las 3 incognitas

\( \begin{bmatrix}{-1.2}&{0}&{2.7}\\{0.8}&{-1.2}&{0}\\{0}&{0.8}&{-1.2}\end{bmatrix}=\begin{pmatrix}{0}\\{0}\\{0}\end{pmatrix} \)

Resolviendo me quedo:
\( P_k=\displaystyle\frac{9}{4}T_k \)
\( S_k=\displaystyle\frac{3}{2}T_k \)
\( T_k=T_k \)

Luego

\( \displaystyle\frac{9}{4}T_k+\displaystyle\frac{3}{2}T_k+T_k=475 \)
\( T_k=100 \)
\( S_k=150 \)
\( P_k=225 \)

Nose si asi estaria bien el ejercicio.

Muchas gracias.

[Luis Fuentes]

Hola

 Pero antes de nada no hagas cuentas por hacer.

 ¿A cuál de las preguntas que te hace el enunciado estás intentando responder?.

Saludos.

[hernanlopezpardo]

Estoy intentando hacer la a) la matriz ya la hice y ahora quiero encontrar la distribución que en el año 2000 (el año que tomo como k) puedo realizar de los 475 estudiantes, para asi saber en que año va a ser necesario ampliar el edificio, que maximo permite 1000.

Ahi estoy trabajando y pensando como distribuirlos.

[Luis Fuentes]

Hola

Estoy intentando hacer la a) la matriz ya la hice y ahora quiero encontrar la distribución que en el año 2000 (el año que tomo como k) puedo realizar de los 475 estudiantes, para asi saber en que año va a ser necesario ampliar el edificio, que maximo permite 1000.

Ahi estoy trabajando y pensando como distribuirlos.

¿Y por qué y cómo las cuentas que has hecho en tu último mensaje contestan a esta pregunta?.

Vaya por delante que yo creo que SI sirve para contestar a esta pregunta; pero tienes que explicar porqué. Hay un motivo claro.

El anterior mensaje donde calculabas un autovector asociado al \( 1 \), si que no tenía sentido, incluso aunque tal autovector existiese.

Saludos.

[hernanlopezpardo]

1ro realice mi diagrama de flujo para  armar la matriz de transición
2do el año 2000 lo elegi como el momento inicial para distribuir los 475 estudiantes.
Lo que entiendo y en eso me base para escribir esa igualdad es que la forma en que se distribuyen año a año los estudiantes no varia.
Una matriz de probabilidad no era, por eso elimine la 4ta fila.

Con todo esto pense lo siguiente:

\( \begin{bmatrix}{0.1}&{0}&{2.7}\\{0.8}&{0.1}&{0}\\{0}&{0.8}&{0.1}\end{bmatrix}\begin{pmatrix}{P_0}\\{S_0}\\{T_0}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{P_0}\\{S_0}\\{T_0}\end{pmatrix} \)

Aca pense en la definición de autovalor y autovector

\( Av=\lambda v  \)

Realizo \( \begin{bmatrix}{(0.1-\lambda)}&{0}&{2.7}\\{0.8}&{(0.1-\lambda)}&{0}\\{0}&{0.8}&{(0.1-\lambda)}\end{bmatrix}\begin{pmatrix}{P_0}\\{S_0}\\{T_0}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{0}\\{0}\\{0}\end{pmatrix} \)

cuando lo obtengo armo el sistema de 3 ecuaciónes que arme para poder terminar el ejercicio y encontrar alguna de las 3 variables y despejar las otras 2.

Esa es la teoria sobre la que desarrolle el último post, salvo que este pasando por alto algo.

Gracias nuevamente.

 

[Luis Fuentes]

Hola

1ro realice mi diagrama de flujo para  armar la matriz de transición
2do el año 2000 lo elegi como el momento inicial para distribuir los 475 estudiantes.
Lo que entiendo y en eso me base para escribir esa igualdad es que la forma en que se distribuyen año a año los estudiantes no varia.

Pues si varía, porque precisamente la matriz de transición te dice que algunos abandonan, otros promocionan, otros egresan... A priori varía.

Con todo esto pense lo siguiente:

\( \begin{bmatrix}{0.1}&{0}&{2.7}\\{0.8}&{0.1}&{0}\\{0}&{0.8}&{0.1}\end{bmatrix}\begin{pmatrix}{P_0}\\{S_0}\\{T_0}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}{P_0}\\{S_0}\\{T_0}\end{pmatrix} \)

Así estarías buscando una configuración estacionaria. ¿Pero qué tiene que ver una configuración estacionaria con esta pregunta:

En el año 2000 un colegio registra un total de 475 alumnos. El edificio puede albergar
hasta 1000. Un consultor del ministerio de educación advierte al colegio que prontamente va a
tener que realizar una ampliación del edificio
a) Dar una distribución posible de alumnos para el año 2000 que explique la advertencia del
consultor. Justificar.

¡Nada!. Si la configuración es estacionaria siempre habría el mismo número de alumnos en el instituto y nunca habría problemas de capacidad.

Lo que si tiene sentido es buscar una configuración donde se garantice que el número de alumnos totales aumenta. Eso se consigue si \( Av=\lambda v \) con \( \lambda>1 \) y por eso si tiene sentido buscar una configuración autovector asociada al autovalor \( 1.3>1 \).

Para tal configuración el número total de alumnos al cabo de \( t \) años se multiplica por \( 1.3^t \).

Saludos.