[thadeu]

Hola al rincón matemático
Sean $$0<a,b,c\leq{1}$$ probar que
$$\prod \left(1+\frac{a^{2}-1}3\right) \geq \frac{1}{9}(a+b+c)^{2}.$$

solucion
por desigualdad de  Bernoully tenemos
$$\prod \left(1+\frac{a^{2}-1}3\right) \geq 1+\sum \frac{a^{2}-1}3= \frac{1}{3}\sum a^{2}\geq \frac{1}{9}(a+b+c)^{2}.$$

conozco la desigualdad de Bernoully, lo que no entiendo es como es que se esta aplicando en esta solución
entiendo que se está aplicando para obtener $$\prod \left(1+\frac{a^{2}-1}3\right) \geq 1+\sum \frac{a^{2}-1}3$$ pero no logro visualizar como.
Gracias y saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Hola al rincón matemático
Sean $$0<a,b,c\leq{1}$$ probar que
$$\prod \left(1+\frac{a^{2}-1}3\right) \geq \frac{1}{9}(a+b+c)^{2}.$$

solucion
por desigualdad de  Bernoully tenemos
$$\prod \left(1+\frac{a^{2}-1}3\right) \geq 1+\sum \frac{a^{2}-1}3= \frac{1}{3}\sum a^{2}\geq \frac{1}{9}(a+b+c)^{2}.$$

conozco la desigualdad de Bernoully, lo que no entiendo es como es que se esta aplicando en esta solución
entiendo que se está aplicando para obtener $$\prod \left(1+\frac{a^{2}-1}3\right) \geq 1+\sum \frac{a^{2}-1}3$$ pero no logro visualizar como.
Gracias y saludos.

Entiendo que las sumatorias y productos que planteas son una abreviatura de sumas y productos donde la variable recorre las letras \( a,b,c \).

Lo que usa es la generalización de la desigualdad de Bernoulli:

\( (1+x_1)(1+x_2)\ldots(1+x_n)\geq 1+x_1+x_2+\ldots+x_n \) para \( x_i>-1 \) todos de igual signo.

Puedes ver su prueba aquí:

https://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli%27s_inequality#Generalization_of_base

No obstante tampoco es muy difícil probar a mano el caso que te interesa:

\( (1+x)(1+y)(1+z)\geq 1+x+y+z  \)

para \( -1<x,y,z\leq 0 \).

Saludos.