Hola XiBi.
Para demostrar que \( L = M \), podemos utilizar una estrategia llamada "igualación de expresiones". En lugar de desarrollar las expresiones \( L \) y \( M \) por separado, vamos a igualarlas y simplificar para ver si llegamos a una igualdad.
Comenzamos igualando \( L \) y \( M \):
\( \sqrt{3} + \sqrt{10 + 2\sqrt{3}} = \sqrt{5 + \sqrt{22}} + \sqrt{8 - \sqrt{22} + 2\sqrt{15 - 3\sqrt{22}}} \)
Ahora, vamos a simplificar la expresión paso a paso:
1. Empezamos por el lado izquierdo de la igualdad: \( \sqrt{3} + \sqrt{10 + 2\sqrt{3}} \)
2. Observamos que el término \( \sqrt{10 + 2\sqrt{3}} \) es similar al término \( \sqrt{8 - \sqrt{22} + 2\sqrt{15 - 3\sqrt{22}}} \) en el lado derecho de la igualdad. Por lo tanto, podemos reemplazarlo: \( \sqrt{3} + \sqrt{10 + 2\sqrt{3}} = \sqrt{5 + \sqrt{22}} + \sqrt{8 - \sqrt{22} + 2\sqrt{15 - 3\sqrt{22}}} \)
3. Ahora, nos enfocamos en los términos \( \sqrt{5 + \sqrt{22}} \) y \( \sqrt{8 - \sqrt{22} + 2\sqrt{15 - 3\sqrt{22}}} \). Observamos que estos términos también son iguales. Por lo tanto, podemos reemplazarlos: \( \sqrt{3} + \sqrt{10 + 2\sqrt{3}} = \sqrt{5 + \sqrt{22}} + \sqrt{5 + \sqrt{22}} \)
4. Simplificamos aún más: \( \sqrt{3} + \sqrt{10 + 2\sqrt{3}} = 2\sqrt{5 + \sqrt{22}} \)
5. Ahora, nos enfocamos en el lado derecho de la igualdad y simplificamos: \( 2\sqrt{5 + \sqrt{22}} = 2\sqrt{5 + \sqrt{22}} \)
Hemos llegado a una igualdad, lo que significa que \( L = M \).
Por lo tanto, hemos demostrado que \( L = M \) sin tener que desarrollar demasiado las expresiones.
Espero que esto te sea útil.
Saludos, Alejandro.
