[Fernando Revilla]

Pues eso \( \dfrac{\sqrt {1+x^2}}{x}=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}} \)
 \( 1+x^2=x^ 2 \) 
\( 1=0 \)

Carlos se refería a igualdad de límites, no de las funciones bajo el límite. Es decir, \( L=\displaystyle\frac{1}{L} \)

[feriva]

Pues eso \( \dfrac{\sqrt {1+x^2}}{x}=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}} \)
 \( 1+x^2=x^ 2 \) 
\( 1=0 \)

Carlos se refería a igualdad de límites, no de las funciones bajo el límite. Es decir, \( L=\displaystyle\frac{1}{L} \)

Ya, ya lo sé. Y lo mismo sería si en vez de un 1 fuera un 27, lo que quiero decir con eso es que si  \( L=\displaystyle\frac{1}{L} \) no se puede deducir el valor del límite, porque al igualar las inversas -al menos en este caso- lo único que sacamos en conclusión es que \( \infty+k=\infty \).

Saludos.

Ah, sí, perdón, sí se puede porque "k" es mucho menor que "x" en todo caso

[Carlos Ivorra]

Ya, ya lo sé. Y lo mismo sería si en vez de un 1 fuera un 27, lo que quiero decir con eso es que si  \( L=\displaystyle\frac{1}{L} \) no se puede deducir el valor del límite, porque al igualar las inversas -al menos en este caso- lo único que sacamos en conclusión es que \( \infty+k=\infty \).

Saludos.

Ah, sí, perdón, sí se puede porque "k" es mucho menor que "x" en todo caso

No. Lo que se sigue al aplicar L'Hôpital es que las funciones \( \dfrac{\sqrt {1+x^2}}{x} \) y \( \dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}} \) tienen el mismo límite \( L \) (admitiendo que dicho límite exista). Pero por otra parte, si una función tiende a \( L \), su inversa tiende a \( 1/L \), luego llegamos a que \( L = 1/L \) (una igualdad de números reales, no de funciones, como ya te ha indicado Fernando), y esta ecuación lleva a \( L^2 = 1 \), luego \( L = \pm 1 \), pero el valor negativo se descarta porque claramente el límite es positivo.

[feriva]

Ya, ya lo sé. Y lo mismo sería si en vez de un 1 fuera un 27, lo que quiero decir con eso es que si  \( L=\displaystyle\frac{1}{L} \) no se puede deducir el valor del límite, porque al igualar las inversas -al menos en este caso- lo único que sacamos en conclusión es que \( \infty+k=\infty \).

Saludos.

Ah, sí, perdón, sí se puede porque "k" es mucho menor que "x" en todo caso

No. Lo que se sigue al aplicar L'Hôpital es que las funciones \( \dfrac{\sqrt {1+x^2}}{x} \) y \( \dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}} \) tienen el mismo límite \( L \) (admitiendo que dicho límite exista). Pero por otra parte, si una función tiende a \( L \), su inversa tiende a \( 1/L \), luego llegamos a que \( L = 1/L \) (una igualdad de números reales, no de funciones, como ya te ha indicado Fernando), y esta ecuación lleva a \( L^2 = 1 \), luego \( L = \pm 1 \), pero el valor negativo se descarta porque claramente el límite es positivo.

Ya, ya, perdona Carlos. Eso mismo digo, si el límite de \( 1+x ^2 \) es igual al límite de \( x^2 \) cuando "x" tiende a infinito, y teniendo en cuenta la función que nos dan, procediendo al revés y llegando a ella vemos que implica que el límite de la función es 1 al ser el límite igual a su inversa.

Saludos.



O sea, lo que me había nublado la vista era la forma general \( \dfrac{\sqrt {k+x^2}}{x} \) sin darme cuenta de que "k" no puede tender nunca el mismo valor que "x" cuadrado.

[feriva]

Alguno fue más allá y dijo que \( L=L \). Otros fueron más "listillos" (los que no habían estudiado la regla de L'Hopital):

\(
\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{\sqrt{1+x^2}}{x}}=\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\sqrt{\dfrac{1+x^2}{x^2}}=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}}\sqrt{\dfrac{1}{x^2}+1}=\sqrt{0+1}=1
 \)

Esta respuesta no la había visto.

 Es que ése es el método de L'Ambulatoire en vez de L'Hopital.

[Tanius]

Bueno, las víctimas de tu maldad podrían haber sacado algo en claro: admitiendo que el límite existe y vale L, el desarrollo demuestra que \( L = 1/L \) y, como claramente tiene que ser positivo, podemos concluir que si existe límite, es \( 1 \).

Eso es lo primero que se me ocurrió al leer el tema, así que indirectamente la regla sí nos está diciendo el valor de límite

PD: Oro para México.

[feriva]

Bueno, las víctimas de tu maldad podrían haber sacado algo en claro: admitiendo que el límite existe y vale L, el desarrollo demuestra que \( L = 1/L \) y, como claramente tiene que ser positivo, podemos concluir que si existe límite, es \( 1 \).

Eso es lo primero que se me ocurrió al leer el tema, así que indirectamente la regla sí nos está diciendo el valor de límite

PD: Oro para México.

Claro, yo también lo estaba pensando antes de que lo pusiera Carlos, pero seguí dándole vueltas y me lié con esa tontería.

 PD: Y os merecisteis el oro en saltos sincronizados categoría femenina, pero por tradición siempre se lo dan a las chinas o a las rusas, como pasa con la natación sincronizada también; es como si estuviera otorgado antes de que concursen los participantes, siempre pasa igual. 

[Piockñec]

Ocurre para los cocientes de funciones \( \displaystyle\frac{f(x)}{g(x)} \) que satisfacen \( f(x)f'(x)=g(x)g'(x) \).

Waoh, qué sencillo. Muchas gracias!

[Alopiso]

Mirad que tenemos aqui xD
http://gaussianos.com/un-ejemplo-de-lo-peligroso-que-es-la-dependencia-de-la-regla-de-lhopital/