Hola
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Recuerda leer y seguir las
reglas del mismo así como el
tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.
De un trapecio se dan en posición y magnitud el valor de la base AB=a, y la diagonal AC=d. Calcular el valor de la otra base para que la suma de las áreas de los triángulos que se forman con las bases y las diagonales del trapecio sea mínima.
¿Alguien me ayuda a resolverlo?. Gracias.
Cuando dice en posición y magnitud entiendo que se conoce también el ángulo que forman \( AB \) y \( AC \), es decir, que es fijo. Lo único variable es la longitud de la base desconocida, o lo que es lo mismo, la posición del cuarto vértice \( D \) sobre la paralela a \( AB \) que pasa por \( C \).
Ahora observa el dibujo. Se trata de minimizar la suma de las áreas de los triángulos sombreados.
Dado que éstos son semejantes. Se tiene que:
\( \dfrac{a}{h_2}=\dfrac{b}{h_1}=\dfrac{a+b}{h_1+h_2} \)
Nota que \( h_1+h_2=H \) es la altura del trapecio y es fija. De ahí se deduce que:
\( h_1=\dfrac{bH}{a+b} \)
\( h_2=\dfrac{aH}{a+b} \)
La función a minimizar es entonces:
\( f(b)=\dfrac{ah_2}{2}+\dfrac{bh_1}{2}=\dfrac{H}{2}\cdot \dfrac{a^2+b^2}{a+b} \)
\( f'(b)=\dfrac{H}{2}\cdot \dfrac{b^2+2ab-a^2}{(a+b)^2} \)
Comprueba que la derivada se anula para \( b=(\sqrt{2}-1)a \) y que es ahí donde la función alcanza el mínimo.
Saludos.
