[Hauss]

Hola, tengo el siguiente ejercicio:

Demostrar que los vectores imágenes de los vectores \( (1,0), (0,1) \) bajo la diferencial de \( \dfrac{1}{z} \) también son ortogonales para toda \( z\in \mathbb{C} \)

Me han dado que la diferencial de la función se puede representar por la \begin{pmatrix}{u_x}&{u_y}\\{v_x}&{v_y}\end{pmatrix}, donde \( u,v \) son las partes real e imaginaria respectivamente de la función y esto está identificado con la matriz \begin{pmatrix}{a}&{b}\\{-b}&{a}\end{pmatrix} de donde nos da el vector \( (a,b) \). Lo que he hecho entonces he obtenido que el diferencial es el siguiente:

\begin{pmatrix}{\dfrac{-x^2+y^2}{(x^2+y^2)^2}}&{\dfrac{-2xy}{(x^2+y^2)^2}}\\{\dfrac{2xy}{(x^2+y^2)^2}}&{\dfrac{-x^2+y^2}{(x^2+y^2)^2}}\end{pmatrix}

(Teniendo que \( \dfrac{1}{z}=\dfrac{x}{x^2+y^2}+i\dfrac{-y}{x^2+y^2} \))
Evaluando en \( (1,0) \) tenemos la matriz \begin{pmatrix}{-1}&{0}\\{0}&{-1}\end{pmatrix} que corresponde al vector \( (-1,0) \) y para el vector \( (0,1) \) obtenemos el vector \( (1,0) \), así las imágenes de los vectores \( (1,0), (0,1) \) bajo la diferencial son los vectores \( (1,0), (-1,0) \) pero estos vectores no son ortogonales.

No sé si yo tengo un error o si lo que piden demostrar es incorrecto, espero me puedan ayudar por favor, gracias.

[Luis Fuentes]

Hola

Demostrar que los vectores imágenes de los vectores \( (1,0), (0,1) \) bajo la diferencial de \( \dfrac{1}{z} \) también son ortogonales para toda \( z\in \mathbb{C} \)

Me han dado que la diferencial de la función se puede representar por la \begin{pmatrix}{u_x}&{u_y}\\{v_x}&{v_y}\end{pmatrix}, donde \( u,v \) son las partes real e imaginaria respectivamente de la función y esto está identificado con la matriz \begin{pmatrix}{a}&{b}\\{-b}&{a}\end{pmatrix} de donde nos da el vector \( (a,b) \). Lo que he hecho entonces he obtenido que el diferencial es el siguiente:

\begin{pmatrix}{\dfrac{-x^2+y^2}{(x^2+y^2)^2}}&{\dfrac{-2xy}{(x^2+y^2)^2}}\\{\dfrac{2xy}{(x^2+y^2)^2}}&{\dfrac{-x^2+y^2}{(x^2+y^2)^2}}\end{pmatrix}

(Teniendo que \( \dfrac{1}{z}=\dfrac{x}{x^2+y^2}+i\dfrac{-y}{x^2+y^2} \))

Hasta aquí bien. Eso es la matriz de la diferencial en el punto \( z=x+iy \).

La diferencial actúa sobre vectores. No tienes que evaluar esa matriz sobre los puntos \( (1,0) \) y \( (0,1) \), sino multiplicar esa matriz por los vectores \( (1,0) \) y \( (0,1) \) (en columna). Verás que obtienes dos vectores ortogonales (que son de hecho las dos columnas de la matriz).

Saludos.

[Hauss]

Muchas gracias Luis, ya lo he hecho, si me quedó como dices. Nadamas para confirmar si entendí, entonces la imagen de los vectores \( (1,0),(0,1) \) bajo la diferencial de la función son los vectores columna de la matriz, es decir, son funciones? (para este caso en particular)

[Luis Fuentes]

Hola

Muchas gracias Luis, ya lo he hecho, si me quedó como dices. Nadamas para confirmar si entendí, entonces la imagen de los vectores \( (1,0),(0,1) \) bajo la diferencial de la función son los vectores columna de la matriz, es decir, son funciones? (para este caso en particular)

No, ojo no son funciones; serían funciones si estuviésemos hablando del campo vectorial que forman.

La cuestión es, para cada punto \( P=x+iy=(x,y) \) FIJADO del plano complejo, la función \( f(z)=1/z \) tiene una diferencial, \( df_P \) que es una aplicación lineal del espacio vectorial de vectores tangentes al plano en ese punto en si misma, cuya matriz asociada es la que has calculado.

Saludos.

[Hauss]

Muy bien, muchas gracias, ya entiendo.

Saludos.