[smc]

Sean \( X, Y \) y \( Z \) tres superficies compactas y conexas tales que \( X \) no es homeomorfa a \( Y \) y \( \pi_1(Y) \cong \pi_1(Z)  \), donde \( \pi_1 \) denota el grupo fundamental. Si denotamos por \( \zeta(-) \) la característica de Euler, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es siempre cierta?
a. Si \( \zeta(X) = \zeta(Y) \) y  \( X \) es orientable, entonces \( Y \) es no orientable.
b. Si \( \zeta(X) = \zeta(Y) \) y, entonces \( X \) e \( Y \) son orientables.
c.  \( X \) e \( Y \) son las dos orientables o las dos no orientables, y \( \zeta(X) \neq \zeta(Y) \).
d. Si \( X, Y, Z \) son orientables, entonces \( \zeta(X) = \zeta(Y) = \zeta(Z) \).

[geómetracat]

Del teorema de clasificación de superfícies compactas se sigue que si dos superfícies compactas y conexas tienen mismo grupo fundamental entonces son homeomorfas. Luego \[ Y \cong Z \] (aunque esto no va a hacer falta).
Por otro lado, también se sigue que dos superfícies compactas conexas con la misma característica de Euler y ambas orientables, o ambas no orientables, son homeomorfas.
Como \[ X \not\cong Y \], se sigue que la opción correcta es la a).

Por cierto, la característica de Euler se suele representar por \[ \chi(X) \]. Lo de usar \[ \zeta(X) \] creo que es una notación poco estándar.