Hola
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\( \begin{cases}x\equiv 2 \mod 3\\
x\equiv 4 \mod 7\\
x\equiv 5 \mod 8\end{cases} \)
\( x=8n+5 \), \( n\in \mathbb{Z} \)
Probando números, el \( 53 \) cumple todas las ecuaciones en congruencias.
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Hay una forma de calcular una solución, es así:
1- Sumamos los productos (
en parejas) los números 3,7,8 (coprimos).
\[ 3\cdot7 +3\cdot8 + 7\cdot 8 \]
2-Esta suma módulo 3 es congruente con 2, tal como nos pide el problema por lo que no cambiamos esta suma (nos funciona bien para este módulo).
3-Esta suma módulo 7 es congruente con 3, pero necesitamos obtener congruencia con 4. Dado que \[ 3\cdot7 + 7\cdot 8\equiv 0 (mod\; 7) \], debemos buscar un número que al multiplicarlo por \[ 3\cdot8 \] resulte congruente con cuatro módulo 7. Un número es
6 (ó 6+7k). Por lo que modificamos la suma inicial propuesta y nos queda:
\[ 3\cdot7 +3\cdot8\cdot{\color{blue}6} + 7\cdot 8 \]
4-Ahora la nueva suma es congruente con 5 módulo 8, por lo que no necesitamos cambiarla como en el anterior inciso.
Por lo anterior un número que cumple lo pedido es:
\[ x=3\cdot7 +3\cdot8\cdot{\color{blue}6} + 7\cdot 8=\bf 221 \]
Por el teorema chino del resto podemos decir que todas las soluciones son congruentes módulo \[ 3\cdot 7\cdot 8 \]
Por tanto podemos decir que las soluciones del sistema es el conjunto \[ x=221+3\cdot 7\cdot 8\cdot k\quad, k\in\mathbb{Z} \]
Si calculamos x para k=-1 tenemos x=53. Que nos permite escribir la solución de la forma en que la ha escrito Bobby.
Saludos
